Die Eulersche Betafunktion , auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler ) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen , die mit B {\displaystyle \mathrm {B} } bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:
Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t,} wobei x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} einen positiven Realteil haben müssen.
Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf.
Bei festem x {\displaystyle x} (bzw. y {\displaystyle y} ) ist B {\displaystyle \mathrm {B} } eine meromorphe Funktion von y {\displaystyle y} (bzw. x {\displaystyle x} ), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation
B ( x , y ) = B ( y , x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)} . Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit R e x > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \,x>0} und R e y > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \,y>0} (die erste Darstellung ergibt sich durch die Substitution u = t 1 − t {\displaystyle u={\tfrac {t}{1-t}}} )
B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 ( 1 + t ) x + y d t = 2 ∫ 0 π 2 sin 2 y − 1 ( t ) cos 2 x − 1 ( t ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y)&{}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}}\,\mathrm {d} t\\&{}=2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2y-1}(t)\cos ^{2x-1}(t)\mathrm {d} t.\end{aligned}}} An der Darstellung mit der Gammafunktion kann man ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang x = k {\displaystyle x=k} und y = k {\displaystyle y=k} für ganze Zahlen k ≤ 0 {\displaystyle k\leq 0} hat.
Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl B ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)} für alle rationalen, nicht ganzzahligen x , y {\displaystyle x,y} transzendent ist.[1]
Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität
B ( x , y ) = Γ ( x ) ⋅ Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}} wobei Γ {\displaystyle \Gamma } die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.[2]
Um diese Relation herzuleiten, kann man das Produkt der Gammafunktionen schreiben als:
Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ u = 0 ∞ e − u u x − 1 d u ⋅ ∫ v = 0 ∞ e − v v y − 1 d v = ∫ v = 0 ∞ ∫ u = 0 ∞ e − u − v u x − 1 v y − 1 d u d v . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.\end{aligned}}} nun kann man die Variablen u = z t {\displaystyle u=zt} und v = z ( 1 − t ) {\displaystyle v=z(1-t)} substituieren und erhält damit
Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ z = 0 ∞ ∫ t = 0 1 e − z ( z t ) x − 1 ( z ( 1 − t ) ) y − 1 z d t d z = ∫ z = 0 ∞ e − z z x + y − 1 d z ⋅ ∫ t = 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x + y ) ⋅ B ( x , y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\cdot \int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\\&=\Gamma (x+y)\cdot \mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}} Teilt man nun beide Seiten durch Γ ( x + y ) {\displaystyle \Gamma (x+y)} , erhält man das Resultat.
Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:
B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( sin θ ) 2 x − 1 ( cos θ ) 2 y − 1 d θ , Re ( x ) > 0 , Re ( y ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0} B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 ( 1 + t ) x + y d t , Re ( x ) > 0 , Re ( y ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0} B ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( n − y n ) x + n , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},} B ( x , y ) = x + y x y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},} B ( x , y ) ⋅ B ( x + y , 1 − y ) = π x sin ( π y ) , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},} B ( x , y ) = 1 y ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n y n + 1 n ! ( x + n ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}} Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:
( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) . {\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.} Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} auf:
B ( x , y ) = ( x − 1 ) ! ( y − 1 ) ! ( x + y − 1 ) ! {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}} . Die Ableitung ist gegeben durch
∂ ∂ x B ( x , y ) = B ( x , y ) ( Γ ′ ( x ) Γ ( x ) − Γ ′ ( x + y ) Γ ( x + y ) ) = B ( x , y ) ( ψ ( x ) − ψ ( x + y ) ) {\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))} wobei ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} die Digamma-Funktion ist.
Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich folgende Formel:
B ( x , 1 − x ) = π csc ( π x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)=\pi \csc(\pi x)} Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit der Kreiszahl und mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar.
B ( 1 3 , 1 3 ) = 2 2 3 3 4 K [ 1 4 ( 6 − 2 ) ] {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{3}}\right)=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\,K\left[{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})\right]} B ( 1 4 , 1 2 ) = 2 2 K ( 1 2 2 ) {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right)=2{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)} B ( 1 7 , 2 7 ) = 4 7 4 cos ( π 14 ) K [ 1 8 ( 3 2 − 14 ) ] {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{7}},{\frac {2}{7}}\right)=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos \left({\frac {\pi }{14}}\right)K\left[{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})\right]} B ( 3 8 , 3 8 ) = 4 8 4 ( 2 − 1 ) K ( 2 − 1 ) {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {3}{8}},{\frac {3}{8}}\right)=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\,K\left({\sqrt {2}}-1\right)} B ( 2 15 , 8 15 ) = 3 3 / 4 5 5 / 12 sec ( π 5 ) K [ 1 16 ( 10 − 6 ) ( 3 − 5 ) ( 2 − 3 ) ] {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {2}{15}},{\frac {8}{15}}\right)=3^{3/4}5^{5/12}\sec \left({\frac {\pi }{5}}\right)K\left[{\frac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})\right]} Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.
↑ Theodor Schneider : Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1] ) ↑ Emil Artin: The Gamma Function . S. 18–19 (plouffe.fr (Memento des Originals vom 12. November 2016 im Internet Archive ) [abgerufen am 11. November 2016]).