מרחב נורמלי

בטופולוגיה, נורמליות ותכונת ${\displaystyle \ T_{4}}$ הן דוגמאות לסוג חזק יחסית של תכונות הפרדה. מרחב נורמלי הוא מרחב טופולוגי המפריד בין קבוצות סגורות זרות, באמצעות סביבות פתוחות. מרחב נורמלי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב ${\displaystyle \ T_{4}}$.

מרחב טופולוגי הוא נורמלי, אם לכל שתי קבוצות סגורות וזרות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות המכילות אחת את A ואחת את B. תכונה זו נקראת 'הפרדה בין קבוצות סגורות בקבוצות פתוחות'. ניסוח שקול: לכל קבוצה סגורה F וקבוצה פתוחה G כך ש ${\displaystyle \ F\subset G}$, קיימת קבוצה פתוחה V שעבורה ${\displaystyle \ F\subset V\subset {\overline {V}}\subset G}$.

אם מתקיים גם ${\displaystyle \ T_{1}}$ אז כל מרחב ${\displaystyle \ T_{4}}$ הוא מרחב T3, שבו אפשר להפריד באמצעות קבוצות פתוחות בין קבוצה סגורה לנקודה, ולכן גם מרחב האוסדורף, שבו אפשר להפריד בין נקודות.

הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי אפשר להפריד בין קבוצות סגורות וזרות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה מן המרחב לקטע היחידה [0,1], כך ש- ${\displaystyle \ f(A)=0}$ ו- ${\displaystyle \ f(B)=1}$. מכאן נובע שמרחב ${\displaystyle \ T_{4}}$ הוא מרחב טיכונוף (הקרוי גם מרחב ${\displaystyle \ T_{3{\frac {1}{2}}}}$), ובפרט מרחב רגולרי לחלוטין.

את הלמה של אוריסון ניתן לראות כאילו היא מאפשרת להרחיב את הפונקציה המקבלת את הערך 0 בקבוצה A ואת הערך 1 בקבוצה B, לפונקציה רציפה המוגדרת על כל המרחב. משפט טיטצה מהווה הכללה של למה זו, בכך שהוא מאפשר להרחיב כל פונקציה רציפה: אם M קבוצה סגורה במרחב נורמלי, אז לכל פונקציה רציפה ${\displaystyle \ f:M\to [0,1]\ {\mbox{or}}\ \mathbb {R} }$ קיימת ${\displaystyle \ \phi :X\to [0,1]\ {\mbox{or}}\ \mathbb {R} }$ כך ש ${\displaystyle \ \forall x\in M:\phi (x)=f(x)}$.

כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב ${\displaystyle \ T_{4}}$. חשיבותם הרבה של מרחבי ${\displaystyle \ T_{4}}$ נובעת מן המשפט של אוריסון: כל מרחב ${\displaystyle \ T_{4}}$ המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, הוא מטריזבילי (כלומר: הטופולוגיה שלו מושרית על ידי מטריקה מתאימה).

הישר של סורגנפריי S הוא מרחב לינדלף נורמלי, ועם זאת מרחב המכפלה ${\displaystyle \,S\times S}$ אינו נורמלי. בעיית Dowker (מ-1951) שאלה האם ייתכן מרחב נורמלי X כך ש-${\displaystyle X\times [0,1]}$ אינו נורמלי. דוגמה למרחב כזה ניתנה על ידי M.E.Rudin ב-1971. עדיין לא ידוע מה העוצמה המינימלית של דוגמה נגדית.

• אקסיומות ההפרדה
• מרחב נורמלי לחלוטין
• מרחב נורמלי באופן מושלם