قاعدة لايبنيز العامة

جزء من سلسلة مقالات حول
التفاضل والتكامل
* المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة مبرهنة رول تفاضل وتكامل كسري
حساب التفاضل مشتق مشتق ثاني حساب المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد قاعدة القوة قاعدة الضرب قاعدة ناتج القسمة قاعدة التسلسل قاعدة لايبنتز للتكامل
حساب التكامل تكامل قائمة التكاملات تكاملات معتلة تكامل ريمان تكامل متعدد التكامل بواسطة التجزئة الأقراص الطبقات الأسطوانية التعويض التعويضات المثلثية الكسور الجزئية تغيير الرتب
حساب المتسلسلات متسلسلة هندسية (حسابية هندسية) متسلسلة متناسقة متسلسلة متناوبة متسلسلة قوى متسلسلة ذو الحدين متسلسلة تايلور اختبارات التقارب اختبار الحد النوني اختبار النسبة اختبار الجذر اختبار التكامل للتقارب اختبار المقارنة اختبار مقارنة النهاية اختبار متسلسلة متناوبة اختبار التكثف لكوشي اختبار دركليه اختبار أبيل
حساب المتجهات تدرج تباعد دوران لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس (مبرهنة الدوران) مبرهنة التباعد مبرهنة ستوكس المعممة
حساب متعدد المتغيرات حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
بوابة رياضيات
ع ن ت

في علم التفاضل والتكامل تعمل قاعدة لايبنيز العامة^[1] - والتي أعطيت اسمها تيمنًا بمؤسسها غوتفريد لايبنتس - على تعميم قاعدة الضرب (والتي تُعرف أيضًا باسم "قاعدة لايبنيز"). حيث تلعب مشتقات الاقترانات دورًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتها. على وجه الخصوص، ويمكن استخدامها لدراسة هندسة المنحنيات، وإيجاد القيم المُثلى للاقترانات، وصياغة المعادلات التفاضلية التي توفر نماذج رياضية في مجالات عدة، مثل: الفيزياء، والكيمياء، والبيولوجيا، والتمويل. ^[2]

وتنص القاعدة على أنه إذا كان كل من ${\displaystyle f}$ و${\displaystyle g}$ اقترانات قابلة للاشتقاق مرفوعة بقوة ${\displaystyle n}$ فإن الناتج ${\displaystyle fg}$ هو أيضًا مرفوع بقوة ${\displaystyle n}$، ومشتقته الـ${\displaystyle n}$ فإنها تُعطَى بالشكل التالي:

${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}$

حيث ${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ تعد المعامل الثنائي و ${\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}$.

يمكن برهنة هذا من خلال قاعدة الضرب والاستقراء الرياضي (انظر البرهان أسفله).

ظهرت فكرة المشتقة لأول مرة من المحامي والرياضي الشهير بيير دي فيرما (1601–1665) لحل العديد من المسائل، مثل: العثور على المماس لمنحنى عند نقطة. وبحلول عام 1670 وما بعده، أسس إسحق نيوتن (1642–1727) وغوتفريد لايبنيز (1646–1716) لعلم التفاضل والتكامل الحديث، وذلك بإدخال المفاهيم العامة للتفاضل والتكامل وآلية حساب كل منهما، خصوصًا أن كل منهما يعدّ عملية معكوسة للأخرى، كما تم وضع نظام ترميز سهل ومبسط لكل منهما وما زال العمل به جاريًا حتى وقتنا الحالي.

في علم التفاضل والتكامل، يمكن تعميم مشتقة حاصل الجمع، الضرب، والاقترانات المركبة أو ما يعرف بقاعدة "السلسلة"، بشكل جيد ومن أي رتبة ${\displaystyle n}$ من المشتقات. مشتقة حاصل جمع اقترانين هي الأسهل، حيث إنّ مشتقة ${\displaystyle f+g}$ من أي رتبة ${\displaystyle n}$ هي ببساطة حاصل جمع المشتقات من نفس الرتبة، ${\textstyle f(n)+g(n)}$. قاعدة لايبنيز العامة، عبارة عن تعميم للمشتقة من الرتبة ${\displaystyle n}$ لحاصل ضرب اقترانين، وتنص على أنه إذا كان كل من الاقترانين ${\displaystyle f(x)}$ و ${\displaystyle g(x)}$ قابلًا للاشتقاق ${\displaystyle n}$ من المرات، فإن حاصل ضربهما ${\displaystyle fg}$ عبارة عن اقتران قابل للاشتقاق أيضًا من المرات، ومشتقته من الرتبة ${\displaystyle n}$ تُعطى بالعلاقة:

$${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}$$

حيث ${\textstyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$ هو معامل ذات الحدّين، و ${\textstyle f^{(0)}(x)=f(x)}$. فعلى سبيل المثال، فإن المشتقة الأولى لحاصل الضرب ${\displaystyle fg}$ تُعطى بالعلاقة:

$${\displaystyle (fg)'(x)=\sum \limits _{k=0}^{1}{{1 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(1-k)}(x)}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)}$$

يمكن حساب المشتقة الثانية للاقتران ${\displaystyle f(x)}$ إذا عُلمت مشتقته الأولى ${\displaystyle f'(x)}$ وذلك باشتقاق المشتقة الأولى للاقتران ${\displaystyle f(x)}$ مرة ثانية، أي أن:

$${\displaystyle (f)''(x)={\frac {d}{dx}}(f'(x))}$$

بما أن:

$${\displaystyle (fg)'=f'g+g'f}$$فإن:$${\displaystyle (fg)''={\frac {d}{dx}}((fg)'')={\frac {d}{dx}}(f'g+g'f)={\frac {d}{dx}}(f'g)+{\frac {d}{dx}}(g'f)=(f''g+f'g')+(g''f+f'g')=f''+2f'g'+g''}$$

وبتطبيق قاعدة لايبنيز نجد أن:$${\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{2 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(2-k)}(x)}={2 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(2)}(x)+{2 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(1)}(x)+{2 \choose 2}f^{(2)}(x)g^{(0)}(x)=g''(x)+2f'(x)g'(x)+f''(x)}$$

يمكن برهان قاعدة لايبنيز باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي. لتكن: $${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$$

القاعدة صحيحة عندما ${\displaystyle m=1}$ وذلك لأن:

${\displaystyle (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$

و

${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$

نفترض أن قاعدة: ${\textstyle (fg)^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)}$ صحيحة لأي عدد صحيح ${\displaystyle m\geq 1}$

المطلوب الآن برهان صحة العلاقة لمشتقة من الرتبة ${\displaystyle (m+1)}$، وهذا يتم على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(m+1)}(x)&={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\sum _{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)\\&=\sum _{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)+\sum _{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\&=\sum _{k=1}^{m+1}{{m} \choose {k-1}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+\sum _{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\&={{m} \choose {m}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum _{k=1}^{m}{{m} \choose {k-1}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+\sum _{k=1}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m} \choose {0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\&={{m} \choose {m}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum _{k=1}^{m}\left[{{m} \choose {k-1}}+{{m} \choose {k}}\right]f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m} \choose {0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\&={{m+1} \choose {m+1}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum _{k=1}^{m}{{m+1} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m+1} \choose {0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\&=\sum _{k=0}^{m+1}{{m+1} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x).\end{aligned}}}$

لتكن ${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}}$ مجموعة من الاقترانات القابلة للاشتقاق ${\displaystyle n}$ من المرات، فإن حاصل الضرب ${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}}$ قابل للاشتقاق ${\displaystyle n}$ من المرات، كذلك:

$${\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,}$$حيث: ${\textstyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

فعلى سبيل المثال، المشتقة الثانية للاقتران g(x)=xexsin x ${\displaystyle g(x)=xe^{x}sin(x)}$ يمكن حسابها باستخدام تعميم قاعدة لايبنيز كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(xe^{x}sin(x))=\\&({\frac {2}{2.0.0}})x^{(2)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{0.2.0}}x^{(0)}e^{x^{(2)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{0.0.2}}x^{(0)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(2)}+\\&{\frac {2}{1.1.0}}x^{(1)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{1.0.1}}x^{(1)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(1)}+{\frac {2}{0.1.1}}x^{(0)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(1)}\\&\\&=0+xe^{x}sinx-xe^{x}sinx+2xe^{x}sinx+2xe^{x}cosx+2xe^{x}cosx\\&\\&=2e^{x}[sinx+(1+x)cosx]\end{aligned}}}$$