تكامل سطح

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

التكامل السطحي في علم الرياضيات هو تكامل محدود مأخوذ على سطح جسم، يمكن النظر اليه كتكامل ثنائي تماثلي للتكامل الخطي.^[1][2][3] للتكامل الخطي تطبيقات عدة خاصة في مجال الكهرومغناطيسيات.

لنعتبر السطح S والذي عليه يعرف عليه مجال قياسي f. لو تخيلنا السطح S قد صنع من مادة ما، ولكل نقطة x فيه تكون قيمة f(x) هي كثافة المادة عند x, وعليه يكون التكامل السطحي لـf على السطح S هو كتلة المادة لكل وحدة سماكة من S,بالطبع شريطة أن يكون السمك متناهي في النحافة. تكمن إحدى الطرق في حساب التكامل السطحي بأن يتم تقسيم السطح إلى قطع صغيرة جدا بحيث يمكن فرض كل قطعة صغيرة ثابتة الكثافة ومن ثم تحسب الكتلة لوحدة السماكة في كل قطعة بضرب الكثافة بمساحة القطعة، وأخيرا تجمع القيم للحصول على الكتلة الكلية.

لإيجاد صيغة واضحة للتكامل السطحي ينبغي التفكير في نظام إحداثيات مناسب تماما مثل نظام احداثيات الطول والعرض على الكرة. ليكن نظام الاحداثيات المختار هو x(s, t), حيث (s, t) متغيرة في منطقة ما T في الاحداثيات الكارتيزية. حينئذ يعطى التكامل السطحي بالعلاقة:

${\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}$

حيث ان التعبير بين العمودين على اليمين هو قيمة الضرب المتجهي للمشتقات الجزئية من x(s, t).

ولو رغبنا بحساب المساحة السطحية لجسم ذي دالة مثلا ${\displaystyle z=f\,(x,y)}$, فلدينا

${\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right|dx\,dy}$

حيث ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$. وعليه, ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$, و${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$. أي,

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}$

وهي الصيغة الشهيرة التي نستخدمها لإيجاد المساحة السطحية لجسم له دالة. لاحظ أن الصيغ السابقة يعمل بها في الاسطح ثلاثية الأبعاد فقط بسبب وجود الضرب المتجهي.

ليكن المجال المتجة v على S, بمعنى أنه لكل x في S, يكون (v(x متجه. تصور أن لدينا مائع يمر خلال S, بحيث يكون v(x) تعطينا سرعة المائع عند x. يعرف الفيض على أنه كمية المائع المار في S بكمية وحدة زمنية.

يقتضي التوضيح أنه إذا كان المجال المتجه مماسا لـS عند كل نقطة، يصبح الفيض صفرا، لأن المائع يسري بشكل موازي لـ S, وليس داخلا ولا خارجا. وكذلك يقتضي أنه لوكان v يسري بشكل مائل (مماسي وعمودي) فإن المركبة العمودية فقط هي التي تشارك في الفيض. ولإيجاد الفيض بناء على هذا السبب، يجب أن نأخذ الضرب القياسي لـv مع وحدة العمودي على السطح لـS عند كل نقطة، والتي ستعطينا مجال قياسي، ونكامل المجال المحصل كما في الأعلى. نجد الصيغة:

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint _{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt.}$

الضرب المتجهي على الطرف الأيمن من التعبير هو العمودي على السطح بعد نقل الاحداثيات.

تعرف هذه الصيغة بأنها تكامل مجال المتجه v على S.

• تكامل حجمي