Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ einer geometrischen Folge ${\displaystyle (a_{n})}$. Bei einer geometrischen Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ ist der (formale) Quotient ${\displaystyle q}$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant, es gilt also stets

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}q}$.

Explizit ausgedrückt gibt es also eine Konstante ${\displaystyle c}$, sodass ${\displaystyle a_{n}=cq^{n}}$ für alle ${\displaystyle n\geq 0}$. Das bedeutet, dass die Folgenglieder bezüglich des Summenindex einen exponentiellen Verlauf annehmen. Da der Fall ${\displaystyle c=0}$ trivial und in vielen Anwendungen auch nicht sinnvoll ist, und ${\displaystyle c}$ zugleich nur ein gemeinsamer Faktor aller Summanden der Reihe ist, wird in der Literatur meistens schlicht ${\displaystyle c=1}$ gesetzt. Die geometrische Reihe hat dann die vereinfachte Gestalt

${\displaystyle 1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots }$.

Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich die Partialsummen ${\displaystyle \textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$ der zugehörigen geometrischen Reihe explizit zu berechnen. Durch die Rekursion ${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}+q^{n}}$ für ${\displaystyle n\geq 0}$ ergibt sich

${\displaystyle s_{n}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n}=1+q(1+\cdots +q^{n-1})=1+qs_{n-1}=1+q(s_{n}-q^{n})}$

und durch Auflösen schließlich für ${\displaystyle q\not =1}$

${\displaystyle s_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$.

Eine wichtige Folgerung daraus ist, dass die geometrische Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}$ genau dann konvergiert, falls ${\displaystyle |q|<1}$ gilt. Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei ${\displaystyle q}$ um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.

Die geometrische Reihe zählt zu den wichtigsten Reihen überhaupt. Anwendungen hat sie als Majorante (etwa beim Beweis von Konvergenzkriterien, wie dem Quotientenkriterium), im Bereich der Potenzreihenentwicklungen rationaler Funktionen und in der analytischen Kombinatorik.

Für reelle (oder komplexe) Zahlen ${\displaystyle q}$ definiert man die geometrische Reihe als^[1]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}.}$

Ihre Partialsummen sind also gegeben durch ${\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$, und die ersten Glieder sind

${\displaystyle 1,\quad 1+q,\quad 1+q+q^{2},\quad 1+q+q^{2}+q^{3},\quad \ldots .}$

In allgemeinerer Form wird für reelle (oder komplexe) Zahlen ${\displaystyle a\not =0,q}$ die Reihe^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}=a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots =a\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+\cdots \right)}$

auch als geometrische Reihe bezeichnet. Diese ist jedoch bis auf einen skalaren Faktor gleich der geometrischen Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$, weshalb meistens diese studiert wird.

Für ${\displaystyle |q|<1}$ konvergiert die geometrische Reihe. Es gilt in diesem Fall

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=1+q+q^{2}+\dots ={\frac {1}{1-q}}}$.

Bewiesen werden kann dies über Betrachtung der Partialsummen:

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}$,

und die letzte Gleichheit folgt aus

${\displaystyle (1-q)s_{n}=\sum _{k=0}^{n}q^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}q^{k}=1-q^{n+1}.}$

Es ist ${\displaystyle q^{n}}$ für ${\displaystyle |q|<1}$ eine Nullfolge, also gilt

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-0}{1-q}}={\frac {1}{1-q}}}$.

Es ist also ${\displaystyle |q|<1}$ hinreichend für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Zugleich ist dies jedoch auch notwendig: Für ${\displaystyle |q|\geq 1}$ folgt die Divergenz der Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$ aus dem Nullfolgenkriterium, da ${\displaystyle q^{n}}$ in diesem Fall für ${\displaystyle n\to \infty }$ nicht gegen 0 strebt.^[3]

• 
  Konvergenz der geometrischen Reihe für ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$.
• 
  Konvergenz der geometrischen Reihe auf der Zahlengeraden.

Ein Quotient ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle |q|\geq 1}$ ergibt eine divergente geometrische Reihe, z. B. für ${\displaystyle q=2}$ und Startwert ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1,~1+2,~1+2+4,~1+2+4+8,\dots }$ zusammengefasst also ${\displaystyle 1,~3,~7,~15,\dots }$

Im Falle der hier abgebildeten Zweierpotenzen erscheinen stets die Mersenneschen Zahlen ${\displaystyle s_{n}=2^{n+1}-1}$ als Werte der Summe.

Gegeben sei die geometrische Folge

${\displaystyle a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dotsc }$

mit ${\displaystyle a_{0}=5}$ und ${\displaystyle q=3.}$ Die zugehörige geometrische Reihe ist

${\displaystyle s=5\sum _{k=0}^{\infty }3^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }5\cdot 3^{k}=5+15+45+135+\dotsb =\infty .}$

Die zugehörige Folge von Partialsummen ergibt sich zu

${\displaystyle s_{0}=5=5{\frac {1-3^{1}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{1}=5+15=20=5{\frac {1-3^{2}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{2}=5+15+45=65=5{\frac {1-3^{3}}{1-3}}}$

${\displaystyle s_{3}=5+15+45+135=200=5{\frac {1-3^{4}}{1-3}}}$

usw.

Das große gleichseitige Dreieck ${\displaystyle ABC}$, dessen Flächeninhalt ohne Beschränkung der Allgemeinheit als ${\displaystyle 1}$ angenommen wird, setzt sich aus drei flächengleichen unendlichen Folgen gleichseitiger Dreiecke (rot, gelb, blau) zusammen, deren Grenzwerte jeweils ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$mal so groß sind wie das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ (Figur 1). Wegen der Selbstähnlichkeit der Dreiecke ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle A_{1}B_{1}C}$, ${\displaystyle A_{2}B_{2}C}$, … und ihrer Mittendreieck-Eigenschaften besitzt jede der drei Dreiecksfolgen den Grenzwert

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}}$.

Also gilt^[4][5]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}={\frac {1}{3}}}$.

In Figur 2 gilt:

${\displaystyle 1+2\cdot {\frac {1}{2}}+3\cdot {\frac {1}{4}}+4\cdot {\frac {1}{8}}+5\cdot {\frac {1}{16}}+\ldots =4}$.

Dies bestätigt die Partialsummenformel

${\displaystyle s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n}q^{k}k}$

für ${\displaystyle a_{0}=2}$, ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$ und ${\displaystyle n=5}$.^[6][7]

Im antiken Griechenland beschäftigte sich Zenon von Elea (ca. 490 v. Chr. bis 430 v. Chr.)^[8] bereits mit Paradoxien und Trugschlüssen, die beim Umgang mit dem Unendlichen entstehen können. Oft handelte es sich dabei um Gedankenexperimente im Umfeld von Raum, Zeit und Bewegung.

Bereits vor ca. 2500 Jahren standen griechische Mathematiker vor einem Paradoxon, das beim Gehen von einem Ort zum anderen entstehen kann: Sie glaubten, dass stets eine unendlich lange Liste von Zahlen, die alle größer als null sind, zu unendlich summiert wird. Deshalb erschien es paradox, als Zenon von Elea im Rahmen seines Teilungsparadoxons darauf hinwies, dass man, um von einem Ort zum anderen zu gelangen, zuerst die Hälfte der Strecke gehen muss, dann die Hälfte der verbleibenden Strecke und danach wieder die Hälfte der dann noch verbleibenden Strecke. Dieser Vorgang setzt sich unendlich oft fort, da man, egal wie klein die verbleibende Strecke ist, immer die erste Hälfte davon zurücklegen muss. Dadurch verwandelte Zenon von Elea eine kurze Strecke in eine unendlich lange Liste von halbierten Reststrecken, die allesamt größer als null sind. Das Problem bestand nun darin: Wie kann eine Strecke beschränkt sein, da der Zielort offenbar niemals erreicht wird, und gleichzeitig unendlich lang, da man eine unendlich lange Liste positiver Strecken summiert? Zenon selbst argumentierte, dass seine Überlegungen zeigten, dass eine Bewegung „unmöglich“ sei.^[8] Das Paradoxon zeigt hingegen, dass die Annahme, eine unendlich lange Liste von Zahlen größer als null summiere sich zu unendlich, falsch ist. In der Tat ist es unmittelbar mit der Zerlegung der 1 in die folgende unendliche, geometrische Reihe verknüpft:^[9]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{2^{5}}}+\cdots =1.}$

Ein sehr anschauliches Beispiel für die Anwendung (und sogar Herleitung des Grenzwerts) der geometrischen Reihe ist Geschichte von Achilles und der Schildkröte.^[10] Bekannt ist es als eines von mehreren bekannten Trugschlüssen, die Zenon von Elea zugeschrieben werden, und eines von vier Paradoxa, die Aristoteles in seiner Abhandlung Physik beschreibt.^[8]

Der für seine Schnelligkeit bekannte Athlet Achilles tritt in einem Wettlauf gegen eine langsame Schildkröte an. Beide starten zum selben Zeitpunkt, aber die Schildkröte erhält anfangs einen Vorsprung von, zum Beispiel ${\displaystyle 100\,{\text{m}}}$. Obwohl Achilles mit einer um den Faktor ${\displaystyle p}$, mit ${\displaystyle p>1}$, höheren Geschwindigkeit als die der Schildkröte läuft, kann er sie scheinbar niemals einholen. Denn: Sobald Achilles ${\displaystyle 100\,{\text{m}}}$ weit gelaufen ist, also den Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte gestartet ist, ist eine gewisse Zeit verstrichen. In dieser Zeit hat die Schildkröte die Strecke ${\displaystyle {\tfrac {100\,{\text{m}}}{p}}}$ zurückgelegt. Achilles muss also die entsprechende Strecke weiterlaufen, um die Schildkröte einzuholen. Derweil hat die Schildkröte jedoch weitere ${\displaystyle {\tfrac {100\,{\text{m}}}{p^{2}}}}$ zurückgelegt. Achilles hat die Schildkröte immer noch nicht eingeholt. Er läuft entsprechend weiter, muss nun allerdings feststellen, dass die Schildkröte in der Zwischenzeit abermals eine gewisse Strecke zusätzlich zurückgelegt hat; dieses Mal sind es ${\displaystyle {\tfrac {100\,{\text{m}}}{p^{3}}}}$. Dieses Spiel setzt sich unendlich oft fort.

Der Punkt ${\displaystyle x}$, an welchem Achilles die Schildkröte endlich einholen wird, ist gegeben durch die unendliche Summe

${\displaystyle x=100\,{\text{m}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p^{2}}}+{\frac {100\,{\text{m}}}{p^{3}}}+\dots =100\,{\text{m}}\sum _{k=0}^{\infty }p^{-k}.}$

Alternativ kann ${\displaystyle x}$ durch das Aufstellen zweier linearer Gleichungen bestimmt werden. Es seien

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\text{S}}(t)&=v\,t+100\,{\text{m}}\quad {\text{bzw.}}\\x_{\text{A}}(t)&=p\,v\,t\end{aligned}}}$

die Bewegungsgleichungen der Schildkröte bzw. von Achilles, wobei ${\displaystyle v}$ die Geschwindigkeit der Schildkröte und ${\displaystyle t}$ die verstrichene Zeit ist. Es wird die ${\displaystyle x}$-Koordinate des Schnittpunkts von ${\displaystyle x_{\text{S}}(t)}$ und ${\displaystyle x_{\text{A}}(t)}$ gesucht. Durch Gleichsetzen beider Gleichungen, Umformung auf ${\displaystyle t}$ und Einsetzen von ${\displaystyle t}$ in eine der beiden Gleichungen erhält man

${\displaystyle x={\frac {100\,{\text{m}}}{1-{\tfrac {1}{p}}}}.}$

Der Wert ist endlich; Achilles wird die Schildkröte also doch einholen (womit sich das scheinbare Paradoxon auflöst). Wird diese Lösung mit derjenigen von oben verglichen, so findet man

${\displaystyle 100\,{\text{m}}\sum _{k=0}^{\infty }p^{-k}={\frac {100\,{\text{m}}}{1-{\frac {1}{p}}}},\quad }$ oder äquivalent ${\displaystyle \quad \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}},}$

wobei im letzten Schritt auf beiden Seiten durch ${\displaystyle 100\,{\text{m}}}$ geteilt und die Variable ${\displaystyle q:={\tfrac {1}{p}}}$, mit ${\displaystyle 0<q<1}$, eingeführt wurde.

Euklid hat in seinen Elementen wichtige Beiträge zur Erforschung der geometrischen Reihe geleistet, insbesondere in Buch VIII und IX. Seine Arbeit legte den Grundstein für spätere Entwicklungen in diesem Bereich der Mathematik. Proposition 35 im Buch IX der Elemente befasst sich mit der Summe einer geometrischen Reihe. Euklid stellt hier einen allgemeinen Satz über geometrische Reihen auf, ohne jedoch den Begriff geometrische Reihe explizit zu verwenden. Die Proposition besagt sinngemäß: Wenn man eine Reihe von Zahlen hat, bei der jede Zahl ein konstantes Vielfaches der vorherigen ist (also eine geometrische Folge), und man die Summe aller Zahlen bis zu einem bestimmten Punkt bildet, dann steht diese Summe in einem bestimmten Verhältnis zur letzten Zahl der Reihe. Euklid beweist diesen Satz geometrisch, was typisch für seine Herangehensweise ist. Obwohl Euklid den Satz nicht in der heute geläufigen algebraischen Form darstellt, enthält seine Proposition im Kern die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe.

Details zu Euklids Ausführungen zur geometrischen Reihe (mit Originaltext und Übersetzung)
Euklids Ausführung kann wie folgt ins Deutsche übersetzt werden:
Originaltext (griechisch)	Übersetzung
Εὰν ὦσιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον, ἀφαι- ρεθῶσι δὲ ἀπό τε τοῦ δευτέρου καὶ τοῦ ἐσχάτου ἴσοι τῷ πρώτῳ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας. ῎Εστωσαν ὁποσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἑξῆς ἀνάλογον οἱ Α, ΒΓ, Δ, ΕΖ ἀφχόμενοι ἀπὸ ἐλαχίστου τοῦ Α, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΒΓ καὶ τοῦ ΕΖ τῲ Α ἴσος ἑκάτερος τῶν ΒΗ, ΖΘ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΗΓ πρὸς τὸν Α, οὕτως ὁ ΕΘ πρὸς τοὺς Α, ΒΓ, Δ. ΚείσθωγὰρτῷμὲνΒΓἴσοςὁΖΚ,τῷδὲΔἴσοςὁΖΛ. καὶ ἐπεὶ ὁ ΖΚ τῷ ΒΓ ἴσος ἐστίν, ὧν ὁ ΖΘ τῷ ΒΗ ἴσος ἐστίν, λοιπὸς ἄρα ὁ ΘΚ λοιπῷ τῷ ΗΓ ἐστιν ἴσος. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὁΕΖπρὸςτὸνΔ,οὕτωςὁΔπρὸςτὸνΒΓκαὶὁΒΓπρὸς τὸνΑ,ἴσοςδὲὁμὲνΔτῷΖΛ,ὁδὲΒΓτῷΖΚ,ὁδὲΑτῷ ΖΘ,ἔστινἄραὡςὁΕΖπρὸςτὸνΖΛ,οὕτωςὁΛΖπρὸςτὸν ΖΚ καὶ ὁ ΖΚ πρὸς τὸν ΖΘ. διελόντι, ὡς ὁ ΕΛ πρὸς τὸν ΛΖ, οὕτως ὁ ΛΚ πρὸς τὸν ΖΚ καὶ ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ. ἔστιν ἄρα καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΚΘ πρὸς τὸν ΖΘ, οὕτως οἱ ΕΛ, ΛΚ, ΚΘ πρὸς τοὺςΛΖ,ΖΚ,ΘΖ.ἴσοςδὲὁμὲνΚΘτῷΓΗ,ὁδὲΖΘτῷ Α,οἱδὲΛΖ,ΖΚ,ΘΖτοὶςΔ,ΒΓ,Α·ἔστινἄραὡςὁΓΗ πρὸςτὸνΑ,οὕτωςὁΕΘπρὸςτοὺςΔ,ΒΓ,Α.ἔστινἄρα ὡς ἡ τοῦ δευτέρου ὑπεροχὴ πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ ἐσχάτου ὑπεροχὴ πρὸς τοὺς πρὸ ἑαυτοῦ πάντας· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.[11]	Wird vom zweiten und vom letzten Glied einer fortlaufend gleichen Proportion eine Zahl gleich dem ersten Glied subtrahiert, dann verhält sich der Rest des zweiten zum ersten Glied wie der Rest des letzten Glieds zur Summe aus den übrigen Gliedern. Wenn die Zahlen A, BC, D, EF mit der davon kleinsten Zahl A in fortlaufend gleicher Proportion stehen und von BC, EF, die der A gleichen Zahlen BG, FH subtrahiert werden, dann, sage ich, verhält sich GC zu A wie EH zur Summe aus A, BC, D. Denn ist die Zahl FK gleich BC und die Zahl FL gleich D, dann ist FK gleich BC und FH gleich BG, somit HK gleich GC. Damit verhält sich EF zu D wie D zu BC und wie BC zu A. Da D gleich FL, da BC gleich FK und da A gleich FH ist, verhält sich EF zu FL wie LF zu FK und wie FK zu FH. Es verhält sich nach Verkleinerung der Verhältnisse [wie V. Erklärung 15.] EL zu LF wie LK zu FK und wie KH zu FH. Da sich in einer Proportion die erste zur zweiten Zahl verhält wie die Summe der Vorderglieder zur Summe der Hinterglieder [wie VII.12.], verhält sich KH zu FH wie die Summe aus EL, LK, KH zur Summe aus LF, FK, HF. Da KH gleich CG und FH gleich A ist, ist die Summe aus LF, FK, HF gleich der Summe aus D, BC, A. Also verhält sich CG zu A wie EH zur Summe aus D, BC, A. Deshalb verhält sich der Rest aus dem zweiten Glied zum ersten wie der Rest aus dem letzten zur Summe aus den übrigen Gliedern, was zu zeigen war.[12]

Archimedes (287 v. Chr. bis 212 v. Chr.)^[13] benutzte die Summe einer geometrischen Reihe, um die von einer Parabel und einer Geraden eingeschlossene Fläche zu berechnen. Seine Methode bestand darin, die Fläche in eine unendliche Anzahl von Dreiecken zu zerlegen. Das Theorem von Archimedes besagt, dass die gesamte Fläche unter der Parabel ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$ der Fläche des blauen Dreiecks im Bild beträgt.

Archimedes stellte fest, dass jedes grüne Dreieck ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ der Fläche des blauen Dreiecks hat, jedes gelbe Dreieck ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}}$ der Fläche eines grünen Dreiecks und so weiter. Nimmt man an, das blaue Dreieck habe die Fläche 1, dann ergibt die gesamte Fläche eine unendliche Summe:

${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$

Der erste Term repräsentiert die Fläche des blauen Dreiecks, der zweite Term die Flächen der zwei grünen Dreiecke, der dritte Term die Flächen der vier gelben Dreiecke und so weiter. Die Brüche vereinfacht ergeben

${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots .}$

Dies ist eine geometrische Reihe mit dem Verhältnis ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ und der Bruchteil ist gleich^[14]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={4 \over 3}.}$

Diese Berechnung verwendet die Exhaustionsmethode, eine frühe Version der Integration. Mit Hilfe der Analysis könnte dieselbe Fläche durch ein bestimmtes Integral gefunden werden. Allerdings lässt sich die Approximation von Flächen durch Dreiecke nur für sehr spezielle Kurven anwenden.^[15]

Auch Nicole Oresme beschäftigte sich mit der Theorie unendlicher Reihen und fand etwa einen einfachen Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe.^[17] Darüber hinaus wurde im Jahr 1350 von ihm bewiesen, dass die Reihe

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\cdots +{\frac {n}{2^{n}}}+\cdots }$

gegen den Wert 2 konvergiert, die eng verwandt zur geometrischen Reihe ist. Sein Diagramm für seinen geometrischen Beweis, ähnlich dem benachbarten Diagramm, zeigt eine „zweidimensionale geometrische Reihe“. Die erste Dimension ist horizontal und zeigt in der unteren Reihe die geometrische Reihe

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots ,}$

die die geometrische Reihe mit dem Koeffizienten ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$ und dem gemeinsamen Verhältnis ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$ ist, die gegen 1 konvergiert. Die zweite Dimension ist vertikal, wobei die untere Reihe ein neuer Koeffizient ${\displaystyle a_{T}}$ ist, der ${\displaystyle S}$ entspricht, und jede nachfolgende Reihe darüber um dasselbe gemeinsame Verhältnis ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$ skaliert wird, wodurch eine weitere geometrische Reihe entsteht,

${\displaystyle T=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ,}$

die die geometrische Reihe mit dem Koeffizienten ${\displaystyle a_{T}=S=1}$ und dem gemeinsamen Verhältnis ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$ ist, die insgesamt gegen

${\displaystyle T={\frac {a_{T}}{1-r}}={\frac {S}{1-r}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2}$

konvergiert.^[18]

Pierre de Fermat nutzte die geometrische Reihe im Jahr 1636 für die Berechnung des Integrals

${\displaystyle \int _{0}^{B}x^{a}\mathrm {d} x}$

für ${\displaystyle a>-1}$ und ${\displaystyle B>0}$. Dabei ging er wie folgt vor: Zunächst zerlegte er den Definitionsbereich ${\displaystyle (0,B)}$ des Integranden ${\displaystyle x^{a}}$ für ${\displaystyle 0<\theta <1}$ in Einzelteile mit Abschnitten

${\displaystyle B,\quad B\theta ,\quad B\theta ^{2},\quad \ldots .}$

Die entsprechenden Funktionswerte sind dann

${\displaystyle B^{a},\quad B^{a}\theta ^{a},\quad B^{a}\theta ^{2a},\quad \ldots }$

Fermat approximierte den Flächeninhalt über die Obersumme der entsprechenden Rechtecke:

${\displaystyle (B-B\theta )B^{a}+(B\theta -B\theta ^{2})B^{a}\theta ^{a}+(B\theta ^{2}-B\theta ^{3})B^{a}\theta ^{2a}+\cdots =B^{a+1}(1-\theta )(1+\theta ^{a+1}+\theta ^{2a+2}+\cdots )=B^{a+1}{\frac {1-\theta }{1-\theta ^{a+1}}}.}$

Nun gilt bei Verfeinerung der Unterteilung ${\displaystyle \theta \to 1^{-}}$

${\displaystyle B^{a+1}{\frac {1-\theta }{1-\theta ^{a+1}}}{\overset {\theta \to 1^{-}}{\longrightarrow }}{\frac {B^{a+1}}{a+1}},}$

was man zum Beispiel mit der Regel von L'Hospital sieht. Damit schloss Fermat das (korrekte) Ergebnis^[19]

${\displaystyle \int _{0}^{B}x^{a}\mathrm {d} x={\frac {B^{a+1}}{a+1}}.}$

Zu beachten ist, dass die Methode schon bei der Hyperbel ${\displaystyle y=x^{-1}}$ nicht mehr funktioniert.^[20]

Noch im 18. Jahrhundert war das unbedarfte Rechnen mit divergenten unendlichen Reihen noch sehr verbreitet. So gaben etwa Leonhard Euler und auch Joseph-Louis Lagrange die „Identität“^[21]

${\displaystyle \cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)+\cdots =-{\frac {1}{2}}}$

an, obwohl sich die Summe zur Linken keinem Grenzwert nähert. Auf den Wert ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$ stießen sie dabei formal über Manipulationen auch basierend auf der geometrischen Reihe. Dieses Prozedere wurde jedoch unter anderem von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert kritisiert. Als Reaktion auf die Kritik fragte Lagrange, ob „für eine unendliche geometrische Reihe wie ${\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots }$“ nicht stets „der Term ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}}}$ substituiert“ werden könne, obwohl Gleichheit „nur dann herrsche, wenn das Glied ${\displaystyle x^{\infty }}$ gleich 0 wäre“.^[22]

In eine ähnliche Richtung geht die von Guido Grandi gegebene „Identität“

${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}},}$

die er 1703 mit geometrischen Methoden rechtfertigte.^[23] Heuristisch wird diese durch die geometrischen Reihen

${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots }$

und

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots }$

an „der Stelle ${\displaystyle x=1}$“ erklärt.^[24] Erst später konnten solche in der mathematischen Strenge falschen Aussagen in eine rigorose Theorie eingebettet werden. Im Laufe des 20. Jahrhunderts wurde unter anderem eine „strenge“ Theorie der divergenten Reihen, unter Vorbehalt gewisser Voraussetzungen, aufgebaut. Bei diesen Limitierungsverfahren wird, unter Berücksichtigung des quantitativen Verständnisses von Reihen, durch Limesbildung der Konvergenzbegriff verallgemeinert, sodass die Klasse „konvergenter Reihen“ ausgedehnt wird.^[25]

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5 % [d. h. der Zinsfaktor ist: ${\displaystyle 1+(5/100)=1{,}05}$]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins ${\displaystyle 2000\cdot 1,05^{5}}$ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann durch die Rentenrechnung nach fünf Jahren ein angesparter Betrag von

${\displaystyle {\begin{aligned}&2\,000\cdot 1{,}05^{5}+2\,000\cdot 1{,}05^{4}+2\,000\cdot 1{,}05^{3}+2\,000\cdot 1{,}05^{2}+2\,000\cdot 1{,}05^{1}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot (1{,}05^{4}+1{,}05^{3}+1{,}05^{2}+1{,}05^{1}+1{,}05^{0})\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot \sum _{k=0}^{4}1{,}05^{k}\\&\quad =2\,000\cdot 1{,}05\cdot {\frac {1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}}\\&\quad =11\,603{,}826\end{aligned}}}$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1603,83 € erhöht. Beim Nachrechnen von Kontoauszügen ist zu bedenken, dass im Bankenwesen nicht mathematisch gerundet wird.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2000 € eingezahlt, sondern gleich von Beginn an die ganzen 10000 € über 5 Jahre bei 5 % Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

${\displaystyle 10\,000\cdot 1{,}05^{5}=12\,762{,}8156}$

also ein Kapitalertrag von 2762,82 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres ${\displaystyle a_{0}}$, der Zinsfaktor ${\displaystyle q}$ und die Laufzeit ${\displaystyle n}$ Jahre, dann ist der Endwert

${\displaystyle a_{0}\sum _{k=1}^{n}q^{k}=a_{0}q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}}$.

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann.^[26]

Beispiel 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}0{,}2{\overline {67}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{100}}\right)^{k}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {100}{99}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{990}}={\frac {265}{990}}={\frac {53}{198}}.\end{aligned}}}$

Beispiel 2:

${\displaystyle 0{,}{\overline {9}}={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\dotsb ={\frac {9}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1.}$

Verallgemeinern lässt sich dies auf sog. g-ale Entwicklungen: Ist eine ganze Zahl ${\displaystyle g\geq 2}$ fest gewählt, und ${\displaystyle x_{k}\in \{0,\ldots g-1\}}$ eine Folge, so heißt

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}g^{-k}}$

die g-ale Entwicklung der reellen Zahl ${\displaystyle x}$. Wegen der Abschätzung,

${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{\infty }x_{k}g^{-k}\leq (g-1)\sum _{k=1}^{\infty }g^{-k}=1}$

welche die geometrische Reihe nutzt, gilt zudem ${\displaystyle x\in [0,1]}$.^[27] Dies kann dazu verwendet werden, die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zu zeigen.^[28]

Die geometrische Reihe kommt bei der namensverwandten geometrischen Verteilung zum Einsatz.^[30] Diese modelliert ein beliebig häufig wiederholtes Bernoulli-Experiment mit möglichen Ausgängen

• „Erfolg“ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle r}$
• „Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-r}$.

In einem Spiel wird Runde für Runde so lange gespielt, bis ein Erfolg vorliegt (womit das Spiel endet). Liegt sofort ein Erfolg vor, korrespondiert dies zu der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle r}$, bei einem Misserfolg und einem anschließenden Erfolg ist es ${\displaystyle (1-r)r}$. Allgemein bezieht sich ${\displaystyle (1-r)^{n}r}$ auf ${\displaystyle n}$ Misserfolge hintereinander mit einem anschließenden Erfolg in der ${\displaystyle n+1}$-ten Runde. Bei positiver Erfolgswahrscheinlichkeit ${\displaystyle r>0}$ wird fast sicher irgendwann mal ein Erfolg eintreffen; gleichzeitig repräsentieren die ${\displaystyle r^{n}(1-r)}$ alle unterschiedliche Ereignisse. Damit erhält die geometrische Reihe eine probabilistische Interpretation:

${\displaystyle r+(1-r)r+(1-r)^{2}r+(1-r)^{3}r+(1-r)^{4}r+\cdots =1.}$

Die geometrische Reihe spielt auch beim sog. Ruin des Spielers eine zentrale Rolle. Ausgangspunkt ist ein Spiel zwischen einem Spieler und der Bank, das in mehreren Runden ausgetragen wird. Jede Runde läuft unabhängig von der vorherigen ab, und mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ gewinnt der Spieler einen Euro in einer Runde. Entsprechend verliert der Spieler mit der Gegenwahrscheinlichkeit ${\displaystyle q=1-p}$ einen Euro in einer Runde gegen die Bank. Angenommen wird, dass der Spieler mit einem Kapital von ${\displaystyle i}$ Euro startet und die Bank ${\displaystyle a-i>0}$ an Kapital besitzt. Die Frage ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle q_{i}}$ der Spieler verlieren wird, also sein Kapital komplett verbraucht (die Bank verliert, wenn der Spieler irgendwann ${\displaystyle a}$ Euro besitzt, ohne davor pleitegegangen zu sein).^[31] Über die geometrische Reihe kann man diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle i}$ ausdrücken:^[32]

${\displaystyle q_{i}=1-{\frac {({\frac {p}{q}})^{a-i}-({\frac {p}{q}})^{a}}{1-({\frac {p}{q}})^{a}}}.}$

Die Fläche innerhalb der Kochschen Schneeflocke kann als Vereinigung von unendlich vielen gleichseitigen Dreiecken beschrieben werden (siehe Abbildung). Jede Seite des grünen Dreiecks ist genau ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ so groß wie eine Seite des großen blauen Dreiecks und hat daher genau ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ der Fläche. Ebenso hat jedes gelbe Dreieck ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ der Fläche eines grünen Dreiecks, und so weiter. Wenn man das blaue Dreieck als Einheit der Fläche nimmt, ergibt die gesamte Fläche der Schneeflocke

${\displaystyle 1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots .}$

Der erste Term dieser Reihe repräsentiert die Fläche des blauen Dreiecks, der zweite Term die Gesamtfläche der drei grünen Dreiecke, der dritte Term die Gesamtfläche der zwölf gelben Dreiecke, und so weiter. Abgesehen von der anfänglichen 1 ist diese Reihe geometrisch mit einem konstanten Verhältnis ${\displaystyle r={\tfrac {4}{9}}}$. Der erste Term der geometrischen Reihe ist ${\displaystyle a=3\cdot {\tfrac {1}{9}}={\tfrac {1}{3}}}$, sodass die Summe

${\displaystyle 1+{\frac {a}{1-r}}=1+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}}$

ist. Somit ist die Fläche der Kochschen Schneeflocke Faktor ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$ der Fläche des Basisdreiecks.

Die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl ist gegeben durch

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{n}}.}$

Über die geometrische Reihe erhält man die Integralformel

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{n}}{1-t}}\mathrm {d} t.}$

Damit kann eine Verallgemeinerung definiert werden: Für komplexe Werte ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>-1}$ kann man

${\displaystyle H_{s}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{s}}{1-t}}\mathrm {d} t}$

definieren, und es gilt

${\displaystyle H_{s-1}+{\frac {1}{s}}=H_{s}.}$

Zudem folgt, als direkte Verallgemeinerung der oberen Überlegungen, über Anwendung der geometrischen Reihe die Multiintegraldarstellung

${\displaystyle \zeta (n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{n}}{1-x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},\qquad (n>1).}$

Ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ eine Reihe mit ${\displaystyle a_{n}\not =0}$ für alle bis auf endlich viele ${\displaystyle n}$. Existiert eine Zahl ${\displaystyle 0<q<1}$ mit

${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q}$

für alle bis auf endlich viele ${\displaystyle n}$. Das Quotientenkriterium besagt dann, dass unter diesen Voraussetzungen ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ absolut konvergiert. Bewiesen kann dies unter Anwendung der geometrischen Reihe gezeigt werden. Für hinreichend große ${\displaystyle n\geq N}$ gilt

${\displaystyle |a_{n}|\leq |a_{n-1}|q\leq |a_{n-2}|q^{2}\leq \ldots \leq |a_{N}|q^{n-N}={\frac {|a_{N}|}{q^{N}}}q^{n}.}$

Damit stellt die absolut konvergente geometrische Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=N}^{\infty }{\frac {|a_{N}|}{q^{N}}}q^{n}}$ eine Majorante zu ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}}$ dar, womit die Aussage durch das Majorantenkriterium folgt.^[33]

Durch eine ähnliche Argumentation, wieder unter Anwendung des Majorantenkriteriums und der geometrischen Reihe, kann das Wurzelkriterium gezeigt werden.^[34]

Auch in der Theorie der Potenzreihen nimmt die geometrische Reihe die Rolle einer Majorante ein. Grob gesagt ist die Idee, eine allgemeine Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ durch die geometrische Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}}$ zu „imitieren“. Eine wichtige Aussage in diesem Kontext ist die Existenz eines Konvergenzradius für Potenzreihen: Für jede formale Potenzreihe ${\displaystyle F(q)=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ existiert eine eindeutig bestimmte Zahl ${\displaystyle 0\leq R\leq \infty }$, so dass ${\displaystyle F(q)}$ für alle ${\displaystyle |q|<R}$ konvergiert und für alle ${\displaystyle |q|>R}$ divergiert. Dabei ist die Menge der ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle |q|<0}$ bzw. ${\displaystyle |q|>\infty }$ per definitionem leer. Setzt man

${\displaystyle R:=\sup\{\varrho \geq 0\colon (a_{n}\varrho ^{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\quad {\text{ist Nullfolge}}\},}$

so existiert für alle ${\displaystyle \varrho <\varrho _{1}<R}$ eine Abschätzung für ${\displaystyle |q|\leq \varrho }$:

${\displaystyle |a_{n}q^{n}|\leq \left|a_{n}\varrho _{1}^{n}{\frac {\varrho ^{n}}{\varrho _{1}^{n}}}\right|\leq M_{\varrho _{1}}\cdot \left({\frac {\varrho }{\varrho _{1}}}\right)^{n}}$

für eine nur von ${\displaystyle \varrho _{1}}$ (und natürlich der Potenzreihe als ganze) abhängigen Konstanten ${\displaystyle M_{\varrho _{1}}>0}$. Damit hat man

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}q^{n}|\leq M_{\varrho _{1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\varrho }{\varrho _{1}}}\right)^{n}<\infty }$

also muss die Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ in letzter Konsequenz für alle ${\displaystyle |q|<R}$ nach dem Majorantenkriterium konvergieren. Wegen des Nullfolgenkriteriums ist sie ferner nach Konstruktion für alle ${\displaystyle |q|>R}$ divergent. Damit zeigt sich, dass allgemeine Potenzreihen stets auf Kreisscheiben konvergieren, gerade weil die spezielle geometrische Reihe dies als Potenzreihe tut.^[35]

Mit der geometrischen Reihe kann in manchen Fällen auch etwas über das Konvergenzverhalten von Potenzreihen mit Konvergenzradius 1 am Rand ihres Konvergenzbereichs ausgesagt werden. Das Konvergenzverhalten im Rand ist im Allgemeinen ein schwieriges Problem, da es sehr unterschiedliche Ausprägungen haben kann, und es gibt keine allgemeingültige und zugleich anwendbare Methode, Antworten zu finden. Ist jedoch ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 1, so dass ${\displaystyle a_{n}\to 0}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}-a_{n+1}|<\infty }$ (was zum Beispiel dann zutrifft, wenn die ${\displaystyle a_{n}}$ eine monotone Nullfolge bilden), konvergiert ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ in jedem Randpunkt ${\displaystyle |q|=1}$ mit ${\displaystyle q\not =1}$. Gesehen werden kann dies mittels partieller Summation: Wegen der geometrischen Summenformel

${\displaystyle \left|\sum _{n=u}^{v}q^{n}\right|=\left|{\frac {q^{u}-q^{v+1}}{1-q}}\right|\leq {\frac {|q^{u}|+|q^{v+1}|}{|1-q|}}={\frac {2}{|1-q|}}}$

ist die Folge der Partialsummen ${\displaystyle \textstyle A_{u,v}:=\sum _{n=u}^{v}q^{n}}$ für ${\displaystyle |q|=1}$ und ${\displaystyle q\not =1}$ im Absolutwert gleichmäßig in ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ durch den Wert ${\displaystyle {\tfrac {2}{|1-q|}}}$ beschränkt. Damit folgt für ${\displaystyle N\geq M}$ über die Dreiecksungleichung^[36]

${\displaystyle \left|\sum _{n=M}^{N}a_{n}q^{n}\right|=\left|a_{N+1}A_{M,N}+\sum _{k=M}^{N}A_{M,k}(a_{k}-a_{k+1})\right|\leq |a_{N+1}A_{M,N}|+\sum _{k=M}^{N}|A_{M,k}||a_{k}-a_{k+1}|\leq {\frac {2}{|1-q|}}\left(|a_{N+1}|+\sum _{k=M}^{N}|a_{k}-a_{k+1}|\right),}$

womit ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=M}^{N}a_{n}q^{n}}$ für ${\displaystyle M\to \infty }$ nach Voraussetzung (gleichmäßig in ${\displaystyle N\geq M}$) gegen 0 strebt. Damit muss ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n}}$ nach dem Cauchy-Kriterium konvergieren.

Geometrische Reihen können auch dabei helfen, Koeffizienten von invertierten Potenzreihen zu berechnen. Ist (nach möglicher Normierung) eine formale Potenzreihe von der Form

${\displaystyle P(q)=1-\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}}$

gegeben, so kann

${\displaystyle R(q)={\frac {1}{P(q)}}={\frac {1}{1-\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}}}}$

erneut in eine formale Potenzreihe entwickelt werden. Die Koeffizienten lassen sich dann via sukzessiver Cauchy-Faltung formal durch die geometrische Reihe berechnen:

${\displaystyle R(q)=1+\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}\right)+\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}\right)^{2}+\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}\right)^{3}+\cdots .}$

Anwendung hat dies unter anderem in der Theorie der Bernoulli-Zahlen (etwa im Umfeld von Rekursionsformeln).^[37]

Eine möglicherweise nicht konvergente Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ heißt Abel-summierbar gegen den Grenzwert ${\displaystyle A}$, falls die zugehörige Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ für alle ${\displaystyle |x|<1}$ konvergiert, und ferner

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=A}$

gilt. Abel selbst konnte zeigen, dass gewöhnliche Konvergenz von ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ bereits Abel-Summierbarkeit impliziert, und die Grenzwerte übereinstimmen.^[38] In diesem Kontext wird die folgende Quotientenformel mit der geometrischen Reihe und ${\displaystyle \textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ genannt,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}},}$

wobei der hintere Ausdruck für ${\displaystyle s_{n}\to A}$ als ein „asymptotischer Mittelwert“ interpretiert werden kann.^[39]

Taylor-Reihen zu einigen Funktionen können mittels der geometrischen Reihe berechnet werden. Das betrifft zum Beispiel die natürliche Logarithmusfunktion^[40][41]

${\displaystyle -\log(1-x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{1-t}}=\int _{0}^{x}\sum _{n=0}^{\infty }t^{n}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n+1}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots ,\qquad (|x|<1).}$

Dabei wurde im letzten Schritt die Summe gliedweise integriert. Etwas ähnliches gilt auch für die Arkustangensfunktion:^[42][43]

${\displaystyle \arctan(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}=\int _{0}^{x}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\mathrm {d} t=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+{\frac {x^{9}}{9}}-\cdots ,\qquad (|x|<1).}$

Mit dem Leibniz-Kriterium und dem Abelschen Grenzwertsatz folgt damit die Leibniz-Reihe:^[44][45]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}-\cdots =\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}.}$

Die geometrische Reihe bildet den Grundstock für einige Untersuchungen hinsichtlich rationaler Funktionen.^[46] In etwa spielt sie, bzw. allgemein die Taylor-Reihen zu ${\displaystyle z\mapsto (1-z)^{-m}}$ um ${\displaystyle z=0}$, eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Taylor-Koeffizienten rationaler Funktionen.^[47] Hat die rationale Funktion

${\displaystyle r(z)=\sum _{j=1}^{n}\sum _{h=1}^{m_{j}}{\frac {a_{j,h}}{(z-z_{j})^{h}}}}$

paarweise verschiedene Polstellen in ${\displaystyle z_{1},\cdots ,z_{n}}$ und strebt für ${\displaystyle |z|\to \infty }$ gegen 0, so ist ihre Taylor-Reihe um einen Punkt ${\displaystyle z_{0}\notin \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}$ stets von der Form^[48]

${\displaystyle r(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k},}$

wobei

${\displaystyle a_{k}=\sum _{j=1}^{n}p_{j}(k)(z_{j}-z_{0})^{-k},}$ mit den Polynomen ${\displaystyle p_{j}(k)=\sum _{h=1}^{m_{j}}(-1)^{h}a_{j,h}{\frac {(z_{j}-z_{0})^{-h}}{(h-1)!}}(k+1)_{h-1}.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle (x)_{n}:=x(x-1)\cdots (x-n+1)}$ die fallende Faktorielle. Es gilt auch die Umkehrung, d. h. Taylor-Koeffizienten dieser Art erzeugen rationale Funktionen.^[49] Unmittelbare Anwendung hat dieses sehr allgemeine Prinzip beim Auflösen von Differenzengleichungen.^[50] Ein Beispiel in diesem Kontext ist die explizite Formel von Binet für die Fibonacci-Folge ${\displaystyle (f_{n})}$:^[51][52]

${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right).}$

Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist, dass holomorphe Funktionen analytisch sind. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt ihres (offenen) Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelt werden können, die in einer offenen Kreisscheibe konvergiert und dort die Funktion darstellt.^[53] Präziser gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist ${\displaystyle c\in U}$ mit offenem ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B_{r}(c)}$ die größte Kreisscheibe um ${\displaystyle c}$ in ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ holomorph, so ist ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle c}$ in eine Taylorreihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ entwickelbar, die in ${\displaystyle B_{r}(c)}$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch^[53]

${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w}$, wobei ${\displaystyle 0<d<r.}$

Dabei wird der Integrationsweg in mathematisch positiver Richtung einfach durchlaufen (siehe auch komplexes Kurvenintegral). Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für den Beweis des Entwicklungssatzes lediglich die Reihenentwicklungen der Funktionen ${\displaystyle z\mapsto (z-c)^{-n-1}}$ im Inneren des Integrals benötigt werden, was allgemein durch Ableitungen der geometrischen Reihe ausgedrückt werden kann, sowie Vertauschbarkeit von Summation und Integration. Für den Fall ${\displaystyle k=0}$ wurde dies bereits 1831 von Cauchy durchgeführt.^[54]

Das Wachstum der Taylor-Koeffizienten einer Potenzreihe sagt etwas über das Wachstum der zugehörigen Funktion aus, und umgekehrt. Um dies präziser zu fassen, ist es von Nutzen, die geometrische Reihe passend zu verallgemeinern. Mittels der Euler-Polynome ${\displaystyle A_{m}(q)}$ erhält man für ganze Zahlen ${\displaystyle m\geq 0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{m}q^{n}={\frac {qA_{m}(q)}{(1-q)^{m+1}}}.}$

Dabei gilt stets ${\displaystyle |A_{m}(q)|\leq m!}$ für alle ${\displaystyle |q|\leq 1}$. Gilt nun ${\displaystyle |a_{n}|\leq Mn^{m}}$ für die Koeffizienten einer Potenzreihe ${\displaystyle \textstyle f(z):=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}}$, so ist ${\displaystyle f}$ in der Einheitskreisscheibe ${\displaystyle B_{1}(0)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}$ eine holomorphe Funktion, und es folgt

${\displaystyle |f(q)|\leq \sum _{n=1}^{\infty }Mn^{m}|q|^{n}\leq {\frac {M|qA_{m}(q)|}{|1-|q||^{m+1}}}\leq {\frac {Mm!}{(1-|q|)^{m+1}}}.}$

Bis zu einem gewissen Grad kann diese Aussage umgekehrt werden. Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel folgt unter der Voraussetzung

${\displaystyle |f(q)|\leq {\frac {M}{(1-|q|)^{m}}}}$

für ein ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ und alle ${\displaystyle |q|<1}$ bereits für alle ${\displaystyle 0<r<1}$ mit der Standardabschätzung für Integrale

${\displaystyle |a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}{\frac {f(q)}{q^{n+1}}}\mathrm {d} q\right|\leq {\frac {M}{2\pi }}{\frac {2\pi r}{r^{n+1}(1-|r|)^{m}}}={\frac {M}{r^{n}(1-|r|)^{m}}}.}$

Dabei wird die Integrationskurve, also der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius ${\displaystyle r}$, in mathematisch positiver Richtung einfach umlaufen. Durch die spezifische Wahl von ${\displaystyle r=1-{\tfrac {1}{n+1}}}$ erhält man wegen ${\displaystyle (1-{\tfrac {1}{n+1}})^{-n}\leq e}$ insgesamt

${\displaystyle |a_{n}|\leq Me(n+1)^{m}\leq Me2^{m}n^{m}.}$

Anwendung finden diese Überlegung besonders im Kontext der Fourier-Reihen, etwa im Kontext von Modulformen und Dirichlet-Reihen.^[55]

Die geometrische Reihe, bzw. ihre Partialsummen, kann dabei helfen, trigonometrische Identitäten zu beweisen. In der Praxis betrifft dies zum Beispiel unmittelbar den sog. Dirichlet-Kern

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right),}$

der in der Fourier-Analysis Anwendung findet.^[56] Wegen der Rechenregel ${\displaystyle e^{ikx}=(e^{ix})^{k}}$ sowie der Eulerschen Formel ergibt sich mit der geometrischen Reihe dann

${\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+{\frac {1}{2}})ix}-e^{(n+{\frac {1}{2}})ix}}{e^{-{\frac {ix}{2}}}-e^{\frac {ix}{2}}}}={\frac {-2i\sin((n+{\frac {1}{2}})x)}{-2i\sin({\frac {x}{2}})}}={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})x)}{\sin({\frac {x}{2}})}},}$

also die geschlossene Gestalt in Form eines Sinus-Quotienten.^[57]

Ein anderes Beispiel betrifft die Reihe

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1-2r\cos(x)+r^{2}}},\qquad (x\in \mathbb {R} ,|r|>1),}$

die schon von Leonhard Euler studiert wurde.^[58] Der Beweis dafür ergibt sich aus der Tatsache, dass

${\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},}$

was eine Konsequenz der Eulerschen Formel ist. Wenn man dies in die ursprüngliche Reihe einsetzt, erhält man

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right].}$

Dies ist die Differenz zweier geometrischer Reihen, und daher ist es eine einfache Anwendung der Formel für unendliche geometrische Reihen, die den Beweis vervollständigt.

Im Umfeld der analytischen Zahlentheorie gehört das Euler-Produkt

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}}$

der Riemannschen Zeta-Funktion zu den bedeutendsten Formeln, da sie die Folge der Primzahlen mit einer vergleichsweise „einfach strukturierten“ analytischen Funktion in Verbindung bringt. Dabei gelten die angegebenen Formeln jedoch nur im eingeschränkten Bereich ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$, wobei sich dies auf den Realteil der komplexen Zahl ${\displaystyle s}$ bezieht. Durch Ausmultiplizieren und Anwendung der geometrischen Reihe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+\dotsb ={\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}}$

mit ${\displaystyle |p^{-s}|<1}$ erkennt man für die ersten ${\displaystyle n}$ Primzahlen

${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}^{s}}}}}=\sum _{m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots p_{n}^{a_{n}} \atop a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}\geq 0}{\frac {1}{m^{s}}}.}$

Nun kann man in dieser Formel ${\displaystyle n}$ gegen Unendlich laufen lassen, und erhält

${\displaystyle \prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots p_{n}^{a_{n}}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\zeta (s),}$

da jede Zahl ${\displaystyle m}$ nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik genau eine Zerlegung ${\displaystyle m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots }$ besitzt. Somit folgt das Euler-Produkt im Bereich der absoluten Konvergenz der Reihe zu ${\displaystyle \zeta (s)}$.^[59]

Dieses Argument verallgemeinert sich auf vollständig multiplikative zahlentheoretische Funktionen ${\displaystyle a_{n}}$ (d. h. ${\displaystyle a_{mn}=a_{m}a_{n}}$ für alle ${\displaystyle m,n}$ und ${\displaystyle a_{1}\not =0}$) in Form der Identität

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\prod _{p\ {\text{Primzahl}}}{\frac {1}{1-a_{p}}},}$

die dann zutrifft, wenn die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ absolut konvergiert.^[60]

Die geometrische Reihe spielt eine wichtige Rolle bei einer kritischen Stelle im Beweis des Satzes von Weyl für Gleichverteilung. Bei diesem wird eine reelle Zahl