قاعدة شبه المنحرف

في الرياضيات، قاعدة شبة المنحرف (بالإنكليزية: Trapezoidal rule) هي إحدى طرق الحساب التقريبي للتكامل المحدد.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

تعمل قاعدة شبه المنحرف بتقريب المنطقة تحت منحنى الدالة ${\displaystyle f(x)\,}$ بشبه منحرف وحساب مساحته. ينجم عن ذلك

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

لحساب التكامل بدقة أفضل، يمكن فصل فترة التكامل ${\displaystyle [a,b]}$ أولا إلىn فترات أصغر، ومن ثم تطبيق قاعدة شبه المنحرف على كل فترة. يمكن تحصيل قاعدة شبه المنحرف المركب:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right].}$

ويمكن صياغة هذا بشكل اخر:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)}$

حيث

${\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}},{\text{ for }}k=0,1,\dots ,n}$

يعرف الخطأ في قاعدة شبه المنحرف بأنه الفرق بين قيمة التكامل والقيمة العددية:

${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{n}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right].}$

يمكن كتابة هذا الخطأ بالشكل

${\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{2}}}f''(\xi ),}$

حيثξ عدد ما بين a وb.^[1]

يعطى تخمين الخطأ المقارب لـ n → ∞ بالعلاقة

${\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12n^{2}}}{\big (}f'(b)-f'(a){\big )}+O(n^{-3}).}$ ^[2]

الحدود الأخرى لهذا الخطأ يمكن إيجادها من صيغة مجموع أويلر-ماكلورين.

مثال على قاعدة شبه المنحرف مكتوب بلغة البايثون

#!/usr/bin/env python  def trapezoidal_rule(f, a, b, N):     """Approximate the definite integral of f from a to b by the     composite trapezoidal rule, using N subintervals"""     return (b-a) * (f(a)/2 + f(b)/2 + sum([f(a + (b-a)*k/N) for k in range(1,N)])) / N  #test print trapezoidal_rule(lambda x:x**9, 0.0, 10.0, 100000) 

• طريقة المستطيل
• قاعدة سمبسون
• صيغ نيوتن-كوت
• مجموع ريمان

• Atkinson، Kendall A. (1989)، An Introduction to Numerical Analysis (ط. 2nd)، New York: جون وايلي وأولاده، ISBN:978-0-471-50023-0.
• Burden، Richard L. (2000)، Numerical Analysis (ط. 7th Ed.)، Brooks/Cole، ISBN:0-534-38216-9 {{استشهاد}}: |طبعة= يحتوي على نص زائد (مساعدة) والوسيط author-name-list parameters تكرر أكثر من مرة (مساعدة).

في كومنز صور وملفات عن Trapezium rule.