مبرهنة ستوكس

مبرهنة ستوكس

رسم توضيحي لمبرهنة ستوكس، مع السطح Σ, وحدوده ∂Σ والمتجه الناظمي n.

معلومات عامة

جزء من	قائمة المبرهنات الرياضية
سُمِّي باسم	جورج جابرييل ستوكس
يُصوِّر	شكل تفاضلي
يدرسه	تفاضل وتكامل حساب المتجهات
تعريف الصيغة	${\displaystyle \iint _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {F}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}=\int _{\partial S}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}$
الرموز في الصيغة	القائمة ... ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle \iint _{S}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \int _{\boldsymbol {c}}{\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}}$
تعميم لـ	مبرهنة غرين مبرهنة التباعد

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

مبرهنة ستوكس،^{[ملاحظة 1][1]} معروفة أيضًا باسم مبرهنة كلفن-ستوكس،^[2][3] تيمنًا بعالِمَي الرياضيات لورد كلفن وجورج ستوكس، أو المبرهنة الأساسية للدوران^{[ملاحظة 2]} أو ببساطة مبرهنة الدوران،^{[ملاحظة 3][4]} هي مبرهنة في حساب المتجهات على ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. بالنظر إلى حقل متجهي، تربط المبرهنة تكامل دوران الحقل المتجهي على بعض السطح، بالتكامل الخطي للحقل المتجهي حول حدود السطح.

إذا كان الحقل المتجهي ${\displaystyle \mathbf {A} =(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))}$ معرفة في منطقة ذات سطح أملس موجه ${\displaystyle \Sigma }$ وله مشتقات جزئية مستمرة من المرتبة الأولى، فإن:

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint \limits _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {a} &=\iint \limits _{\Sigma }{\Bigg (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy{\Bigg )}\\&=\oint \limits _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}=\oint \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {l} ,\end{aligned}}}$

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

حيث ${\displaystyle \partial \Sigma }$ هي حدود المنطقة ذات سطح أملس ${\displaystyle \Sigma }$.

يمكن ذكر مبرهنة ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي تدفق دورانه عبر السطح المغلق.

مبرهنة ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة.^[5][6] على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ أحادي الصورة وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.