In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion oder auch Jacobische Amplitudenfunktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen . Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik , bei elliptischen Filtern und in der Geometrie , insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse . Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Kosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.
Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter k {\displaystyle k} elliptische Modul, der der Ungleichung 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} m {\displaystyle m} m = k 2 {\displaystyle m=k^{2}} modularer Winkel α {\displaystyle \alpha } sin 2 α = k 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha =k^{2}} komplementären Parameter k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} m 1 = k ′ 2 {\displaystyle m_{1}={k'}^{2}}
der sinus amplitudinis sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)} der cosinus amplitudinis cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)} das delta amplitudinis dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)} Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Insgesamt gelten für sie die folgenden Eigenschaften:
Funktion Perioden Nullstelle Polstelle sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)} 4 K , 2 i K ′ {\displaystyle 4\,K,\ 2\,\mathrm {i} K'} 2 m K + 2 n i K ′ {\displaystyle 2mK+2\,n\,\mathrm {i} \,K'} 2 m K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle 2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)} 4 K , 2 ( K + i K ′ ) {\displaystyle 4\,K,\ 2\,(K+\mathrm {i} K')} ( 2 m + 1 ) K + 2 n i K ′ {\displaystyle (2m+1)\,K+2\,n\,\mathrm {i} \,K'} 2 m K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle 2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)} 2 K , 4 i K ′ {\displaystyle 2\,K,\ 4\,\mathrm {i} K'} ( 2 m + 1 ) K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle (2\,m+1)\,K+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} 2 m K + ( 2 n + 1 ) i K ′ {\displaystyle 2\,mK+(2n+1)\,\mathrm {i} \,K'} n und m sind ganze Zahlen
Hierbei hängen die reellen Zahlen K {\displaystyle K} K ′ {\displaystyle K'} k {\displaystyle k} elliptischen Integrale
K = K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ , K ′ ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − ( 1 − k 2 ) sin 2 φ {\displaystyle K=K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\mbox{ }}K'(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-(1-k^{2})\sin ^{2}\varphi }}}} zusammen. So hat sn {\displaystyle \operatorname {sn} } z = 0 {\displaystyle z=0} z = 2 K {\displaystyle z=2K} z = i K ′ {\displaystyle z=\mathrm {i} \,K'} z = 2 K + i K ′ {\displaystyle z=2K+\mathrm {i} \,K'}
Speziell für k 2 = 1 / 2 {\displaystyle k^{2}=1/2} lemniskatischen Sinus- und Kosinusfunktionen wie folgt:
sl ( z ) = 1 2 sn ( 2 z ; 1 2 ) / dn ( 2 z ; 1 2 ) , cl ( z ) = cn ( 2 z ; 1 2 ) . {\displaystyle \textstyle \operatorname {sl} (z)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\operatorname {sn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}})/\operatorname {dn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}}),\qquad \textstyle \operatorname {cl} (z)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}z;{\frac {1}{\sqrt {2}}}).} Für die Grenzfälle k = 0 {\displaystyle k=0} k = 1 {\displaystyle k=1} trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen :
Funktion k =0 k =1 sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)} sin z {\displaystyle \sin z} tanh z {\displaystyle \tanh z} cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)} cos z {\displaystyle \cos z} sech z = 1 cosh z {\displaystyle \operatorname {sech} z={\tfrac {1}{\cosh z}}} dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)} 1 {\displaystyle 1} sech z = 1 cosh z {\displaystyle \operatorname {sech} z={\tfrac {1}{\cosh z}}}
Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen. Die meisten von diesen Definitionen basieren auf unendlichen Summen oder Produkten von Kombinationen aus dem vollständigen elliptischen Integral erster Art und trigonometrischen Funktionen herleiten. Die namentlichen Bezeichnungen mit dem Wort Amplitudinis als Genitiv des lateinischen Wortes Amplitudo basieren auf der Tatsache, dass die drei Hauptfunktionen einmal der Sinus, einmal der Cosinus und einmal der Differentialquotient der Jacobischen Amplitude sind. Die Kürzel aus jeweils zwei Buchstaben kommen dadurch zustande, dass sie die jeweiligen Quotienten der korrespondierenden Nevilleschen Thetafunktionen mit den jeweiligen Buchstaben als Fußbezeichnungen sind. Beispielsweise gilt:
sn ( z ; k ) = θ s ( z ; k ) θ n ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {\theta _{s}(z;k)}{\theta _{n}(z;k)}}} cd ( z ; k ) = θ c ( z ; k ) θ d ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cd} (z;k)={\frac {\theta _{c}(z;k)}{\theta _{d}(z;k)}}}
Abstrakte Definition als spezielle meromorphe Funktionen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ] Hilfskonstruktion Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul k {\displaystyle k} 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} K {\displaystyle K} K ′ {\displaystyle K'}
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ , K ′ ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − ( 1 − k 2 ) sin 2 φ . {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},\\K'(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-(1-k^{2})\sin ^{2}\varphi }}}.\end{aligned}}} Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen K {\displaystyle K} K ′ {\displaystyle K'} komplexen Ebene mit den Ecken s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} s {\displaystyle s} K {\displaystyle K} K ′ {\displaystyle K'} c {\displaystyle c} K , d {\displaystyle K,d} K + i K ′ {\displaystyle K+iK'} n {\displaystyle n} i K ′ {\displaystyle iK'} p q {\displaystyle pq} p {\displaystyle p} q ≠ p {\displaystyle q\neq p} s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n}
Eine Jacobische elliptische Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} meromorphe Funktion, die folgende drei Eigenschaften erfüllt:
Die Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} Die Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} p − q {\displaystyle p-q} p {\displaystyle p} q {\displaystyle q} pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} p {\displaystyle p} Wird die Funktion pq ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {pq} \,(z;k)} p {\displaystyle p} entwickelt , so lautet der führende Term einfach z {\displaystyle z} q {\displaystyle q} 1 / z {\displaystyle 1/z} Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als eindeutige Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Sei k {\displaystyle k} 0 ≤ k < 1 {\displaystyle 0\leq k<1}
z ( ϕ ) = ∫ 0 ϕ d θ 1 − k 2 sin 2 θ = F ( ϕ ; k ) {\displaystyle z(\phi )=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \,\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=F(\phi ;k)} Dann sind die Jacobischen elliptischen Funktionen sn , cn {\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} } dn {\displaystyle \operatorname {dn} }
sn ( z ; k ) = sin ϕ , {\displaystyle \operatorname {sn} \;(z;k)=\sin \phi ,} cn ( z ; k ) = cos ϕ {\displaystyle \operatorname {cn} \;(z;k)=\cos \phi } und
dn ( z ; k ) = 1 − k 2 sin 2 ϕ . {\displaystyle \operatorname {dn} \;(z;k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}.} Der Winkel ϕ = ϕ ( z ) = am ( z ; k ) {\displaystyle \phi =\phi (z)=\operatorname {am} (z;k)} Jacobi-Amplitude, dn z = Δ ( z ) {\displaystyle \operatorname {dn} \;z=\Delta (z)} Delta-Amplitude . Es gilt insgesamt:
F [ am ( z ; k ) ; k ] = z {\displaystyle F[\operatorname {am} (z;k);k]=z} sn ( z ; k ) = sin [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)=\sin[\operatorname {am} (z;k)]} cn ( z ; k ) = cos [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\cos[\operatorname {am} (z;k)]} dn ( z ; k ) = ∂ ∂ z am ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\partial }{\partial z}}\operatorname {am} (z;k)} Die Bezeichnung „Delta Amplitudinis“ zeugt von der Tatsache, dass diese Funktion die Ableitung beziehungsweise der Differentialquotient der Jacobi-Amplitude ist.
Ferner genügt der freie Parameter k {\displaystyle k} 0 ≤ k 2 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq k^{2}\leq 1} ϕ = π / 2 {\displaystyle \phi =\pi /2} z {\displaystyle z} K {\displaystyle K}
Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe nächsten Abschnitt.
So ist die Ramanujansche Thetafunktion ϑ R {\displaystyle \vartheta _{R}}
ϑ R ( v ; w ) = ∑ n = − ∞ ∞ v n ( n + 1 ) / 2 w n ( n − 1 ) / 2 = ∑ n = − ∞ ∞ v △ ( n ) w △ ( n − 1 ) {\displaystyle \vartheta _{R}(v;w)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{n(n+1)/2}\,w^{n(n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }v^{\bigtriangleup (n)}\,w^{\bigtriangleup (n-1)}} Darauf basierend kann die Nevillesche Thetafunktion θ d {\displaystyle \theta _{d}}
θ d ( z ; k ) = ( π 2 ) 1 / 2 K ′ ( k ) − 1 / 2 exp [ − π z 2 4 K ( k ) K ′ ( k ) ] ϑ R { exp [ π z − K ( k ) K ′ ( k ) ] ; exp [ π − z − K ( k ) K ′ ( k ) ] } {\displaystyle \theta _{d}(z;k)={\bigl (}{\frac {\pi }{2}}{\bigr )}^{1/2}K'(k)^{-1/2}\exp {\biggl [}-{\frac {\pi \,z^{2}}{4\,K(k)\,K'(k)}}{\biggr ]}\vartheta _{R}{\biggl \{}\exp {\biggl [}\pi \,{\frac {z-K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]};\exp {\biggl [}\pi \,{\frac {-z-K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]}{\biggr \}}} Durch Reflexion kann dann auch die Nevillesche Thetafunktion θ d {\displaystyle \theta _{d}}
θ n ( z ; k ) = ( 1 − k 2 ) − 1 / 4 θ d [ K ( k ) − z ; k ] {\displaystyle \theta _{n}(z;k)=(1-k^{2})^{-1/4}\theta _{d}{\bigl [}K(k)-z;k{\bigr ]}} Nach der oben genannten Beschreibeung kann bereits darauf basierend das Delta Amplitudinis unter den Jacobischen Amplitudenfunktionen definiert werden:
dn ( z ; k ) = θ d ( z ; k ) θ n ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\theta _{d}(z;k)}{\theta _{n}(z;k)}}} Durch Bildung der ursprünglichen Stammfunktion bezüglich des linken Klammereintrags kommt dann die Jacobische Amplitude hervor:
am ( z ; k ) = ∫ 0 z dn ( t ; k ) d t = ∫ 0 1 z dn ( y z ; k ) d y {\displaystyle \operatorname {am} (z;k)=\int _{0}^{z}\operatorname {dn} (t;k)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{1}z\operatorname {dn} (yz;k)\,\mathrm {d} y} Direkt daraus folgen erneut die Definitionen von Sinus Amplitudinis und Cosinus Amplitudinis nach dem bereits genannten Muster:
sn ( z ; k ) = sin [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)=\sin[\operatorname {am} (z;k)]} cn ( z ; k ) = cos [ am ( z ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\cos[\operatorname {am} (z;k)]} Eine weitere Definition der Jacobi-Funktionen verwendet die Jacobischen Thetafuniktionen :
Wenn der Modul k {\displaystyle k} 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} [1]
sn ( z ; k ) = ϑ 10 { 1 2 π [ 1 − K ( k ) − 1 z ] ; q ( k ) } | k | ϑ 00 { 1 2 π [ 1 − K ( k ) − 1 z ] ; q ( k ) } {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {\vartheta _{10}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{00}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}}} cn ( z ; k ) = 1 − k 2 4 ϑ 10 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] | k | ϑ 01 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{10}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}} dn ( z ; k ) = 1 − k 2 4 ϑ 00 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] ϑ 01 [ 1 2 π K ( k ) − 1 z ; q ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}} Hierbei ist die Formel für das Delta Amplitudinis für das gesamte Intervall ]-1;1[ gültig.
Für das vollständige elliptische Integral erster Art gilt:
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2 φ {\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \,\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}} Die Funktion q(k) ist das sogenannte elliptische Nomen von k:
q ( k ) = exp [ − π K ( 1 − k 2 ) K ( k ) − 1 ] {\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]} Die Thetafunktionswerte können auf diese Weise berechnet werden:
ϑ 00 ( x ; y ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 + 2 cos ( 2 x ) y 2 n − 1 + y 4 n − 2 ] {\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]} ϑ 01 ( x ; y ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 − 2 cos ( 2 x ) y 2 n − 1 + y 4 n − 2 ] {\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]} ϑ 10 ( x ; y ) = 2 y 1 / 4 cos ( x ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 + 2 cos ( 2 x ) y 2 n + y 4 n ] {\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]} Die Mathematiker George Neville Watson und Edmund Taylor Whittaker stellten diese Definitionen in ihrem Werk A Course in modern Analysis [2] [3] [4]
Die Seiten 469 bis 470 in der vierten Auflage dieses Werkes enthalten diese Formeln.
Auch die Jacobische Zetafunktion kann zur Definition der Jacobifunktionen sn, cn und dn verwendet werden:
sn ( z ; k ) = 2 { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } k 2 + { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}} dn ( z ; k ) = k 2 − { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } 2 k 2 + { zn ( 1 2 z ; k ) + zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] } 2 {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}} Der Grenzwert dieses Bruchs für k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
zn ( x ; k ) = ∑ n = 1 ∞ 2 π K ( k ) − 1 sin [ π K ( k ) − 1 x ] q ( k ) 2 n − 1 1 − 2 cos [ π K ( k ) − 1 x ] q ( k ) 2 n − 1 + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {zn} (x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}} Sukzessiv wird der Cosinus Amplitudinis dann so definiert:
cn ( z ; k ) = sn [ K ( k ) − z ; k ] dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\operatorname {sn} [K(k)-z;k]\operatorname {dn} (z;k)} Wichtiger Hinweis für die Grenzwertbildung:
lim k → 1 zn ( 1 2 z ; k ) = zn ( 1 2 z ; 1 ) = tanh ( 1 2 z ) {\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)=\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;1)=\tanh({\tfrac {1}{2}}z)} Jedoch gilt:
lim k → 1 zn [ K ( k ) − 1 2 z ; k ] = 0 ≠ tanh [ K ( 1 ) ] {\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]=0\neq \tanh[K(1)]} Für diese Definitionen der Amplitudenfunktionen werden zuerst das reduzierte vollständige elliptische Integral erster Art und das reduzierte elliptische Nomen definiert:
K ¯ ( k ) = 2 π K ( k ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ CBC ( n ) 2 16 n k 2 n {\displaystyle {\bar {K}}(k)={\frac {2}{\pi }}K(k)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {CBC} (n)^{2}}{16^{n}}}\,k^{2n}} q ¯ ( k ) = k − 2 q ( k ) 4 = 1 2 + [ ∑ n = 1 ∞ Sc ( n + 1 ) 2 4 n + 1 k 2 n ] {\displaystyle {\bar {q}}(k)={\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}={\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}} Dabei steht C B C {\displaystyle \mathrm {CBC} } Zentralbinomialkoeffizient und mit der Kennzeichnung S c {\displaystyle \mathrm {Sc} } Schellbachsche Zahlenfolge ausgedrückt.
Die Gebrüder Borwein gaben in ihrem Werk π and the AGM auf Seite 60 auch folgende Formel für den Sinus amplitudinis an:
sn ( u ; k ) = 4 K ¯ ( k ) q ¯ ( k ) 2 sin [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∑ n = 1 ∞ q ( k ) n − 1 [ 1 + q ( k ) 2 n − 1 ] 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\sin[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(k)^{n-1}[1+q(k)^{2n-1}]}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
sn ( u ; k ) = 2 q ¯ ( k ) sin [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∏ n = 1 ∞ 1 − 2 q ( k ) 2 n cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)=2\,{\bar {q}}(k)\sin[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
Analog gilt für die cd-Funktion diese definierende Formel, welche direkt durch die innere Substitution z → K ( k ) − z {\displaystyle z\rightarrow K(k)-z}
cd ( u ; k ) = 4 K ¯ ( k ) q ¯ ( k ) 2 cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∑ n = 1 ∞ q ( k ) n − 1 [ 1 + q ( k ) 2 n − 1 ] 1 + 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cd} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(k)^{n-1}[1+q(k)^{2n-1}]}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
cd ( u ; k ) = 2 q ¯ ( k ) cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 q ( k ) 2 n cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n 1 + 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cd} (u;k)=2\,{\bar {q}}(k)\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
Diese Formeln basieren auf der Definition der Theta-Nichtnullwertfunktionen nach Whittaker und Watson.
Diese Formeln[5]
cn ( u ; k ) = 4 K ¯ ( k ) q ¯ ( k ) 2 cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 q ( k ) n − 1 [ 1 − q ( k ) 2 n − 1 ] 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}q(k)^{n-1}[1-q(k)^{2n-1}]}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
cn ( u ; k ) = 2 1 − k 2 4 q ¯ ( k ) cos [ u ÷ K ¯ ( k ) ] ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 q ( k ) 2 n cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n 1 − 2 q ( k ) 2 n − 1 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)=2\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\bar {q}}(k)\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}
Weiter gilt nach den Whittaker-Watson-Produktformeln diese Formel für die Delta-Amplitudinis-Funktion:
dn ( u ; k ) = 1 − k 2 4 ∏ n = 1 ∞ 1 + 2 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] q ( k ) 2 n − 1 + q ( k ) 4 n − 2 1 − 2 cos [ 2 u ÷ K ¯ ( k ) ] q ( k ) 2 n − 1 + q ( k ) 4 n − 2 {\displaystyle \operatorname {dn} (u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}} Mit einer Sekans-Hyperbolicus-Summe ist eine Definition[6]
dn ( z ; k ) = π 2 K ( 1 − k 2 ) ∑ n = − ∞ ∞ sech { π K ( 1 − k 2 ) − 1 [ K ( k ) n + 1 2 z ] } {\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\bigl \{}\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\bigl [}K(k)n+{\tfrac {1}{2}}z{\bigr ]}{\bigr \}}} Mit dem elliptischen Nomen (auf engl. nome ) q = exp ( − π K ′ / K ) {\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)} v = π u / ( 2 K ( k ) ) {\displaystyle v=\pi u/(2K(k))} Lambert-Reihe entwickelt werden:
sn ( u ; k ) = 2 π K ( k ) m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 − q 2 n + 1 sin ( ( 2 n + 1 ) v ) {\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)={\frac {2\pi }{K(k){\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v)} cn ( u ; k ) = 2 π K m ∑ n = 0 ∞ q n + 1 / 2 1 + q 2 n + 1 cos ( ( 2 n + 1 ) v ) {\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v)} dn ( u ; k ) = π 2 K + 2 π K ∑ n = 1 ∞ q n 1 + q 2 n cos ( 2 n v ) {\displaystyle \operatorname {dn} (u;k)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv)} Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:
ns ( z ; k ) = 1 / sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {ns} (z;k)=1/\operatorname {sn} (z;k)} nc ( z ; k ) = 1 / cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {nc} (z;k)=1/\operatorname {cn} (z;k)} nd ( z ; k ) = 1 / dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {nd} (z;k)=1/\operatorname {dn} (z;k)} Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:
sc ( z ; k ) = sn ( z ; k ) / cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sc} (z;k)=\operatorname {sn} (z;k)/\operatorname {cn} (z;k)} sd ( z ; k ) = sn ( z ; k ) / dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {sd} (z;k)=\operatorname {sn} (z;k)/\operatorname {dn} (z;k)} dc ( z ; k ) = dn ( z ; k ) / cn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {dc} (z;k)=\operatorname {dn} (z;k)/\operatorname {cn} (z;k)} ds ( z ; k ) = dn ( z ; k ) / sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {ds} (z;k)=\operatorname {dn} (z;k)/\operatorname {sn} (z;k)} cs ( z ; k ) = cn ( z ; k ) / sn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cs} (z;k)=\operatorname {cn} (z;k)/\operatorname {sn} (z;k)} cd ( z ; k ) = cn ( z ; k ) / dn ( z ; k ) {\displaystyle \operatorname {cd} (z;k)=\operatorname {cn} (z;k)/\operatorname {dn} (z;k)} Verkürzt können wir also schreiben
pq ( z ; k ) = pr ( z ; k ) qr ( z ; k ) , {\displaystyle \operatorname {pq} (z;k)={\frac {\operatorname {pr} (z;k)}{\operatorname {qr} (z;k)}},} wobei p , q {\displaystyle p,q} r {\displaystyle r} s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} s s = c c = d d = n n = 1 {\displaystyle ss=cc=dd=nn=1}
Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen
cn 2 + sn 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1} dn 2 + k 2 sn 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1} Somit parametrisieren ( c n , s n , d n ) {\displaystyle (\operatorname {cn,sn,dn} )} elliptische Kurve , die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Ferner können wir mit den Additionstheoremen ein Gruppengesetz für Punkte auf dieser Kurve definieren:
sn ( x + y ; k ) = sn ( x ; k ) cn ( y ; k ) dn ( y ; k ) + sn ( y ; k ) cn ( x ; k ) dn ( x ; k ) 1 − k 2 sn 2 ( x ; k ) sn 2 ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (x+y;k)={\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k)\;\operatorname {dn} (y;k)+\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {dn} (x;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}} cn ( x + y ; k ) = cn ( x ; k ) cn ( y ; k ) − sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) dn ( x ; k ) dn ( y ; k ) 1 − k 2 sn 2 ( x ; k ) sn 2 ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {cn} (x+y;k)={\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k)-\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {dn} (x;k)\;\operatorname {dn} (y;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}} dn ( x + y ; k ) = dn ( x ; k ) dn ( y ; k ) − k 2 sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) cn ( x ; k ) cn ( y ; k ) 1 − k 2 sn 2 ( x ; k ) sn 2 ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {dn} (x+y;k)={\operatorname {dn} (x;k)\;\operatorname {dn} (y;k)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x;k)\;\operatorname {sn} (y;k)\;\operatorname {cn} (x;k)\;\operatorname {cn} (y;k) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x;k)\;\operatorname {sn} ^{2}(y;k)}}} Der Mathematiker Karl Heinrich Schellbach nannte diese Additionstheoreme in seinem Werk Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Theta-Funktionen [7]
sn ( x / 2 + y / 2 ; k ) 2 = 1 + sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) − cn ( x ; k ) cn ( y ; k ) 1 + k 2 sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) + dn ( x ; k ) dn ( y ; k ) {\displaystyle \operatorname {sn} (x/2+y/2;k)^{2}={\frac {1+\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)-\operatorname {cn} (x;k)\operatorname {cn} (y;k)}{1+k^{2}\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (y;k)+\operatorname {dn} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)}}} Durch Zusatz der Funktion cd ( x ; k ) = cn ( x ; k ) / dn ( x ; k ) = sn [ K ( k ) − x ; k ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=\operatorname {cn} (x;k)/\operatorname {dn} (x;k)=\operatorname {sn} [K(k)-x;k]}
sn ( x + y ; k ) = sn ( x ; k ) cd ( y ; k ) + cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) 1 + k 2 sn ( x ; k ) cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) cd ( y ; k ) {\displaystyle {\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x+y;k)={\frac {{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)+{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)}{1+k^{2}\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)}}} cd ( x + y ; k ) = cd ( x ; k ) cd ( y ; k ) − sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) 1 − k 2 sn ( x ; k ) cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) cd ( y ; k ) {\displaystyle {\color {blue}\operatorname {cd} }(x+y;k)={\frac {{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)-{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)}{1-k^{2}\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k)}}}
Somit gebraucht dieses Paar an Theoremen nur zwei von den Jacobischen Funktionen, damit auf diese Weise die Werte der betroffenen Funktionen durch Kombination der Theoreme ermittelt werden können. Dieselben Additionstheoreme können mit Hilfe des Areatangens Hyperbolicus hervorgebracht werden:
artanh [ k sn ( x + y ; k ) ] = artanh [ k sn ( x ; k ) cd ( y ; k ) ] + artanh [ k cd ( x ; k ) sn ( y ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x+y;k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k){\bigr ]}+\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k){\bigr ]}} artanh [ k cd ( x + y ; k ) ] = artanh [ k cd ( x ; k ) cd ( y ; k ) ] − artanh [ k sn ( x ; k ) sn ( y ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x+y;k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k){\bigr ]}-\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k){\bigr ]}} Im Folgenden werden die Tangensaddition und Tangenssubtraktion definiert:
a ⊕ b = tan [ arctan ( a ) + arctan ( b ) ] = a + b 1 − a b {\displaystyle a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}} c ⊖ d = tan [ arctan ( c ) − arctan ( d ) ] = c − d 1 + c d {\displaystyle c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}} Das Theorem für den Tangens Amplitudinis sc {\displaystyle \operatorname {sc} } Tangenssumme beziehungsweise Tangensdifferenz dargestellt werden:
sc ( x + y ; k ) = sc ( x ; k ) dn ( y ; k ) ⊕ sc ( y ; k ) dn ( x ; k ) {\displaystyle \operatorname {sc} (x+y;k)=\operatorname {sc} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)\,\oplus \,\operatorname {sc} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)} sc ( x − y ; k ) = sc ( x ; k ) dn ( y ; k ) ⊖ sc ( y ; k ) dn ( x ; k ) {\displaystyle \operatorname {sc} (x-y;k)=\operatorname {sc} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)\,\ominus \,\operatorname {sc} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)}
Die Jacobi-Funktionen eines Moduls können stets durch Jacobi-Funktionen eines anderen Moduls dargestellt werden, welcher mit dem ursprünglichen Modul elliptisch verwandt ist. Zwei elliptische Module a und b sind genau dann miteinander elliptisch verwandt, wenn sie folgende Formel erfüllen:
K ( a ) K ′ ( b ) K ( b ) K ′ ( a ) ∈ Q + {\displaystyle {\frac {K(a)K'(b)}{K(b)K'(a)}}\in \mathbb {Q^{+}} } In der Ausdrucksform der Elliptischen Lambdafunktion sind somit die elliptischen Module λ*(w) und λ*(v²w) mit v ∈ ℚ\0 miteinander elliptisch verwandt.
Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(4w):
sn ( x ; k ) = 2 ( 1 + 1 − k 2 ) sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] ( 1 + 1 − k 2 ) 2 + k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 {\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)={\frac {2(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}} dn ( x ; k ) = ( 1 + 1 − k 2 ) 2 − k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 ( 1 + 1 − k 2 ) 2 + k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 {\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}} cn ( x ; k ) = ( 1 + 1 − k 2 ) 2 cn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] dn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] ( 1 + 1 − k 2 ) 2 + k 2 sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] 2 {\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}} Somit gilt auch:
sc ( x ; k ) = 2 sc [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] ( 1 + 1 − k 2 ) dn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] {\displaystyle \operatorname {sc} (x;k)={\frac {2\operatorname {sc} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}} Außerdem gilt diese Summentransformation:
cd ( x ; k ) + cn ( x ; k ) = sn [ ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] sn [ 1 2 ( 1 + 1 − k 2 ) x ; k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)+\operatorname {cn} (x;k)={\frac {\operatorname {sn} [(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}} Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(9w):
artanh [ sn ( x ; k ) ] = artanh ⟨ sn { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ + 2 artanh ⟨ k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 sn { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}\operatorname {sn} ({\color {crimson}x};k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\biggl \langle }{\color {green}\operatorname {sn} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }+2\operatorname {artanh} {\biggl \langle }k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}{\color {green}\operatorname {sn} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }} artanh [ cd ( x ; k ) ] = artanh ⟨ cd { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ + 2 artanh ⟨ k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 cd { M B 3 ( k ) 2 x ; k 3 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 } ⟩ {\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}\operatorname {cd} ({\color {crimson}x};k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\biggl \langle }{\color {blue}\operatorname {cd} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }+2\operatorname {artanh} {\biggl \langle }k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}{\color {blue}\operatorname {cd} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }} Die Funktion stellt den Bagisschen Thetaquotienten für die Stufe n = 3 dar. Es gilt grundsätzlich:
M B n ( k ) = ϑ 00 [ q ( k ) n ] ϑ 00 [ q ( k ) ] {\displaystyle M_{Bn}(k)={\frac {\vartheta _{00}[q(k)^{n}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}} Für die genannte Stufe n = 3 gilt außerdem speziell diese Formel:
M B 3 ( k ) = 3 − 1 / 2 { 2 dn [ 2 3 K ( k ) ; k ] + 1 } 1 / 2 = 3 − 1 / 2 { 2 ns [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 } 1 / 2 {\displaystyle M_{B3}(k)=3^{-1/2}{\bigl \{}2\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}+1{\bigr \}}^{1/2}=3^{-1/2}{\bigl \{}2\operatorname {ns} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1{\bigr \}}^{1/2}} Sie wurden von dem griechischen Mathematiker Nikolaos Bagis erforscht. Er führte für diese Funktionen die Bezeichnung mit dem Buchstaben M ein. So gebrauchte er diese Bezeichnung beispielsweise in abgewandelter Form in seinem Werk The complete evaluation of Rogers Ramanujan and other continued fractions with elliptic functions und in weiteren Aufsätzen.
Rechenhinweise:
k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 − 2 k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 + 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 = 0 {\displaystyle k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{4}-2k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{3}+2{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}-1=0} dn [ 2 3 K ( k ) ; k ] = sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 − 1 {\displaystyle \operatorname {dn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{-1}-1} sn [ 2 3 K ( k ) ; k ] 2 = { 1 − sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 2 } { 1 − k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 2 } − 1 {\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]^{2}=\{1-{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}\{1-k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}^{-1}} − dn 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = − k 2 cn 2 ( z ; k ) = k 2 sn 2 ( z ; k ) − k 2 − k ′ 2 nd 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = − k 2 k ′ 2 sd 2 ( z ; k ) = k 2 cd 2 ( z ; k ) − k 2 k ′ 2 sc 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = k ′ 2 nc 2 ( z ; k ) = dc 2 ( z ; k ) − k 2 cs 2 ( z ; k ) + k ′ 2 = ds 2 ( z ; k ) = ns 2 ( z ; k ) − k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-\operatorname {dn} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad -k^{2}\;\operatorname {cn} ^{2}(z;k)&&=k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(z;k)-k^{2}\\-{k'}^{2}\;\operatorname {nd} ^{2}(z;k)+k'^{2}&\quad =\qquad -k^{2}{k'}^{2}\;\operatorname {sd} ^{2}(z;k)&&=k^{2}\;\operatorname {cd} ^{2}(z;k)-k^{2}\\{k'}^{2}\;\operatorname {sc} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad {k'}^{2}\;\operatorname {nc} ^{2}(z;k)&&=\operatorname {dc} ^{2}(z;k)-k^{2}\\\operatorname {cs} ^{2}(z;k)+{k'}^{2}&\quad =\qquad \operatorname {ds} ^{2}(z;k)&&=\operatorname {ns} ^{2}(z;k)-k^{2}\\\end{aligned}}} mit k 2 + k ′ 2 = 1 {\displaystyle k^{2}+k'^{2}=1} pq 2 ⋅ qp 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {pq} ^{2}\cdot \operatorname {qp} ^{2}=1} pq = pr / qr {\displaystyle \operatorname {pq} =\operatorname {pr} /\operatorname {qr} } p , q {\displaystyle p,q} r {\displaystyle r} s , c , d , n {\displaystyle s,c,d,n} s s = c c = d d = n n = 1 {\displaystyle ss=cc=dd=nn=1}
Diese Formeln stellen die Beziehungen der Jacobi-Funktionswerte für verdoppelte und verdreifachte Werte dar:
sn ( x ; k ) sn ( 2 x ; k ) = cd ( x ; k ) [ 1 − cn ( 2 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {cd} (x;k)[1-\operatorname {cn} (2x;k)]} cd ( x ; k ) sn ( 2 x ; k ) = sn ( x ; k ) [ 1 + cn ( 2 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {sn} (x;k)[1+\operatorname {cn} (2x;k)]} cn ( x ; k ) − cn ( 3 x ; k ) = sn ( x ; k ) sn ( 2 x ; k ) [ dn ( x ; k ) + dn ( 3 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)-\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]} cn ( x ; k ) + cn ( 3 x ; k ) = cd ( x ; k ) cd ( 2 x ; k ) [ dn ( x ; k ) + dn ( 3 x ; k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)+\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]} sn ( 2 x ; k ) 2 − sn ( x ; k ) 2 = sn ( x ; k ) sn ( 3 x ; k ) [ 1 − k 2 sn ( x ; k ) 2 sn ( 2 x ; k ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {sn} (2x;k)^{2}-\operatorname {sn} (x;k)^{2}=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]} cd ( x ; k ) 2 − sn ( 2 x ; k ) 2 = cd ( x ; k ) cd ( 3 x ; k ) [ 1 − k 2 cd ( x ; k ) 2 sn ( 2 x ; k ) 2 ] {\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)^{2}-\operatorname {sn} (2x;k)^{2}=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {cd} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]} Mit den Additionstheoremen können folgende Beziehungen hergeleitet werden:
sn [ 1 2 K ( k ) ; k ] = 2 1 + k + 1 − k = 1 2 2 sec [ 1 2 arcsin ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\sec {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k){\bigr ]}} cn [ 1 2 K ( k ) ; k ] = 2 1 − k 2 4 1 + k + 1 − k = 1 2 2 sech [ 1 2 artanh ( k ) ] {\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\operatorname {sech} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (k){\bigr ]}} dn [ 1 2 K ( k ) ; k ] = cs [ 1 2 K ( k ) ; k ] = 1 − k 2 4 {\displaystyle \operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cs} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}
Für die Bestimmung der Amplituden-Funktionswerte vom Drittel des K-Integrals ist eine Quartische Gleichung zu lösen, welche den biquadratisch radikalen Ausdruck aus einem kubisch radikalen Ausdruck bezüglich des Moduls liefert:
k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 4 − 2 k 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] 3 + 2 sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] − 1 = 0 {\displaystyle k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}-2k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}+2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1=0} sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] + cn [ 2 3 K ( k ) ; k ] = 1 {\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=1} sn [ 1 3 K ( k ) ; k ] dn [ 2 3 K ( k ) ; k ] = cn [ 2 3 K ( k ) ; k ] {\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}} Alternativ zum Auflösen des genannten quartischen Gleichungsausdrucks kann auch folgendes Paar an Parameterformeln verwendet werden:
sn ⟨ 1 3 K { tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] } ; tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] ⟩ = tanh { 1 2 ln [ 2 x 4 − x 2 + 1 − x 2 + 2 + x 2 + 1 ] } {\displaystyle \operatorname {sn} {\biggl \langle }{\frac {1}{3}}K{\biggl \{}\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \}};\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \rangle }=\operatorname {tanh} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\ln {\biggl [}\,{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\biggr ]}{\biggr \}}} cn ⟨ 1 3 K { tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] } ; tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] ⟩ = sech { 1 2 ln [ 2 x 4 − x 2 + 1 − x 2 + 2 + x 2 + 1 ] } {\displaystyle \operatorname {cn} {\biggl \langle }{\frac {1}{3}}K{\biggl \{}\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \}};\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \rangle }=\operatorname {sech} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\ln {\biggl [}\,{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\biggr ]}{\biggr \}}}
Für Tangenshalbierung ist diese Formel gültig:
tan [ 1 2 arctan ( x 3 ) ] = x 3 x 6 + 1 + 1 {\displaystyle \tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}={\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}} Das bedeutet, dass man am elliptischen Modul k {\displaystyle k} x {\displaystyle x}
Die Werte für die Fünfteilung vom vollständigen elliptischen Integral K {\displaystyle K} reduzierten Weberschen Modulfunktionen vom Index 5 dargestellt werden. Die reduzierten Weberschen Funktion kann wie folgt definiert werden:
Definitionen und Identitäten von w und W Kleine reduzierte Webersche Funktion Große reduzierte Webersche Funktion w R 5 ( k ) = 2 [ q ( k ) 5 ; q ( k ) 10 ] ∞ [ q ( k ) ; q ( k ) 2 ] ∞ 5 = 5 ϑ 01 [ q ( k ) 5 ] 2 2 ϑ 01 [ q ( k ) ] 2 − 1 2 {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2\,[q(k)^{5};q(k)^{10}]_{\infty }}{[q(k);q(k)^{2}]_{\infty }^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}} W R 5 ( k ) = 2 [ q ( k ) 10 ; q ( k ) 20 ] ∞ [ q ( k ) ; q ( k ) 2 ] ∞ 5 [ q ( k ) 5 ; q ( k ) 10 ] ∞ [ q ( k ) 2 ; q ( k ) 4 ] ∞ 5 = 5 ϑ 00 [ q ( k ) 5 ] 2 2 ϑ 00 [ q ( k ) ] 2 − 1 2 {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2\,[q(k)^{10};q(k)^{20}]_{\infty }\,[q(k);q(k)^{2}]_{\infty }^{5}}{[q(k)^{5};q(k)^{10}]_{\infty }\,[q(k)^{2};q(k)^{4}]_{\infty }^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}} w R 5 ( k ) = nc [ 4 5 K ( k ) ; k ] − nc [ 2 5 K ( k ) ; k ] {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)=\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}-\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}}} W R 5 ( k ) = dn [ 2 5 K ( k ) ; k ] + dn [ 4 5 K ( k ) ; k ] {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)=\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}}} w R 5 ( k ) = 2 1 − k 2 sn [ 2 5 K ( k ) ; k ] 2 sn [ 4 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2}{1-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}}} W R 5 ( k ) = 2 − 2 k 2 1 − k 2 + k 2 cn [ 1 5 K ( k ) ; k ] 2 cn [ 3 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2-2k^{2}}{1-k^{2}+k^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}}}}} w R 5 ( k ) = 2 sn [ 2 5 K ( k ) ; k ] sn [ 4 5 K ( k ) ; k ] sn [ 4 5 K ( k ) ; k ] 2 − sn [ 2 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}-\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}}}}} W R 5 ( k ) = 2 cn [ 1 5 K ( k ) ; k ] cn [ 3 5 K ( k ) ; k ] cn [ 1 5 K ( k ) ; k ] 2 − cn [ 3 5 K ( k ) ; k ] 2 {\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]}{\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}-\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}}}}}
In jeder dieser beiden Spalten der Tabelle sind die genannten Formeln jeweils alle vier identisch. Für die Ermittlung der Werte sn, cn und dn von den Fünfteln des vollständigen elliptischen Integrals K {\displaystyle K} w {\displaystyle w} W {\displaystyle W} k {\displaystyle k} w {\displaystyle w} W {\displaystyle W}
Man kann auch sehr effizient von der Funktion w R 5 {\displaystyle w_{R5}} W R 5 {\displaystyle W_{R5}}
W R 5 ( k ) = 5 ϑ 00 [ q ( k ) 5 ] 2 2 ϑ 00 [ q ( k ) ] 2 − 1 2 = 2 w R 5 ( k ) − 1 w R 5 [ k 2 ( 1 + 1 − k 2 ) − 2 ] = {\displaystyle W_{R5}(k)={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=2\,w_{R5}(k)^{-1}w_{R5}{\bigl [}k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=} = w R 5 ( k ) − 2 { [ 2 w R 5 ( k ) + 1 ] [ w R 5 ( k ) 2 + 1 ] + w R 5 ( k ) + 1 } {\displaystyle =w_{R5}(k)^{-2}{\bigl \{}{\sqrt {[2\,w_{R5}(k)+1][w_{R5}(k)^{2}+1]}}+w_{R5}(k)+1{\bigr \}}} = w R 5 ( k
Van Wikipedia, de gratis encyclopedie
![{\displaystyle F[\operatorname {am} (z;k);k]=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2584ab161da21367b5b0b5c5e797d104581a67)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)=\sin[\operatorname {am} (z;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c8c752b93f09f0e78f21e6b65a8021aee4e835)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\cos[\operatorname {am} (z;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4966ca399942fed03f62cd456b093a75a24c5cca)
![{\displaystyle \theta _{d}(z;k)={\bigl (}{\frac {\pi }{2}}{\bigr )}^{1/2}K'(k)^{-1/2}\exp {\biggl [}-{\frac {\pi \,z^{2}}{4\,K(k)\,K'(k)}}{\biggr ]}\vartheta _{R}{\biggl \{}\exp {\biggl [}\pi \,{\frac {z-K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]};\exp {\biggl [}\pi \,{\frac {-z-K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba002e2922d820953797c65d8db4b238c674f6fa)
![{\displaystyle \theta _{n}(z;k)=(1-k^{2})^{-1/4}\theta _{d}{\bigl [}K(k)-z;k{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416e4a6e89488d3253663d5a5ef7dac73ecd0086)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {\vartheta _{10}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{00}\{{\tfrac {1}{2}}\pi [1-K(k)^{-1}z];q(k)\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd41694a45fafdfba5fc272a001ad0d6e7a439a5)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{10}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{{\sqrt {|k|}}\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca328899d65393bb4d4144fc4de2ff468da62afc)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}{\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}z;q(k)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175901d31712e9bed110daf0b831504474142507)
![{\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943ebbf1e09e3324c38f46c396be2ce658e327fc)
![{\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31517b9d6574cf66118c97bdae43a14d730ad026)
![{\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4248e41592bc7ef203c97bcc6dd7f6bbef3eb1ca)
![{\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be72557fd8c5a2b56d1c999900683e005d27150)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (z;k)={\frac {2\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5c5dc43432175eb6c23287d86c7193f5e59134)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {k^{2}-\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}{k^{2}+\{\operatorname {zn} ({\tfrac {1}{2}}z;k)+\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]\}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e446b3c670fc9b2291adee0d1fd09aff865e06b7)
![{\displaystyle \operatorname {zn} (x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffad178b350f43720e510a959d8832aff05c87d3)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (z;k)=\operatorname {sn} [K(k)-z;k]\operatorname {dn} (z;k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b28c8d836c2f671efc804cb4b09ad80cea4cda)
![{\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}\operatorname {zn} [K(k)-{\tfrac {1}{2}}z;k]=0\neq \tanh[K(1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016be99211aa13e34baced8c85ccf02aabc2f18f)
![{\displaystyle {\bar {q}}(k)={\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}={\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}k^{2n}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5501d54ee5d1c86f96f49fd7597bf473da7aeff2)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\sin[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(k)^{n-1}[1+q(k)^{2n-1}]}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc87ae4bd16d376a53d099e8fcab4860db3418b6)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (u;k)=2\,{\bar {q}}(k)\sin[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a328b02be9b321caa43ea402b97d0068a3ca5b6f)
![{\displaystyle \operatorname {cd} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(k)^{n-1}[1+q(k)^{2n-1}]}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2690f90835fa4589e3e3174a0b2ab22ba80275)
![{\displaystyle \operatorname {cd} (u;k)=2\,{\bar {q}}(k)\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1+2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774f52fc2e1137e1f46efb463d797ab24aade95a)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)=\,{\frac {4}{{\bar {K}}(k)}}\,{\bar {q}}(k)^{2}\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}q(k)^{n-1}[1-q(k)^{2n-1}]}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0318250d65fdb7c97472344f089c7b07b10006)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (u;k)=2\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\bar {q}}(k)\cos[u\div {\bar {K}}(k)]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2q(k)^{2n}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c0e6a7518eb6232e269a9f38f8ad21e4e2bcc6)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[2u\div {\bar {K}}(k)]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6d604e0d59f04a5b68652c1fa1794388c9b909)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (z;k)={\frac {\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\bigl \{}\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\bigl [}K(k)n+{\tfrac {1}{2}}z{\bigr ]}{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cde2d3657222dba003ccad8dcdcdd2aac1007d2)
![{\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)=\operatorname {cn} (x;k)/\operatorname {dn} (x;k)=\operatorname {sn} [K(k)-x;k]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b1f8e76b8853316bf9b3ad0c869a6df8c4ba4b)
![{\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x+y;k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k){\bigr ]}+\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0a3fc9be655947a6ce7c977db730b4967a2443)
![{\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x+y;k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(x;k)\,{\color {blue}\operatorname {cd} }(y;k){\bigr ]}-\operatorname {artanh} {\bigl [}k\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(x;k)\,{\color {blueviolet}\operatorname {sn} }(y;k){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b51faad6c568a770e1ae1d36557c249e9863f06)
![{\displaystyle a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4694eeba504d3db4a4c2a1812403bfc3e17f836)
![{\displaystyle c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd5804fe87d111f63768e8f219419efa7725e57)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)={\frac {2(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be229c7f31d4dd49b4198c818545c9a624cde68)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe40d2bd88b3a7cb9b9c0b1667d046bf6096eab)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)={\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{2}+k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9268f3d82741a3e93c0e744427604a97b4eddcb)
![{\displaystyle \operatorname {sc} (x;k)={\frac {2\operatorname {sc} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{(1+{\sqrt {1-k^{2}}})\operatorname {dn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7207e95b3392602f407dffe439fdf110fc1514)
![{\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)+\operatorname {cn} (x;k)={\frac {\operatorname {sn} [(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91206cc26e4292698f2b198781832f3b92e6acee)
![{\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}\operatorname {sn} ({\color {crimson}x};k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\biggl \langle }{\color {green}\operatorname {sn} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }+2\operatorname {artanh} {\biggl \langle }k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}{\color {green}\operatorname {sn} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fba85fbfc808700d79198c9daadd78d0a2216fc)
![{\displaystyle \operatorname {artanh} {\bigl [}\operatorname {cd} ({\color {crimson}x};k){\bigr ]}=\operatorname {artanh} {\biggl \langle }{\color {blue}\operatorname {cd} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }+2\operatorname {artanh} {\biggl \langle }k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}{\color {blue}\operatorname {cd} {\bigl \{}M_{B3}(k)^{2}{\color {crimson}x};k^{3}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}{\bigr \}}}{\biggr \rangle }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d96757ca236ddf6d4126d1ac9f9c924451efac0)
![{\displaystyle M_{Bn}(k)={\frac {\vartheta _{00}[q(k)^{n}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef9e237381a4852ac28e60b5d28f609c8c86cc1)
![{\displaystyle M_{B3}(k)=3^{-1/2}{\bigl \{}2\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}+1{\bigr \}}^{1/2}=3^{-1/2}{\bigl \{}2\operatorname {ns} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1{\bigr \}}^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d14cd18d64085a8556f29f282424d916a0e428e)
![{\displaystyle k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{4}-2k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{3}+2{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08ceb0e5e920198c5c7b502a2b230f8241e69ff)
![{\displaystyle \operatorname {dn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{-1}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6eb18dce35ab8a4afa243dbb0aff61719dadfa)
![{\displaystyle \operatorname {sn} [{\tfrac {2}{3}}K(k);k]^{2}=\{1-{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}\{1-k^{2}{\color {cornflowerblue}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(k);k]}^{2}\}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2f10668ec940f95f38eda64dd7be40a837819c)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {cd} (x;k)[1-\operatorname {cn} (2x;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da3e509f04a0863407ce57b2d853d7d52e677ce)
![{\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)=\operatorname {sn} (x;k)[1+\operatorname {cn} (2x;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18641bf4b43cbeb4fa3095e4bba07949a10e260)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)-\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1d2f6c71c7a71cff1c39c24dcebe9c133496e0)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (x;k)+\operatorname {cn} (3x;k)=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (2x;k)[\operatorname {dn} (x;k)+\operatorname {dn} (3x;k)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f7c0e78e4a9f34f466c9614f615fab403732480)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (2x;k)^{2}-\operatorname {sn} (x;k)^{2}=\operatorname {sn} (x;k)\operatorname {sn} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {sn} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5cdceea8f0e843a0c94364185c0a2ef007f4de)
![{\displaystyle \operatorname {cd} (x;k)^{2}-\operatorname {sn} (2x;k)^{2}=\operatorname {cd} (x;k)\operatorname {cd} (3x;k)[1-k^{2}\operatorname {cd} (x;k)^{2}\operatorname {sn} (2x;k)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9efd760dd34d7a6a43be4cf6a4a9c601769e6e)
![{\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\sec {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643206ea6da24a090c79b1aaa72c86970456d90c)
![{\displaystyle \operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\operatorname {sech} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (k){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3e6d0d781c52d482b7f7e4b1e63e0d3809f1f6)
![{\displaystyle \operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cs} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}K(k);k{\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b3be7034764690f9505aa694da1b47a535b6ab)
![{\displaystyle k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{4}-2k^{2}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}^{3}+2\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42eec4ef79f10bc1d12d3b94987ae6050a42153)
![{\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c9cfc16a6429b9c06950fd8a4efdd8dbdf3f42)
![{\displaystyle \operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}=\operatorname {cn} {\bigl [}{\tfrac {2}{3}}K(k);k{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707a71e46e7c30840bea197acb2ed51ca1d51766)
![{\displaystyle \operatorname {sn} {\biggl \langle }{\frac {1}{3}}K{\biggl \{}\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \}};\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \rangle }=\operatorname {tanh} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\ln {\biggl [}\,{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\biggr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947bf4de24d310b7c8c4097de2ea4c788e6c861a)
![{\displaystyle \operatorname {cn} {\biggl \langle }{\frac {1}{3}}K{\biggl \{}\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \}};\tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}{\biggr \rangle }=\operatorname {sech} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\ln {\biggl [}\,{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}\,{\biggr ]}{\biggr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95fcf2376294e19c05c2e3a9e1cb728f1a798373)
![{\displaystyle \tan {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arctan(x^{3}){\bigr ]}={\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e19dbe4495399063ba6ad2b9e5f36149a7b7b8)
![{\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2\,[q(k)^{5};q(k)^{10}]_{\infty }}{[q(k);q(k)^{2}]_{\infty }^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69ccfad9bed32451e26287534e2dfb7700726e4)
![{\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2\,[q(k)^{10};q(k)^{20}]_{\infty }\,[q(k);q(k)^{2}]_{\infty }^{5}}{[q(k)^{5};q(k)^{10}]_{\infty }\,[q(k)^{2};q(k)^{4}]_{\infty }^{5}}}={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9e59b7966cb409e38f4bc7c1dd59b7c3a0509a)
![{\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)=\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}-\operatorname {nc} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96318cfa5e0335e36672dd03fe8aa20f49d7f859)
![{\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)=\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {2}{5}}K(k);k{\bigr ]}+\operatorname {dn} {\bigl [}{\tfrac {4}{5}}K(k);k{\bigr ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dc4a0f29016c0c8bcbc44ee5cdea4c2872f08d)
![{\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2}{1-k^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d178ff342e3d8bf393e4bd4db3ad9d4c99f57fb)
![{\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2-2k^{2}}{1-k^{2}+k^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32823fc1e83bcb1d93147efd0a3a6a62f0b0db2b)
![{\displaystyle {\color {ProcessBlue}w_{R5}(k)={\frac {2\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]}{\operatorname {sn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}-\operatorname {sn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e36751a0d7c72f15fdeb7e3a29ce8a5cce7fa3)
![{\displaystyle {\color {RoyalBlue}W_{R5}(k)={\frac {2\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]}{\operatorname {cn} [{\tfrac {1}{5}}K(k);k]^{2}-\operatorname {cn} [{\tfrac {3}{5}}K(k);k]^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4662bfea077ee6236a103aae2ae00a28a06f6af8)
![{\displaystyle w_{R5}(k)^{6}-2\,w_{R5}(k)^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(k){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(k)+1{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85e79147c095a7897e78dae7076127b36317ad6)
![{\displaystyle 2\,W_{R5}(k)^{5}-W_{R5}(k)^{6}=\sin {\bigl [}2\arcsin(k){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,W_{R5}(k)+1{\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493ae19d1d22d6ed7dcc3764fb85998061c65d0d)
![{\displaystyle W_{R5}(k)={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}=2\,w_{R5}(k)^{-1}w_{R5}{\bigl [}k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5e0e5b18bb411d27b9bc509480efc1759ce1b9)
![{\displaystyle =w_{R5}(k)^{-2}{\bigl \{}{\sqrt {[2\,w_{R5}(k)+1][w_{R5}(k)^{2}+1]}}+w_{R5}(k)+1{\bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b736f1132d0f07c57ef59a34f77b9f481d623391)