אלגברת הקווטרניונים של המילטון

במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת ${\displaystyle \mathbb {H} }$, היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה ${\displaystyle \ a+ib+jc+kd}$ כאשר ${\displaystyle \ a,b,c,d}$ הם מספרים ממשיים, ו-${\displaystyle \ i,j,k}$ מקיימים: ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}$. זוהי אלגברת קווטרניונים שמרכזה הוא שדה המספרים הממשיים. את המבנה גילה ב-1843 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת הווקטור.

הקווטרניונים הם הרחבה של שדה המספרים המרוכבים לארבעה ממדים.

מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו-ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי. ניסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצאה בדמות הקווטרניונים. השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים. בהמשך, פותחו הווקטור והמטריצה והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך. עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל בגרפיקת תלת־ממד.

הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידו בשנת 1843.^[1] קדמו לגילוי של המילטון זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר משנת 1748, ונוסחת אוילר-רודריגז לתיאור סיבובים משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התיאור של הקווטרניונים. קרל פרידריך גאוס הציג את הנוסחאות לכפל קווטרניונים ברשימה קצרה מ-1819 תחת הכותרת "Mutationen des Raumes", שלא פורסמה עד אחרי מותו.

המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו-ממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור: ${\displaystyle z=x+yi=re^{i\theta }}$ ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמה סיבוב של נקודה ${\displaystyle z=x+iy}$ בזווית ${\displaystyle \alpha }$ מתבצעת על ידי הכפלה: ${\displaystyle z'=ze^{i\alpha }=z(\cos(\alpha )+i\sin(\alpha ))}$. בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחה שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו. ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברום (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי', הוא חרט על הגשר את הנוסחה הבסיסית לכפל קווטרניונים: ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$. המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.

תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, פיטר טייט ובנג'מין פירס הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתיאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה. כך לדוגמה הם הראו שאת משוואות מקסוול ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים. בסוף שנות ה-80 של המאה ה-19 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתיאור גאומטריה תלת-ממדית, לבין התומכים בשימוש באנליזה וקטורית. בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית. תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתיאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.

לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתיאור מצב זוויתי וסיבובים כתחליף לשימוש בזוויות אוילר. זאת נעשה במגוון תחומים כגון: ניווט, גרפיקה ממוחשבת, אווירודינמיקה, תורת הבקרה, עיבוד אותות, פיזיקה וביואינפורמטיקה. משחק המחשב טומב ריידר משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים. כמו כן, במערכות טוס על חוט (fly by wire) המשמשות לבקרת גובה במטוסים בעלי יציבות אווירודינמית שלילית, הפקודות לייצוב האווירודינמי של המטוס נשלחות כקווטרניונים (קווטרניון כל חלקיק שנייה).

מתוך השוויון ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,}$ נובעים השוויונות הבאים:

${\displaystyle \ ij=k}$, אבל ${\displaystyle \ ji=-k}$;

${\displaystyle \ jk=i}$, אבל ${\displaystyle \ kj=-i}$;

${\displaystyle \ ki=j}$, אבל ${\displaystyle \ ik=-j}$.

קווטרניונים אלה יוצרים את חבורת הקווטרניונים. כאמצעי עזר חזותי לזכירת כללי הכפל של הקווטרניונים ניתן להציב את ${\displaystyle i,j,k}$ במעגל באופן כזה שהמעבר מכל קווטרניון יסודי לקווטרניון היסודי הבא מתבצע בכיוון השעון. לאור הבנייה הזאת, כפל קווטרניונים יסודיים מתבצע בצורה הבאה: כפל של כל שניים מהם ייתן את השלישי, עם סימן חיובי כאשר האיבר הימני נמצא צעד אחד בכיוון השעון ביחס לאיבר השמאלי, ועם סימן שלילי כאשר ההפך הוא הנכון.

החיבור של שני קווטרניונים הוא: ${\displaystyle \left(a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k\right)+\left(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k\right)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k}$.

הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל. תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג. באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) יש איבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי-קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): עבור קווטרניונים ${\displaystyle \mathbf {A,B} }$, בדרך כלל ${\displaystyle \mathbf {AB} \neq \mathbf {BA} }$.

באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים צמוד של קווטרניון: ${\displaystyle \ {\bar {q}}=a-(bi+cj+dk)}$ - וערך מוחלט של קווטרניון: ${\displaystyle |q|=|a+(bi+cj+dk)|={\sqrt {q{\bar {q}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}$. בהתאם לזהות ארבעת הריבועים, ${\displaystyle |pq|=|p|\cdot |q|}$.

דרך אחרת לייצג קווטרניונים היא בייצוג מטריציוני:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\;\;a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}i&\;\;0\\0&-i\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$.

במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.

דרך נוספת להצגת קווטרניונים היא כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת-ממדי: ${\displaystyle \left(\alpha ,{\vec {u}}\right)}$. במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:

1. ${\displaystyle \left(\alpha ,{\vec {u}}\right)+\left(\beta ,{\vec {v}}\right)=\left(\alpha +\beta ,{\vec {u}}+{\vec {v}}\right)}$

2. ${\displaystyle \left(\alpha ,{\vec {u}}\right)\left(\beta ,{\vec {v}}\right)=\left(\alpha \beta -{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},\alpha {\vec {v}}+\beta {\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)}$- כפל גרסמן.

מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות המכפלה הווקטורית.

כמו-כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות:

א. ${\displaystyle (a,0)(0,{\vec {v}})=(0,a{\vec {v}})}$

ב. ${\displaystyle (a,0)(b,0)=(ab,0)}$

ג. ${\displaystyle \left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v}},{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right)}$- מזהות זו נגזרו מאוחר יותר הגדרות המכפלה הסקלרית

והמכפלה הווקטורית.

הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, לסובב את המרחב התלת-ממדי, על ידי פעולת ההצמדה: החבורה ${\displaystyle \ \mathbb {H} ^{1}}$ של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על ידי הצמדה על תת-המרחב התלת-ממדי ${\displaystyle \ \mathbb {H} _{0}=\{x\in \mathbb {H} \mid \operatorname {tr} (x)=0\}}$; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם ${\displaystyle \ \mathbb {H} ^{1}/\{\pm 1\}\rightarrow \operatorname {SO} (3)}$ לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).

אוסף הקווטרניונים מהצורה ${\displaystyle \ a+bi+cj+dk}$ עבור ${\displaystyle \ a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ נקרא מסדר ליפשיץ ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם ${\displaystyle \ a,b,c,d\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$ נקרא מסדר הורוויץ. מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים ${\displaystyle \ \mathbb {Q} [i,j]}$, והוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. אפשר להיעזר בכך כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגרנז'. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": אפשר לחלק כל ${\displaystyle x}$ בכל ${\displaystyle y}$ בכל עם שארית r המקיימת ${\displaystyle |r|\leq |y|}$.

אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל- ${\displaystyle \ \mathbb {Q} _{2}}$ ו- ${\displaystyle \ \mathbb {R} }$.

מדיה וקבצים בנושא אלגברת הקווטרניונים של המילטון בוויקישיתוף

• אלגברת הקווטרניונים של המילטון, באתר MathWorld (באנגלית)
• אלגברת הקווטרניונים של המילטון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• קווטרניונים, דף שער בספרייה הלאומית

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (מערכת פאנו) • חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (מספר רציונלי, מספר אי-רציונלי) • שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב, מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]}$ • חוג השלמים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Z} }}}$ • חוג השלמים של אייזנשטיין ${\displaystyle \ \mathbb {Z} [\omega ]}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים הניתנים לבנייה • שדה המספרים האלגבריים ${\displaystyle \ {\overline {\mathbb {Q} }}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת קווטרניונים (אלגברת הקווטרניונים של המילטון ${\displaystyle \ {\mathbb {H} }}$) • אלגברת אוקטוניונים (אלגברת האוקטוניונים של קיילי ${\displaystyle \ {\mathbb {O} }}$) • אלגברות קיילי-דיקסון

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

מקרא שדה. חוג קמוטטיבי עם יחידה. חוג עם חילוק. מבנה כללי יותר. קבוצה סופית קבוצה בת מניה קבוצה מעוצמת הרצף מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה שיכון העתקה על איזומורפיזם לא קנוני. חלק בתרשים שקיים רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים ${\displaystyle K}$). ללא ההעתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.             אלגברות קיילי-דיקסון אלגברות קיילי-דיקסון                           ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$               ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$   הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים                                                                                                                                              ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} (t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$   ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$           ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$                                                                                                              ${\displaystyle {\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}}$                                                                         ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$     ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$     ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$             ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$                               ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}}$     ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$                                                       ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$                 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$       ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$   ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$                                                               ${\displaystyle K}$[1] ${\displaystyle K}$[1]     ${\displaystyle _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$   ${\displaystyle _{\nu }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle :=}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle _{\nu }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle :=}$${\displaystyle F}$   ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$                                               שדה מקומי ממאפיין חיובי ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ שדה מקומי ממאפיין חיובי ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$                     ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$       ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}}$   ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{F}}}$ ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{F}}}$   ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$     ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$   שדה המספרים הסוריאליסטיים שדה המספרים הסוריאליסטיים                                         ${\displaystyle {}_{real}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} (t)}}}$ ${\displaystyle {}_{real}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$                                                                                                                 ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$     ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$     ${\displaystyle _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} }$   ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$       ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$     ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$                                                                               ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$     ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$     ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$   ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$     ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$     ${\displaystyle [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$                           מספרים סודרים מספרים סודרים             ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {N} }$[2] ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {N} }$[2]     ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$     × × €4.95 / month Favourites List Audio Listining Color Mode Monthly New Updates Fullname * Email * Credit or debit card Subscribe A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 68 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 68 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once "> Subscribe Now × €4.95 € 9.90 / Modal title × Close Save changes × אלגברת_הקווטרניונים_של_המילטון" id="cancelSubscription" name="cancelSubscription" class="mb-0"> A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: user_membership Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_modal.php Line Number: 192 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 192 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: userid Filename: user/popup_modal.php Line Number: 208 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_modal.php Line: 208 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 478 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once "> Harry Potter Books × A PHP Error was encountered Severity: Notice Message: Undefined variable: products Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once A PHP Error was encountered Severity: Warning Message: Invalid argument supplied for foreach() Filename: user/popup_harry_book.php Line Number: 24 Backtrace: File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/user/popup_harry_book.php Line: 24 Function: _error_handler File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/views/page/index.php Line: 479 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/application/controllers/Main.php Line: 107 Function: view File: /var/www/wikizero/data/www/wikizero.com/index.php Line: 315 Function: require_once