Dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx

La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir una dimensió fraccionària (no entera) per a un objecte fractal.

Sia ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ no buit. El diàmetre de ${\displaystyle U}$ es definix com a ${\displaystyle |U|=\sup\{|x-y|:x,y\in U\}}$.

Sia ${\displaystyle I}$ un conjunt arbitrari d'índexs. La col·lecció ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ s'anomena ${\displaystyle \delta }$-recobriment de ${\displaystyle F}$ si

• ${\displaystyle F\subset \bigcup _{i\in I}U_{i}}$; i
• ${\displaystyle 0<|U_{i}|\leq \delta }$, per a cada ${\displaystyle i\in I}$.

Sia ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{n}}$ i ${\displaystyle s}$ un nombre no negatiu. Per a qualsevol ${\displaystyle \delta >0}$ es definix:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)=\inf\{\sum _{i=1}^{\infty }|U_{i}|^{s}\}}$,

on l'ínfim es pren respecte a tots els ${\displaystyle \delta }$-recobriments numerables de ${\displaystyle F}$. És possible verificar que ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ és de fet una mesura exterior a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

La mesura exterior ${\displaystyle s}$-dimensional de Hausdorff del conjunt ${\displaystyle F}$ es definix com el valor

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)=\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}{\mathcal {H}}_{\delta }^{s}(F)}$.

Aquest límit existix. Però com que ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\delta }^{s}}$ creix quan ${\displaystyle \delta }$ decreix, pot ser infinit.

És fàcil veure que ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ és una mesura exterior, així és que, per al Teorema de Carathéodory, la restricció de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ als conjunts ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$-mesurables. És de fet una mesura, anomenada mesura s-dimensional de Hausdorff.

La mesura de Hausdorff generalitza la idea de longitud, àrea i volum. La mesura de dimensió zero compta el nombre de punts en un conjunt si el conjunt és finit, o és infinita si el conjunt ho és. La mesura unidimensional amida la longitud d'una corba suau a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. La mesura bidimensional d'un conjunt a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ és proporcional a la seva àrea i anàlogament la mesura tridimensional d'un conjunt a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ és proporcional al seu volum.

Un gràfic de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ en funció de ${\displaystyle s}$ (Vegeu figura) mostra que existix un valor crític de ${\displaystyle s}$ en el qual ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}}$ canvia subitàment de ${\displaystyle \infty }$ a ${\displaystyle 0}$.

El comportament de ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(F)}$ pot explicar-se de la següent manera: Es cobrix el conjunt ${\displaystyle F}$ amb infinits conjunts de diàmetre menut ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$ i es calcula la suma d'aquests diàmetres elevats a la ${\displaystyle s}$-èsima potència. Si ${\displaystyle s}$ és menut, aquestes potències tendixen a ${\displaystyle 1}$ la qual cosa produïx que la suma divergisca. Si ${\displaystyle s}$ és gran, les ${\displaystyle s}$-èsimes potències tenen a zero i la suma tendix a anul·lar-se.

La dimensió de Hausdorff es definix com a:

${\displaystyle dim_{H}(F):=sup\{s:{\mathcal {H}}^{s}(F)=\infty \}:=inf\{s:{\mathcal {H}}^{s}(F)=0\}}$

• Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
• Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
• Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"