משפטי האיזומורפיזם

באלגברה, משפטי האיזומורפיזם הם שם שכיח לשלושה משפטים יסודיים שלפיהם חבורות מנה מסוימות הן איזומורפיות זו לזו. משפטים דומים תקפים גם עבור חוגי מנה ומודולי מנה. המשפטים מיוחסים לאמי נתר, ולפעמים הם נקראים "משפטי נתר", הראשון, השני והשלישי.

מן המשפטים האלה נובעת התאמה בין סריג תת-החבורות של חבורה ${\displaystyle G}$ המכילות תת-חבורה ${\displaystyle N}$, לבין סריג תת-החבורות של חבורת המנה ${\displaystyle G/N}$. משפט ההתאמה הזה נקרא לפעמים "משפט האיזומורפיזם הרביעי".

אם ${\displaystyle f}$ הומומורפיזם ממבנה אלגברי ${\displaystyle A}$, אז המנה של ${\displaystyle A}$ ביחס לגרעין של ${\displaystyle f}$ איזומורפית לתמונה של ${\displaystyle f}$.

משפט (ניסוח לתורת החבורות): תהיינה ${\displaystyle G,H}$ חבורות, ויהא ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ הומומורפיזם. אזי ${\displaystyle G/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )}$.

משפט (ניסוח לתורת החוגים): יהיו ${\displaystyle R,S}$ חוגים, ויהא ${\displaystyle \varphi :R\to S}$ הומומורפיזם. אזי ${\displaystyle R/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )}$.

משפט (ניסוח לתורת המודולים): יהיו ${\displaystyle M,N}$ שני מודולים מעל חוג ${\displaystyle R}$, ויהא ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ הומומורפיזם. אזי ${\displaystyle M/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )}$.

נעיר תחילה כי ${\displaystyle \ker(\varphi )}$ הוא תת-חבורה נורמלית של ${\displaystyle G}$ ולכן חבורת המנה ${\displaystyle G/\ker(\varphi )}$ מוגדרת היטב. נסמן ${\displaystyle K:=\ker(\varphi )}$ ונגדיר העתקה ${\displaystyle \Psi :G/K\to {\text{Im}}(\varphi )}$ על ידי ${\displaystyle \Psi (gK)=\varphi (g)}$ לכל קוסט ${\displaystyle gK\in G/K}$. נראה כי הפונקציה היא איזומורפיזם וזה יוכיח את המשפט:

• הפונקציה מוגדרת היטב (כלומר, אם ניקח נציגים שונים עבור אותה מחלקת שקילות, נקבל אותה תוצאה): נניח כי ${\displaystyle g_{1}K=g_{2}K\in G/K}$. אזי ${\displaystyle g_{2}\cdot g_{1}^{-1}\in K}$ ובפרט ${\displaystyle \varphi (g_{2}\cdot g_{1}^{-1})=1}$. כעת:

${\displaystyle \Psi (g_{1}K)=\varphi (g_{1})=1\cdot \varphi (g_{1})=\varphi (g_{2}\cdot g_{1}^{-1})\cdot \varphi (g_{1})=\varphi (g_{2}\cdot g_{1}^{-1}\cdot g_{1})=\varphi (g_{2})=\Psi (g_{2}K)}$

• הפונקציה הומומורפיזם: ניקח ${\displaystyle g_{1}K,g_{2}K\in G/K}$ ואז:

${\displaystyle \Psi (g_{1}K\cdot g_{2}K)=\Psi (g_{1}g_{2}K)=\varphi (g_{1}g_{2})=\varphi (g_{1})\cdot \varphi (g_{2})=\Psi (g_{1}K)\cdot \Psi (g_{2}K)}$

• הפונקציה על: יהי ${\displaystyle h\in {\text{Im}}(\varphi )}$ כלשהו. על-פי הגדרת התמונה, קיים ${\displaystyle g\in G}$ עבורו ${\displaystyle \varphi (g)=h}$, ובסך הכל נקבל כי ${\displaystyle \Psi (gK)=\varphi (g)=h}$.
• הפונקציה חד-חד-ערכית: ניקח ${\displaystyle g_{1}K,g_{2}K\in G/K}$ ונניח כי ${\displaystyle \Psi (g_{1}K)=\Psi (g_{2}K)}$. אזי ${\displaystyle \varphi (g_{1})=\varphi (g_{2})}$, כלומר ${\displaystyle \varphi (g_{1})\varphi (g_{2})^{-1}=1}$, כלומר ${\displaystyle \varphi (g_{1}g_{2}^{-1})=1}$, כלומר ${\displaystyle g_{1}g_{2}^{-1}\in K}$, כלומר ${\displaystyle g_{1}K=g_{2}K}$.

ניתן לפרש את משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות כהדגמה של משפט האיזומורפיזם הראשון, שכן מרחבים וקטוריים הם סוג של חבורות אבליות. במקרה זה ההעתקה הליניארית ${\displaystyle T:U\to V}$ היא הומומורפיזם בין החבורות ${\displaystyle U,V}$. בעוד שהגרעין ${\displaystyle W\subset U}$ והתמונה ${\displaystyle S\subset V}$ של הומומורפיזם זה מקבלים את המשמעות שלהם בהשאלה ממשמעותם באלגברה ליניארית. בהינתן תת-מרחב ${\displaystyle W}$, האיברים של חבורת המנה ${\displaystyle U/W}$ (כלומר הקוסטים של ${\displaystyle W}$ ב-${\displaystyle U}$) הם בעצם כל המרחבים מממד זהה ש"מקבילים" ביחס אליו. לדוגמה, בהינתן מישור ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ וכיוון בתוכו, הקוסטים המתאימים לו הם כל הישרים המקבילים לכיוון זה. כלומר, איברי חבורת המנה פועלים על קוסט הזהות ${\displaystyle W}$ באותו אופן כמו הזזות (translations), ולפיכך מספר איברי חבורת המנה ${\displaystyle U/W}$ הוא כמספר ההזזות בכיוונים שאינם מוכלים ב-${\displaystyle W}$. עבור מרחבים וקטוריים מעל שדות סופיים ניתן לספור ישירות את מספר הכיוונים הללו, אולם במקרה האינסופי יש לדבר על ממדי המרחבים הללו. לפיכך:${\displaystyle \dim(U/W)=\dim(U)-\dim(W)}$, בעוד שלפי משפט האיזומורפיזם הראשון מתקיים גם ${\displaystyle \dim(U/W)=\dim({\text{Im}}(T))}$, ולכן ${\displaystyle \dim({\text{Im}}(T))=\dim(U)-\dim(\ker(T))}$.

משפט (ניסוח לתורת החבורות): תהא ${\displaystyle G}$ חבורה, תהא ${\displaystyle M\leq G}$ תת-חבורה ותהא ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ תת-חבורה נורמלית. אזי ${\displaystyle (MN)/N\cong M/(M\cap N)}$.

משפט (ניסוח לתורת החוגים): יהא ${\displaystyle R}$ חוג, יהא ${\displaystyle S}$ תת-חוג של ${\displaystyle R}$ ויהא ${\displaystyle I}$ אידיאל דו-צדדי של ${\displaystyle R}$. אזי ${\displaystyle (S+I)/I\cong S/(S\cap I)}$.

משפט (ניסוח לתורת המודולים): יהא ${\displaystyle M}$ מודול מעל חוג ${\displaystyle R}$, ויהיו ${\displaystyle N,K}$ תת-מודולים של ${\displaystyle M}$. אזי ${\displaystyle (N+K)/K\cong N/(N\cap K)}$.

ראשית, נעיר כי משום ש-${\displaystyle M\leq G}$ וגם ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$ אזי ${\displaystyle M\cap N\trianglelefteq M}$, ולכן חבורת המנה ${\displaystyle M/(M\cap N)}$ מוגדרת היטב. כעת מגדירים העתקה ${\displaystyle \varphi :M\to (MN)/N}$ על ידי ${\displaystyle \varphi (m)=mN}$ לכל ${\displaystyle m\in M}$. נשים לב לשלוש אבחנות:

1. ההעתקה ${\displaystyle \varphi }$ היא הומומורפיזם כי לכל ${\displaystyle m_{1},m_{2}\in M}$ מתקיים:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m_{1}m_{2})&=(m_{1}m_{2})N\\&=(m_{1}N)(m_{2}N)\\&=\varphi (m_{1})\varphi (m_{2})\end{aligned}}}$

2. ההעתקה ${\displaystyle \varphi }$ היא על כי אם ${\displaystyle mnN\in (MN)/N}$ עבור ${\displaystyle m\in M,n\in N}$ אז ${\displaystyle \varphi (m)=mN=mnN}$. השוויון ${\displaystyle mN=mnN}$ מתקיים כי ${\displaystyle n\in N}$
3. מתקיים:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(\varphi )&=\{m\in M:\varphi (m)=N\}\\&=\{m\in M:mN=N\}\\&=\{m\in M:m\in N\}\\&=M\cap N\end{aligned}}}$

בסך הכל מקבלים ממשפט האיזומורפיזם הראשון כי ${\displaystyle M/(M\cap N)=M/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )=(MN)/N}$ כנדרש.

במקרה של המשפט בגרסת תורת החבורות, ניתן להסיק כי ${\displaystyle M/(M\cap N)}$ איזומורפי לתת-חבורה של ${\displaystyle G/N}$, ובפרט ${\displaystyle [M:M\cap N]\leq [G:N]}$, כאשר ${\displaystyle [G:N]}$ מסמן את האינדקס של ${\displaystyle N}$ ב-${\displaystyle G}$. מכאן נובע האי-שוויון השימושי ${\displaystyle [G:M\cap N]\leq [G:N][G:M]}$.

משפט (ניסוח לתורת החבורות): תהא ${\displaystyle G}$ חבורה ויהיו ${\displaystyle M,N}$ תת-חבורות נורמליות של ${\displaystyle G}$ המקיימות ${\displaystyle M\leq N}$. אזי ${\displaystyle (G/M)/(N/M)\cong G/N}$.

משפט (ניסוח לתורת החוגים): יהא ${\displaystyle R}$ חוג ויהיו ${\displaystyle I,J}$ אידיאלים דו-צדדיים של ${\displaystyle R}$ המקיימים ${\displaystyle I\subseteq J}$. אזי ${\displaystyle (R/I)/(J/I)\cong R/J}$.

משפט (ניסוח לתורת המודולים): יהא ${\displaystyle M}$ מודול מעל חוג ${\displaystyle R}$ ויהיו ${\displaystyle N,K}$ תת-מודולים של ${\displaystyle M}$ המקיימים ${\displaystyle K\subseteq N}$. אזי ${\displaystyle (M/K)/(N/K)\cong M/N}$.

ראשית, נעיר כי משום ש-${\displaystyle M,N\trianglelefteq G}$ וגם ${\displaystyle M\leq N}$ אז ${\displaystyle M\trianglelefteq N}$. לכן, חבורת המנה ${\displaystyle N/M}$ מוגדרת היטב וניתן להראות שמתקיים ${\displaystyle N/M\trianglelefteq G/M}$. מכאן שהביטוי ${\displaystyle (G/M)/(N/M)}$ מוגדר היטב, ונוכל לעבור להוכחת האיזומורפיות. כעת מגדירים העתקה ${\displaystyle \varphi :G/M\to G/N}$ על ידי ${\displaystyle \varphi (gM)=gN}$ לכל ${\displaystyle g\in G}$. נשים לב לשלוש אבחנות:

• ההעתקה ${\displaystyle \varphi }$ היא הומומורפיזם כי לכל ${\displaystyle g_{1}M,g_{2}M\in G/M}$ מתקיים:

${\displaystyle \varphi {\bigl (}(g_{1}M)(g_{2}M){\bigr )}=\varphi (g_{1}g_{2}M)=g_{1}g_{2}N=(g_{1}N)(g_{2}N)=\varphi (g_{1}M)\varphi (g_{2}M)}$

• ההעתקה ${\displaystyle \varphi }$ היא על כי אם ${\displaystyle gN\in G/N}$ עבור ${\displaystyle g\in G}$ אז ${\displaystyle \varphi (gM)=gN}$.
• מתקיים:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(\varphi )&={\bigl \{}gM\in G/M:\varphi (gM)=N{\bigr \}}\\&={\bigl \{}gM\in G/M:gN=N{\bigr \}}\\&=\{gM\in G/M:g\in N\}\\&=N/M\end{aligned}}}$

בסך הכל מקבלים ממשפט האיזומורפיזם הראשון כי ${\displaystyle (G/M)/(N/M)=(G/M)/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )=G/N}$ כנדרש.

בהינתן חבורה ${\displaystyle G}$ ותת-חבורה נורמלית ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$, יש התאמה ח.ח.ע ועל בין תת-החבורות של ${\displaystyle G}$ המכילות את ${\displaystyle N}$, לבין תת-החבורות של חבורת המנה ${\displaystyle G/N}$. כלומר, אם נסמן ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{H:N\subseteq H\leq G\},\,{\mathcal {N}}=\{H:H\leq G/N\}}$, אז יש התאמה ח.ח.ע ועל ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {N}}}$, והיא נתונה על ידי ${\displaystyle \varphi (A)=A/N}$ לכל ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$.