Geometrische Reihe

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Die geometrische Reihe für , oder konvergiert

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge . Bei einer geometrischen Folge ist der (formale) Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant, es gilt also stets

.

Explizit ausgedrückt gibt es also eine Konstante , sodass für alle . Das bedeutet, dass die Folgenglieder bezüglich des Summenindex einen exponentiellen Verlauf annehmen. Da der Fall trivial und in vielen Anwendungen auch nicht sinnvoll ist, und zugleich nur ein gemeinsamer Faktor aller Summanden der Reihe ist, wird in der Literatur meistens schlicht gesetzt. Die geometrische Reihe hat dann die vereinfachte Gestalt

.

Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich die Partialsummen der zugehörigen geometrischen Reihe explizit zu berechnen. Durch die Rekursion für ergibt sich

und durch Auflösen schließlich für

.

Eine wichtige Folgerung daraus ist, dass die geometrische Reihe genau dann konvergiert, falls gilt. Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.

Die geometrische Reihe zählt zu den wichtigsten Reihen überhaupt. Anwendungen hat sie als Majorante (etwa beim Beweis von Konvergenzkriterien, wie dem Quotientenkriterium), im Bereich der Potenzreihenentwicklungen rationaler Funktionen und in der analytischen Kombinatorik.

Grundlegende Form

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Divergenter Fall

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Ein Quotient mit ergibt eine divergente geometrische Reihe, z. B. für und Startwert

zusammengefasst also

Im Falle der hier abgebildeten Zweierpotenzen erscheinen stets die Mersenneschen Zahlen als Werte der Summe.

In solchen Fällen ist, da keine Nullfolge ist, das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz verletzt und die Reihe muss divergieren.

Konvergenter Fall

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Für konvergiert die geometrische Reihe hingegen; es gilt in diesem Fall

.

Bewiesen werden kann dies über Betrachtung der Partialsummen:

,

und die letzte Gleichheit folgt aus

Es ist für eine Nullfolge, also gilt

.

Berechnung der (endlichen) Partialsummen einer geometrischen Reihe

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Eine Reihe ist per Definition eine Folge von Partialsummen. Der Wert der Reihe ist der Grenzwert dieser Folge von Partialsummen. Eine endliche Summe ist somit ein Folgenglied aus der Folge der Partialsummen. Die (endliche) Summe der ersten Glieder einer Reihe bezeichnet man also als -te Partialsumme.

Gegeben sei eine geometrische Folge .

ist der Grenzwert der zugehörigen geometrischen Reihe.

Wir können daraus eine neue Folge

konstruieren, deren -tes Glied jeweils die Summe der ersten Glieder der Reihe ist, die sogenannte -te Partialsumme von . Diese Folge heißt die Folge der Partialsummen zu . (Genau genommen wird in umgekehrter Reihenfolge die Reihe auf Grundlage von Partialsummen einer Folge definiert. Die obige und übliche Schreibweise für die Reihe gibt das aber nicht her, deshalb müssen wir aus ihr erst die Folge der Partialsummen rekonstruieren.) Falls sie konvergiert, wird über sie der Wert der Reihe definiert. Es gilt für den Wert der Reihe (hier wird nicht mehr von „Grenzwert“ gesprochen):

in Worten: Der Wert der Reihe ist definiert als der Grenzwert der zu ihr gehörigen Partialsummen-Folge, falls diese konvergiert, andernfalls wird die Reihe als divergent bezeichnet. Falls in diesem Falle die Folge der Partialsummen gegen (plus / minus) Unendlich strebt, schreibt man gewöhnlich oder und sagt, die Folge konvergiere gegen den uneigentlichen Grenzwert (plus / minus) Unendlich oder die Reihe habe den uneigentlichen Wert (plus / minus) Unendlich. (Eine Berechnungsformel für den Grenzwert folgt weiter unten.)

Mit bezeichnen wir nun das Verhältnis zweier benachbarter Glieder, das für alle gleich ist.

Dann gilt für alle .

Für die -te Partialsumme ergibt sich damit:

Wenn , dann gilt (Herleitung siehe unten)

Falls , so gilt

Das Obige gilt, wenn die Folgenglieder Elemente eines unitären Ringes sind, also insbesondere, wenn es reelle Zahlen sind.

Verwandte Summenformeln

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Endliche Summenformeln

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  • Die Partialsumme
hat für das Ergebnis
und für (vgl. Gaußsche Summenformel)
; Die so entstehenden Werte werden Dreieckszahlen genannt.
Diese Formel ergibt sich auch aus der Formel für (mit zweifacher Anwendung der Regel von de L’Hospital) als deren Grenzwert für .
  • Die Partialsumme
hat für das Ergebnis
und für (vgl. Potenzsummen)
Die auf die nun genannte Weise entstehenden Werte werden Quadratische Pyramidalzahlen genannt.

Die Dreieckszahlen und die Quadratischen Pyramidalzahlen bilden die ersten Spezialfälle zu den Faulhabersche Formeln, welche von Donald Knuth und Johannes Faulhaber erforscht wurden.

Gegeben sei die geometrische Folge

mit und Die zugehörige geometrische Reihe ist

Die zugehörige Folge von Partialsummen ergibt sich zu

usw.

Geometrische Veranschaulichungen

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Figur 1
Figur 2

Zur Summenformel

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Das große gleichseitige Dreieck , dessen Flächeninhalt ohne Beschränkung der Allgemeinheit als angenommen wird, setzt sich aus drei flächengleichen unendlichen Folgen gleichseitiger Dreiecke (rot, gelb, blau) zusammen, deren Grenzwerte jeweils mal so groß sind wie das Dreieck (Figur 1). Wegen der Selbstähnlichkeit der Dreiecke , , , … und ihrer Mittendreieck-Eigenschaften besitzt jede der drei Dreiecksfolgen den Grenzwert

.

Also gilt

.[1][2]

Zu einer verwandten Summenformel

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In Figur 2 gilt:

.

Dies bestätigt die Partialsummenformel

für , und .[3][4]

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5 % [d. h. der Zinsfaktor ist: ]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins . Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann durch die Rentenrechnung nach fünf Jahren ein angesparter Betrag von

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1603,83 € erhöht. Beim Nachrechnen von Kontoauszügen ist zu bedenken, dass im Bankenwesen nicht mathematisch gerundet wird.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2000 € eingezahlt, sondern gleich von Beginn an die ganzen 10000 € über 5 Jahre bei 5 % Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

also ein Kapitalertrag von 2762,82 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres , der Zinsfaktor und die Laufzeit Jahre, dann ist der Endwert

.

Periodische Dezimalbrüche

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Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann.

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Achilles und die Schildkröte

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Ein sehr anschauliches Beispiel für die Anwendung (und sogar Herleitung des Grenzwerts) der geometrischen Reihe ist Geschichte von Achilles und der Schildkröte.

Der für seine Schnelligkeit bekannte Athlet Achilles tritt in einem Wettlauf gegen eine langsame Schildkröte an. Beide starten zum selben Zeitpunkt, aber die Schildkröte erhält anfangs einen Vorsprung von, zum Beispiel . Obwohl Achilles mit einer um den Faktor , mit , höheren Geschwindigkeit als die der Schildkröte läuft, kann er sie scheinbar niemals einholen. Denn: Sobald Achilles weit gelaufen ist, also den Punkt erreicht hat, an dem die Schildkröte gestartet ist, ist eine gewisse Zeit verstrichen. In dieser Zeit hat die Schildkröte die Strecke zurückgelegt. Achilles muss also die entsprechende Strecke weiterlaufen, um die Schildkröte einzuholen. Derweil hat die Schildkröte jedoch weitere zurückgelegt. Achilles hat die Schildkröte immer noch nicht eingeholt. Er läuft entsprechend weiter, muss nun allerdings feststellen, dass die Schildkröte in der Zwischenzeit abermals eine gewisse Strecke zusätzlich zurückgelegt hat; dieses Mal sind es . Dieses Spiel setzt sich unendlich oft fort.

Der Punkt , an welchem Achilles die Schildkröte endlich einholen wird, ist gegeben durch die unendliche Summe

Alternativ können wir durch das Aufstellen zweier linearer Gleichungen bestimmen. Es seien

die Bewegungsgleichungen der Schildkröte bzw. von Achilles, wobei die Geschwindigkeit der Schildkröte und die verstrichene Zeit ist. Wir suchen nun die -Koordinate des Schnittpunkts von und . Durch Gleichsetzen beider Gleichungen, Umformung auf und Einsetzen von in eine der beiden Gleichungen erhalten wir . Der Wert ist endlich; Achilles wird die Schildkröte also doch einholen. Vergleichen wir diese Lösung mit derjenigen von oben, so finden wir

wobei im letzten Schritt auf beiden Seiten durch geteilt und die Variable , mit , eingeführt wurde.

Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe

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Konvergenz der geometrischen Reihe für
Konvergenz der geometrischen Reihe auf der Zahlengeraden
()

Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied gleich Null ist. Für oder konvergiert die zugrundeliegende geometrische Folge nämlich gegen Null:

.

Nach dem Nullfolgenkriterium ist dies eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Da für und die Grundfolge divergiert, liegt in diesem Falle somit auch Divergenz der Reihe vor.

Für ergibt sich die Divergenz der geometrischen Reihe aus

,

ein Ausdruck, der für und divergiert.

Für den Fall ergibt sich die Divergenz immer als bestimmte Divergenz (s. o.), für den Fall immer als unbestimmte Divergenz. Die geometrische Reihe konvergiert auch absolut, sofern sie auf normale Weise konvergiert.

Der Wert der Reihe im Konvergenzfall ergibt sich aus jener obenstehenden Formel für die -ten Partialsummen durch Grenzwertbildung () für zu

denn es ist

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von kleiner als Eins ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Song von DorFuchs mit einer Herleitung der Gleichung für die geometrische Reihe

Herleitung der Formel für die Partialsummen

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Die -te Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

Vereinfacht:

  (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit ergibt sich:

  (Gleichung 2)

Wenn man Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert, erhält man:

Ausklammern von :

Teilen durch liefert für die gesuchte Formel für die Partialsummen:

Herleitung der Varianten

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Mithilfe der oben angegebenen Formel lassen sich durch gliedweise Differentiation auch folgende endliche Reihen geschlossen darstellen, für

Für konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folglich sind diese sogar gliedweise integrierbar):

analog für höhere Potenzen.

Mittels der Euler-Polynome kann die Reihe auch für beliebige direkt angegeben werden.

Allgemein stellt diese Variante die Definition des Polylogarithmus dar.

  • George E. Andrews: The Geometric Series in Calculus. The American Mathematical Monthly, Band 105, Nr. 1 (Jan., 1998), S. 36–40 (JSTOR:2589524)
  • Tilo Arens, Frank Hettich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelhorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 5. Auflage, Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2022, ISBN 978-3-662-64388-4.
  • Albrecht Beutelspacher: Mathe-Basics zum Studienbeginn: Survival-Kit Mathematik. Springer, 2016, S. 198–199
  • I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 6. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2006, ISBN 978-3-8171-2006-2.
  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 12. Aufl. 2015, ISBN 978-3-658-11544-9
  • Stefan Hildebrandt: Analysis 1. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-25368-6.
  • Richard Isaac: The Pleasures of Probability. Springer Verlag, New York 1995, ISBN 978-1-4612-6912-0.
  • Joscelyn A. Jarrett: Regular Polygons and the Geometric Series. The Mathematics Teacher, Band 75, Nr. 3 (März 1982), S. 258–261 (JSTOR:27962874)
  • Serge Lang: A First Course in Calculus. Fifth Edition, Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96201-8.
  • Terence Tao: Analysis I. Third Edition, Hindustan Book Agency, New Delhi 2017, ISBN 978-93-80250-64-9.
  • Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 2. 2. Auflage, Springer-Verlag, Heidelberg 2017, ISBN 978-3-662-53503-5.
Commons: Geometric series – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 180
  2. Mathematics Magazine, vol. 72, no. 1 (Feb. 1999), S. 63
  3. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 186
  4. Mathematics Magazine, vol. 62, no. 5 (Dec. 1989), S. 332–333