משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא מן התוצאות הקלאסיות והאלגנטיות בתורת המספרים. המשפט, אותו הוכיח ז'וזף לואי לגראנז' ב-1770, קובע שכל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים: לכל מספר טבעי ${\displaystyle n}$ קיימים מספרים שלמים ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}}$ עבורם ${\displaystyle n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$. לדוגמה, ${\displaystyle 107=8^{2}+5^{2}+3^{2}+3^{2}}$.

משפט ארבעת הריבועים מופיע לראשונה, בלי הוכחה, בהערות שהוסיף קלוד בשה למהדורת יסודות שהוציא לאור בצרפת ב-1621.

הצעד הראשון בהוכחה הוא הזהות המפתיעה

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}\\&+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\&+(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\&+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\end{aligned}}}$$

שדומות לה יש רק עבור שניים, ארבעה או שמונה נעלמים (משפט הורוויץ, וראו גם תבנית פיסטר). הזהות מראה שאם אפשר להציג שני מספרים כסכום של ארבעה ריבועים, אפשר להציג כך גם את המכפלה שלהם. לכן, די להראות שניתן להציג את כל המספרים הראשוניים כסכום של ארבעה ריבועים, כי כל מספר הוא מכפלת ראשוניים. ההוכחה לטענה זו מבוססת על העובדה שלכל מספר ראשוני ${\displaystyle p}$ קיימים ${\displaystyle a,b}$ עבורם ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+1}$ מתחלק ב-${\displaystyle p}$, ואז על שיטת הירידה של אוילר, המאפשרת להמיר הצגה של ${\displaystyle kp}$ (עם ${\displaystyle 1<k<p}$) כסכום של ארבעה ריבועים בהצגה דומה של ${\displaystyle k'p}$ עבור ${\displaystyle k'<k}$. לאחר מספר סופי של צעדים מגיעים להצגה של p עצמו.

הצגות כסכום של ארבעה ריבועים קשורות קשר הדוק לאלגברת הקווטרניונים, ובעיקר לתת-החוג של הקווטרניונים השלמים (חוג הורוויץ השווה ל- ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[i,j,{\frac {1+i+j+ij}{2}}\right]}$, וחוג ליפשיץ השווה ל-${\displaystyle \mathbb {Z} [i,j]}$).

כבר במאה ה-3, דיופנטוס שיער כי כל מספר מהצורה ${\displaystyle 4^{n}(8m+7)}$ (למשל: 7, 15, 23) לא ניתן להציג כסכום של שלושה ריבועים. רנה דקארט הוכיח זאת ב-1638. פייר דה פרמה שיער שאלו המספרים היחידים שלא ניתנים להצגה בצורה זו. אדריאן-מארי לז'נדר הציג הוכחה סבוכה לטענה הזו ב-1798, ואילו קרל פרידריך גאוס הביא הוכחה שונה וקצרה בהרבה ב-1801. לדוגמה, 107 אינו מהצורה האסורה, ואכן ${\displaystyle 107=9^{2}+5^{2}+1^{2}}$. ההוכחה של משפט זה קשה בהרבה מזו של משפט לגראנז', והיא הייתה חלק מהפיתוח של התורה של תבניות ריבועיות במספרים שלמים, שלה תרם גאוס תרומה מכרעת. בהסתמך על תוצאה זו, ניתן להוכיח בדרך פשוטה תוצאה אחרת של גאוס: כל מספר הוא סכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות.

באשר להצגה כסכום של שני ריבועים, פרמה כתב ב-1640 (במכתב למרסן) שאפשר להציג מספר ראשוני ${\displaystyle p}$ כסכום של שני ריבועים, אם ורק אם הוא נותן שארית 1 בחלוקה ל-4 (גם כאן, העובדה שמספרים מהצורה ${\displaystyle 4m+3}$ אינם ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים היא קלה מאוד להוכחה). לא ברור אם פרמה ידע להוכיח טענה זו; ב-1749 שלח לאונרד אוילר (הפעם, במכתב לגולדבך) הוכחה מסודרת, המבוססת על שיטת הנסיגה האינסופית שפיתח.

תוצאות אלה על הצגה של מספרים כסכום של ריבועים הוכללו בבעיית וארינג, השואלת על המספר הקטן ביותר של חזקות-k שמספיקות להצגת כל מספר טבעי, ובבעיות על 'תבניות אוניברסליות' בתבניות ריבועיות.

מן התאוריה של הסה ומינקובסקי, המהווה מקרה פרטי של עקרון הסה, נובע שמשפט לגראנז' נכון לא רק בשלמים הרציונליים, הרגילים, אלא גם בכל שדה מספרים (ואף בכל שדה גלובלי): כל איבר בשדה כזה ניתן להציג כסכום של ארבעה ריבועים בשדה.

לפי משפט המספרים המצולעים, אותו הוכיח קושי ב-1813, כל מספר ניתן להצגה כסכום של לכל היותר ${\displaystyle n}$ מספרים מצולעים מסדר ${\displaystyle n}$. המקרה הפרטי ${\displaystyle n=4}$ הוא משפט לגראנז'.

• משפט ארבעת הריבועים של יעקובי
• בעיית וארינג

• משפט ארבעת הריבועים של לגראנז', באתר MathWorld (באנגלית)
• משפט ארבעת הריבועים של לגראנז', באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)