Integration durch Substitution

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Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion, so gilt

Differentialkalkül[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im auf Euler zurückgehenden Differentialkalkül lautet die Substitutionsregel wie folgt:

wobei im letzten Schritt der Funktionsterm durch die neue Variable ersetzt wird und das neue Differential gemäß entsteht.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Stammfunktion von . Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

Damit ist eine Stammfunktion von . Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man die Substitutionsregel:

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir betrachten:

.

Der Term erscheint innerhalb der Funktion und seine Ableitung als Faktor außerhalb der Funktion . Diese Konstellation ermöglicht es, durch Substitution den Term aus dem Integranden in die Integrationsgrenzen zu verschieben. Zur Substitution benutzt man die Umkehrfunktion und einen neuen Variablennamen, hier . Es soll gelten und . Die Substitution besteht darin, zuerst im Integranden den Faktor zu streichen und gleichzeitig das Symbol durch zu ersetzen. Anschließend wird überall die Integrationsvariable durch ersetzt. Abschließend werden die Integrationsgrenzen und durch bzw. ersetzt.

Rechnerisch läuft folgendes ab:

Hat man die Stammfunktion gefunden, kann man sie direkt an den (neuen) Grenzen und auswerten:

(Man könnte auch die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als bilden und dann an den alten Grenzen und auswerten. In der Praxis ist diese Rücksubstitution aber unnützer Aufwand, wenn es nur um bestimmte Integrale geht.)

Diese Substitutionsmethode lässt sich auch rückwärts durchführen; allerdings muss die Funktion injektiv sein. Man geht von

aus (man beachte die Benennung der Integrationsgrenzen). Die Integrationsvariable wird durch den Term von ersetzt, ebenso das Symbol durch . Der Integrand wird mit multipliziert. Die Integrationsgrenzen und werden durch bzw. ersetzt. Das sieht dann so aus:

Bei geschickter Wahl der Funktion kann entgegen des ersten Anscheins der Integrand vereinfacht werden.

Substitution eines bestimmten Integrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

für eine beliebige reelle Zahl : Durch die Substitution erhält man , also , und damit:

.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

:

Durch die Substitution erhält man , also , und damit

.

Es wird also durch ersetzt und durch . Die untere Grenze des Integrals wird dabei in umgewandelt und die obere Grenze in .

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts.

Für die Berechnung des Integrals

kann man substituieren. Daraus ergibt sich . Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung . Die obere Grenze wird zu , weil . Aus ergibt sich die neue untere Grenze . Mit für rechnet man

.

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

.

(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)

Substitution eines unbestimmten Integrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzungen und Vorgehen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

wobei eine Stammfunktion von ist.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution , erhält man

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Substitution erhält man

Man beachte, dass die Substitution nur für bzw. nur für streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist eine Stammfunktion von , dann gilt

, falls .

Zum Beispiel gilt

,

da und .

Logarithmische Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

.

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit .

Zum Beispiel gilt

,

da die Ableitung hat.

Eulersche Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

und

elementar integrieren.

Beispiel:

Durch die Substitution also , , und ergibt sich

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]