Siegel-Nullstelle

Die Siegel-Nullstelle (auch Landau-Siegel-Nullstelle) bezeichnet in der analytischen Zahlentheorie ein potentielles Gegenbeispiel, um die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung zu widerlegen. Diese Vermutung weitet die klassische Riemannsche Vermutung auf Dirichletsche L-Funktionen aus. Es handelt sich um eine hypothetische Nullstelle einer L-Funktion ${\displaystyle L(s,\chi _{q})}$ in der Nähe des Wertes ${\displaystyle s=1}$. Für eine L-Funktion kann es höchstens eine Siegel-Nullstelle geben.

Die Existenz von Siegel-Nullstellen hat einige Konsequenzen. So gilt nach einem Satz von Roger Heath-Brown, dass die Existenz von unendlich vielen Siegel-Nullstellen (für verschiedene L-Funktionen) die Primzahlzwillingsvermutung impliziert.^[1] Die Primzahlzwillings-Vermutung geht dahin, dass unendlich viele Zahlenpaare ${\displaystyle (p,p+2)}$ existieren, deren beide Komponenten prim sind.

Die Landau-Siegel-Nullstelle ist nach den deutschen Mathematikern Carl Ludwig Siegel und Edmund Landau benannt.

Grundbegriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dirichlet-Charakter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Dirichlet-Charakter (mod ${\displaystyle q}$) für ein ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ bezeichnet man eine komplexe Funktion ${\displaystyle \chi _{q}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$, wenn sie für alle ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ folgende Eigenschaften erfüllt

1) ${\displaystyle \chi _{q}(ab)=\chi _{q}(a)\chi _{q}(b)}$.

2) ${\displaystyle \chi _{q}(a)=0}$ falls ${\displaystyle \operatorname {ggt} (a,q)>1}$.

3) ${\displaystyle \chi _{q}(a)\neq 0}$ falls ${\displaystyle \operatorname {ggt} (a,q)=1}$.

4) ${\displaystyle \chi _{q}(a+q)=\chi _{q}(a)}$.

Reeller und komplexer Dirichlet-Charakter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ heißt reell (oder quadratisch) falls alle seine Werte ${\displaystyle \chi _{q}(a)}$ reell sind oder äquivalent falls er gleich seiner komplex Konjugierten ist

${\displaystyle \chi _{q}(a)={\overline {\chi _{q}(a)}}.}$

Ansonsten ist er komplex oder nicht-reell.

Dirichletsche L-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Dirichletsche L-Funktion ist für ein ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ und einen Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ die Funktion

${\displaystyle L(s,\chi _{q})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{q}(n)}{n^{s}}}.}$

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Nullstellen ${\displaystyle s_{\chi _{q}}=\sigma _{\chi _{q}}+it_{\chi _{q}}}$ der Dirichletschen L-Funktion ${\displaystyle L(s,\chi _{q})}$ werden in triviale und nicht-triviale Nullstellen aufgeteilt. Die trivialen Nullstellen sind alle negativ und die nicht-trivialen befinden sich im kritischen Streifen

${\displaystyle \{s_{\chi }\in \mathbb {C} \colon 0<\sigma _{\chi _{q}}<1\}.}$

Die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung nimmt an, dass für alle nicht-trivialen Nullstellen ${\displaystyle \sigma _{\chi _{q}}={\tfrac {1}{2}}}$ gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Notation:

• ${\displaystyle s=\sigma +it}$ bezeichnet eine komplexe Zahl.
• ${\displaystyle \chi _{q}}$ ist ein Dirichlet-Charakter.
• ${\displaystyle L(s,\chi _{q})}$ ist eine zu ${\displaystyle \chi _{q}}$ gehörende L-Funktion.

Definition:

Zentral für die Definition ist folgendes Theorem (welches in unterschiedlichen Varianten von Landau, Grönwall und Titchmarsh stammt, siehe ^[2])

I) Falls ${\displaystyle \chi _{q}}$ komplex ist, dann existiert eine (effektiv-berechenbare) reelle Konstante ${\displaystyle c_{0}>0}$, so dass

${\displaystyle L(s,\chi _{q})\neq 0}$

in der Region

${\displaystyle R={\bigg \{}\sigma \;{\bigg |}\;1-{\frac {c_{0}}{\log(q(|t|+2))}}\leq \sigma <1{\bigg \}}}$

ist.

II) Falls ${\displaystyle \chi _{q}}$ reell ist, so kann es höchstens ein ${\displaystyle s}$ mit ${\displaystyle L(s,\chi _{q})=0}$ in der Region ${\displaystyle R}$ geben. Weiter muss diese Nullstelle ${\displaystyle s}$ reell sein, d. h. ${\displaystyle t=0}$.

Ein solches ${\displaystyle s}$ für den Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ nennt man Siegel-Nullstelle oder außergewöhnliche Nullstelle.^[3]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Siegel-Nullstelle ${\displaystyle \beta }$ hängt vom gewählten Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ ab.

Satz von Siegel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ${\displaystyle \beta }$ eine Siegel-Nullstelle für einen primitiven Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ mit Leiter (englisch conductor) ${\displaystyle k}$ (d. h. ${\displaystyle k>0}$). Für ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existiert eine Konstante ${\displaystyle c(\varepsilon )>0}$, so dass^[4]

${\displaystyle 1-\beta \geq {\frac {c(\varepsilon )}{k^{\varepsilon }}}.}$

Sätze von Heath-Brown[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von Heath-Brown stammen folgende Aussagen über die Siegel-Nullstellen und die Primzahlzwillingsvermutung.

Satz 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ${\displaystyle \chi _{q}}$ ein reeller, primitiver Dirichlet-Charakter und ${\displaystyle \beta }$ eine Siegel-Nullstelle und

${\displaystyle \beta >1-{\frac {1}{3\log q}}.}$

Falls unendlich viele solche ${\displaystyle \{(\chi _{q_{i}}^{(i)},\beta _{i})\}}$ existieren, dann existieren unendlich viele Primzahlzwillinge.^[3]

Satz 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mindestens eine der beiden Aussagen ist wahr:^[3][5]

1. Es existieren keine Siegel-Nullstellen, d. h. es existiert eine gemeinsame Schranke ${\displaystyle c_{0}>0}$, so dass für alle ${\displaystyle q\geq 2}$ und alle ${\displaystyle \chi _{q}}$ gilt ${\displaystyle L(\sigma +it,\chi _{q})\neq 0}$ für

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {c_{0}}{\log(q|t|+2))}}.}$

1. Die Primzahlzwillingsvermutung ist wahr.

Deuring-Heilbronns Repulsions-Phänomen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ${\displaystyle \mathrm {X} (q):=\{\chi _{q}^{(i)}\}}$ die Familie aller Dirichlet-Charaktere zum Modulus ${\displaystyle q}$. Die Existenz einer Siegel-Nullstelle zu einem Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ hat Auswirkungen auf die anderen Nullstellen innerhalb der gleichen Familie ${\displaystyle \mathrm {X} (q)}$. Dieses Phänomen ist nach Max Deuring und Hans Arnold Heilbronn benannt. Es wurde quantifiziert von Juri Wladimirowitsch Linnik durch nachfolgendes Theorem.^[6]

Linniks Repulsions-Theorem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls eine Siegel-Nullstelle ${\displaystyle \beta }$ zu einem Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi _{q}}$ existiert, so dass

${\displaystyle 1-\beta ={\frac {\varepsilon }{\log(q)}}}$

für ein hinreichend kleines ${\displaystyle \varepsilon }$ gilt, dann sind alle anderen Nullstellen ${\displaystyle s=\sigma +it}$ der Familie ${\displaystyle \mathrm {X} (q)}$ in der Region

${\displaystyle 1-\sigma \geq c{\frac {\log({\tfrac {1}{\varepsilon }})}{\log(q(|t|+2))}}}$

für eine (effektiv-berechenbare) positive Konstante ${\displaystyle c}$.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• D. R. Heath-Brown: Prime Twins and Siegel Zeros. In: London Mathematical Society (Hrsg.): Proceedings of the London Mathematical Society. s3-47, Ausgabe, 1983. 
• Thomas Wright: Prime Tuples and Siegel Zeros. Hrsg.: arXiv. 2021, doi:10.48550/ARXIV.2111.14054. 

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Kaisa Matomäki und Jori Merikoski: Siegel zeros, twin primes, Goldbach's conjecture, and primes in short intervals. Hrsg.: arXiv. 2021, doi:10.48550/arxiv.2112.11412. 
2. ↑ Harold Davenport: Multiplicative Number Theory. In: Springer New York (Hrsg.): Graduate Texts in Mathematics 74. 1980. 
3. ↑ ^{a b c} D. R. Heath-Brown: Prime Twins and Siegel Zeros. In: London Mathematical Society (Hrsg.): Proceedings of the London Mathematical Society. s3-47, Ausgabe, 1983. 
4. ↑ Gautami Bhowmik und Karin Halupczok: Condtional Bounds on Siegel Zeros. Hrsg.: arXiv. 2020, S. 3, doi:10.48550/ARXIV.2010.01308, arxiv:2010.01308 [abs]. 
5. ↑ Terence Tao: Heath-Brown’s theorem on prime twins and Siegel zeroes. Abgerufen am 20. Juli 2022 (englisch). 
6. ↑ J. W. Linnik: On the least prime in an arithmetic progression. II: The Deuring-Heilbronn theorem. In: Tipogr. Lissnera i Sobko (Hrsg.): Matematiceskij sbornik. Band 57, Nr. 3, 1944, S. 347–368 (englisch, eudml.org).