قواعد التفاضل

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

فيما يلي سرد بمشتقات بعضٍ من الدوال الرياضية. على اعتبار ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$ دالتين قابلتين للاشتقاق، من أعداد حقيقية، و${\displaystyle c}$عدد حقيقي ثابت. وهذه الصيغ تكفي لاشتقاق أي دالة أساسية.^[1][2]

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

${\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'}$

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$

اشتقاق دالة هي عبارة عن حاصل ضرب دالتين يساوي الأولى ضرب مشتقة الثانية + الثانية ضرب مشتقة الأولى.

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}$

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}$

${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)={\frac {d}{dz}}f(z)|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$

${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$

${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,.}$

إن كانت ${\displaystyle y=fg}$

فيمكن أخذ لوغاريتم طبيعي للجانبين:

${\displaystyle \ln(y)=\ln(fg)}$

من خصائص اللوغاريتمات أن لوغاريتم مضروبين يساوي مجموع لوغاريتم كل منهما ${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}$، إذًا بتطبيق هذه الخاصية تصير الصيغة:

${\displaystyle \ln(y)=\ln(f)+\ln(g)}$

باشتقاق الجانبين ضمنيًّا:

${\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}$

بضرب الجانبين في ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y'=y\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}$

ثم يعوض بقيمة ${\displaystyle y}$ التي هي الدالة الأساسية ${\displaystyle y=fg}$:

${\displaystyle y'=fg\left({\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}\right)}$

بالضرب واختصار الكسور:

${\displaystyle y'=f'g+g'f}$

ينطبق ما سبق في حالة القسمة، بيد أنه في القسمة يساوي لوغاريتم مقسوم عددين مطروح لوغاريتم كل منهما ${\displaystyle \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b)}$، ويمكن استخدام الطريقة السابقة لاشتقاق الدوال المكونة من مضروب و/أو مقسوم دالتين فأكثر.

${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0}$

إذا كانت دالة f ما، تقبل دالة عكسية، فإن :

${\displaystyle (f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}}$

لأي دالة قابلة للتفاضل f لها قيم حقيقية، عندما تتواجد مركباتها ومعكوساتها.

اعلم بأن المقلوب هو المعكوس في كل الدوال إلا الدوال المثلثية إذ إن معكوساتها ليست مقلوباتها، فمعكوس الدالة المثلثية ينتج الزاوية من قيمة دالة مثلثية عندها.

${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\qquad f>0}$

${\displaystyle c'=0\,}$

${\displaystyle x'=1\,}$

${\displaystyle (cx)'=c\,}$

${\displaystyle |x|'={x \over |x|}={|x| \over x},\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle (x^{c})'=cx^{c-1}}$ حيث كلا من ${\displaystyle x^{c}\,}$ و ${\displaystyle cx^{c-1}\,}$ هي دوال معرفة

${\displaystyle \left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}$

${\displaystyle \left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle \left(c^{x}\right)'={c^{x}\ln c},\qquad c>0}$

المعادلة السابقة صحيحة لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

${\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x}}$

${\displaystyle \left(\log _{c}x\right)'={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}$

المعادلة السابقة صحيحة أيضا لأي c، ولكن ينتج عن التكامل عدد مركب.

${\displaystyle \left(\ln x\right)'={1 \over x},\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle \left(\ln |x|\right)'={1 \over x}}$

${\displaystyle \left(x^{x}\right)'=x^{x}(1+\ln x)}$

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$	${\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$	${\displaystyle (\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}\,}$	${\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}\,}$	${\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,}$

${\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$
${\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$	${\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x}$	${\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}$

حيث ${\displaystyle \psi (x)}$ هي دالة بوليغاما ^{[الإنجليزية]}.

• مشتق (رياضيات).
• تفاضل.
• نهاية دالة.
• دالة رياضية.
• قائمة الدوال الرياضية.
• دوال مثلثية.
• حساب المصفوفات.