التدفق

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

التدفق هو المعدل اللحظي للتغيير أو التدرج (كمية أو دالة متغيرة بمرور الوقت) عند نقطة معينة.^[1] تم تقديم التدفق بواسطة إسحاق نيوتن لوصف شكله من (مشتق فيما يتعلق بالوقت). قدم نيوتن المفهوم في عام 1665 وقام بتفصيلها في أطروحته الرياضية، طريقة التدفق.^[2] شكلت التدفقات والطلاقة حسابات نيوتن المبكرة.^[3]

كان التدفق محوريًا في جدل حساب التفاضل والتكامل بين ليبنيز ونيوتن، عندما أرسل نيوتن رسالة إلى جوتفريد فيلهلم ليبنيز يشرحها، لكنه أخفى كلماته في الشيفرة بسبب شكوكه. هو كتب:^[4]

كانت سلسلة gibberish في الواقع رمز تجزئة (من خلال الإشارة إلى تكرار كل حرف) من العبارة اللاتينية Data æqvatione qvotcvnqve flventes qvantitatesesentente ،flvxiones invenire: والعكس صحيح، وهذا يعني: «بالنظر إلى معادلة تتكون من أي عدد من الكميات المتدفقة، لإيجاد التدفقات: والعكس صحيح».^[5]

إذا كان المتدفق ${\displaystyle y}$ يعرف ب ${\displaystyle y=t^{2}}$ (أين ${\displaystyle t}$ هو الوقت) التدفق (المشتق) عند ${\displaystyle t=2}$ يكون:

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {(2+o)^{2}-2^{2}}{(2+o)-2}}={\frac {4+4o+o^{2}-4}{2+o-2}}={\frac {4o+o^{2}}{o}}}$

هنا ${\displaystyle o}$ هو مقدار ضئيل للغاية من الوقت.^[6] إذن، المصطلح ${\displaystyle o^{2}}$ هو مصطلح صغير لانهائي من الدرجة الثانية ووفقًا لنيوتن، يمكننا الآن تجاهلها ${\displaystyle o^{2}}$ بسبب صغرها اللانهائي من الدرجة الثانية مقارنةً بالصغر اللانهائي من الدرجة الأولى ${\displaystyle o}$.^[7] إذن، تصبح المعادلة النهائية على الشكل:

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {4o}{o}}=4}$

برر استخدام ${\displaystyle o}$ ككمية غير صفرية بالقول إن التدفقات كانت نتيجة للحركة بواسطة كائن.

استنكر جورج بيركلي، الفيلسوف البارز في ذلك الوقت، تقلبات نيوتن في مقالته المحلل، التي نُشرت عام 1734.^[8] رفض بيركلي تصديق أنهم كانوا دقيقين بسبب استخدام المتناهيات في الصغر ${\displaystyle o}$. وقال إنه لا يعتقد أنه يمكن تجاهلها وأشار إلى أنه إذا كانت صفرًا، فستكون النتيجة قسمة على صفر. أشار إليها بيركلي على أنها «أشباح الكميات الراحلة»، وهو تصريح أثار قلق علماء الرياضيات في ذلك الوقت وأدى في نهاية المطاف إلى إهمال اللامتناهيات في الصغر في حساب التفاضل والتكامل.

قرب نهاية حياته، راجع نيوتن تفسيره لـ${\displaystyle o}$ على أنها صغيرة للغاية، مفضلين تعريفها على أنها تقترب من الصفر، باستخدام تعريف مماثل لمفهوم النهاية.^[9] كان يعتقد أن هذا أعاد التدفقات إلى أرض آمنة. بحلول هذا الوقت، استبدل مشتق لايبنيز (وتدوينه) إلى حد كبير تدفقات نيوتن، ولا يزال قيد الاستخدام حتى اليوم.

• تاريخ التفاضل والتكامل