دائرة

في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ، الدَّائرَة هي شكلٌ هَندَسيٌّ مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها المحلُّ الهندسيُّ لنقاطِ تقع على سطح مُستوٍ وتَبعدُ بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما.^{[ملاحظة 1][ِ 1][ِ 2][ِ 3]} تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ مُحيط الدائرةِ أو «المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى مركزَ الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، والقطرُ هو قِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها قطعٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أو قطع مخروطي مُنعدِمُ الاختلافِ المركزيّ؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ قطعٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع المخروط مع مستوىً مُوازٍ لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها مُضلَّعاً مُنتظماً لانهائي الأضلاع.^{[ِ 4][1][2]}

ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي ${\displaystyle \pi }$ أو ط. وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة ${\displaystyle \pi }$ عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين^[3] وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك.^[4] قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة ${\displaystyle \pi }$ بدقةٍ عاليةٍ.^[5] وحَاولَ المَصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مساحةُ الدائرةِ بضرب ${\displaystyle \pi }$ في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.^[6]

وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.^[7][8]

تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية والفنون والأديان والثقافات.^{[9][ِ 5]} تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».^[10][11] تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.^[12]

القُطوعُ المخروطيَّةُ

هذه المقالةُ جزءٌ من سلسلةِ القطوع المخروطية
قطع مكافئ
المعادلة	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$
الانحراف المركزي(${\displaystyle e}$)	${\displaystyle 1\,}$
البعد البؤري(${\displaystyle l}$)	${\displaystyle 2a\,}$
قطع زائد
المعادلة	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e}$)	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$
البعد البؤري(${\displaystyle l}$)	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$
قطع ناقص
المعادلة	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e}$)	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$
البعد البؤري (${\displaystyle l}$)	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$
دائرة (حالة خاصة من القطع الناقص)
المعادلة	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e}$)	${\displaystyle 0}$
البعد البؤري (${\displaystyle l}$)	${\displaystyle a}$
• • •
ع ن ت

تتضمن هذه المقالة محارف خاصة. من غير تصيير مناسب، قد تظهر علامات استفهام أو صناديقَ أو رموزٌ أخرى.

مصطلحات أساسية[عدل]

هذهِ المقالةُ مُدَعَّمةٌ بِصوَرٍ ورُسومٍ تَوضِيحيةٍ تُرافِقُ بعضَ التَّعاريفِ والمُعادلاتِ الرِِّياضيَّة. فضلاً، تأكَّد من ظُهورِ الصوَرِ.

يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة ${\displaystyle O}$ ونصف قطرها ${\displaystyle r}$^{[ملاحظة 2]} رياضيَّاً بالرموز: «${\displaystyle C(O,r)}$» و«${\displaystyle \odot C}$» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة ${\displaystyle O}$» للإشارة إليها.^{[ِ 2]} ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «د»^{[ِ 4]}

جدول مصطلحات الدائرة الأساسية^{[13][ِ 4][ِ 2]}

المصطلح	التّعريف	الترميز العربي	التّرميز اللاتيني	ملاحظة
مركز	نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.	م	${\displaystyle O}$ أو ${\displaystyle M}$	[ملاحظة 3]
محيط	مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.	مح	${\displaystyle C_{O}}$	[ملاحظة 4]
مساحة	منطقة السطح المحصور بمحيط الدَّائرة.	م	${\displaystyle A}$	[ملاحظة 5]
نصف قطر	أو الشعاع: قطعة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.	نق	${\displaystyle r}$	[ملاحظة 6]
وتر	قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.
قطر	وتر مار بمركز الدائرة.	ق	${\displaystyle d}$	[ملاحظة 7]

جدول مصطلحات قِطَع وجُزئيّات الدائرة^{[13][ِ 4][ِ 2]}

الجزء	التّعريف	الرمز	صورة
قوس	جزء متّصل من محيط الدائرة.	︵
قطاع	مساحة منحصرة بين نصفي قطر وقوسٍ واصلٌ بينهما.	⌔
قطعة	مساحة منحصرة بين وتر وقوسٍ يحصره.	⌓
قرص	مساحة تحصرها دائرة.
نصف قرص	مساحة منحصرة بين قطر وقوسٍ يحصره.[ملاحظة 8]

التعريف[عدل]

تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو صنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: «دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إن الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه...». يضيف ابن منظور: «والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، يقال: عليهم دائرة السوء... والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة...».^{[14][ِ 6]} وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle)‏ إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».^[15]

وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى واحد تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى.^{[ملاحظة 9]} وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة^[16]، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.^[1][17]

تعريف إقليدس[عدل]

عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:^{[ِ 4]}

الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ القطعِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:^[18]

تعريف أبولونيوس[عدل]

أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ ${\displaystyle A,B}$ نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها ${\displaystyle A,B}$ هي المحل الهندسي لجميع النقاط ${\displaystyle P}$ التي تُحقِّقُ أنَّ:^[19][20][21]

النسبة التبادلية لدائرة

تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين ${\displaystyle {\overline {AC}},{\overline {BD}}}$ أو لرباعية النقاط ${\displaystyle A,B,C,D}$ المتسامتة على الترتيب: ${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$ حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: ${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.}$. إذا كانت النقاط ${\displaystyle A,C,B}$ مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط ${\displaystyle P}$ التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.${\displaystyle |[A,B;C,P]|=1.\ }$. بمعنىً آخر: ${\displaystyle P}$ هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط ${\displaystyle A,C,B}$ إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية ${\displaystyle [A,B;C,P]}$ مساوياً للواحد.^[22][23][24]

تُعرّفُ النقطة ${\displaystyle D}$ على أنّها المرافق التوافقي للنقطة ${\displaystyle C}$ بالنسبة لـ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي ${\displaystyle -1}$. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.^[25] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.^[25] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط ${\displaystyle {\overleftrightarrow {PA}},{\overleftrightarrow {PB}},{\overleftrightarrow {PC}},{\overleftrightarrow {PD}}}$ «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي ${\displaystyle -1}$). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها ${\displaystyle P}$ يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.^[26]

تعريف الدائرة المعممة[عدل]

في حال ما كانت ${\displaystyle C}$ منتصف القطعة ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط ${\displaystyle P}$ التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم.^[27][28] هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.^[29][30]

تأويل لانهائي[عدل]

بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius)‏^{[ملاحظة 10]} يُرمز إليه بالرمز ${\displaystyle r}$ أو نصف قطر محيطي (بالإنجليزية: Circumradius)‏^{[ملاحظة 11]} يُرمز إليه بالرمز ${\displaystyle R}$ باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية:^[31]

والمساحة، عبر العلاقة:^[31]والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.^[31]

الدائرة بوصفها حالة حدية[عدل]

تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر.^[32] البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$ حيث أنَّ ${\displaystyle n,a,b}$ أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه ${\displaystyle a=b}$. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما ${\displaystyle n=2}$.^[33]

القطوع المخروطية[عدل]

تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر (${\displaystyle e=0}$) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.^[31]

استيفاء المساحة[عدل]

تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.^[34]

ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.^[35]

بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.^[35]

غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:^[35][36]

وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع ${\displaystyle R}$ هو ${\displaystyle \pi R^{2}}$ ومُحيطُ الدائرةِ هو ${\displaystyle 2\pi r}$ بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز.^[35] لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:^[35]

تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ ${\displaystyle Q\leq 1}$ بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط${\displaystyle {\frac {L^{2}}{A}}}$ هي على الأقل ${\displaystyle 4\pi }$ لكل منحنى.^[36] أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:^[36] ${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.}$. إذا كان ${\displaystyle C}$ منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:^[35]

حيث أن ${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$ ترمز إلى طول ${\displaystyle C}$ والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان ${\displaystyle C}$ منحنى ثابت العرض.^[35]

دوائر بإعادة تعريف المسافة[عدل]

تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-${\displaystyle p}$ (بالإنجليزية: p-norm)‏، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:^[37][38]

بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون ${\displaystyle p=2}$، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:^[37][38]

في هندسة سيارة الأجرة، تكون ${\displaystyle p=2}$. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع ${\displaystyle r}$ في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع ${\displaystyle 2r}$. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.^[37][38]

النَّتائِجُ التَّحليليَّة[عدل]

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة ${\displaystyle r={\frac {d}{2}}}$. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر^{[ملاحظة 12]} يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.^{[ِ 2][ِ 7][39]} وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.^[40]

المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة ${\displaystyle \pi }$[عدل]

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
الاستعمالات مساحة القرص المحيط صيغ أخرى
الخواص لا نسبية عدد متسام
القيمة تقريبات تذكّر أقل من 22/7
أشخاص أرشميدس ليو هوي زو تشونغزي أريابهاتا مادهافا السنغماراي لودولف فان ساولن سيكي تاكاكازو تاكيبي كينكو ويليام جونز جون ماكن ويليام شانكس جون رنش الإخوان شودنوفسكي ياسوماسا كانادا
تاريخ تسلسل زمني كتاب
متعلقات متعلقات: تربيع الدائرة معضلة بازل نقطة فينمان أخرى
بوابة هندسة رياضية
ع ن ت

يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها.^{[ملاحظة 13]} ويُرمز لهذه النسبة بـ«${\displaystyle \pi }$»^{[ملاحظة 14]} أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة ${\displaystyle \pi }$ وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:^{[ِ 7][ِ 4]}

في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة ${\displaystyle \pi }$، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة ${\displaystyle \pi }$:^[41]

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}\approx 3.14}$$

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$$

على الرغم من تعريف ${\displaystyle {\pi }}$ الأساسي على أنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى ${\displaystyle {\pi }}$ تعريفاتٍ متكافئة أخرى تظهر في العديد من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني ${\displaystyle {\pi }}$ منذ منتصف القرن الثامن عشر. على الرغم من أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى أيضاً ثابت أرخميدس. بسبب كونه عدداً غير نسبي، ${\displaystyle {\pi }}$ لا يمكن التعبير عنه ككسر، أي لا يمكن كتابته على صورة ${\displaystyle a/b}$. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستخدم عادة لتقريب ${\displaystyle {\pi }}$. كما أن ${\displaystyle {\pi }}$ عدد متسامٍ؛ بمعنى أنه ليس جذراً لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه الخاصيَّة حلت المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة.^[42][43] في القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة، عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسعت التمثيل العشري لـ${\displaystyle {\pi }}$ إلى العديد من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية.^[44][45] تعلق الثابت ${\displaystyle {\pi }}$ بالدائرة، جعله يوجد في العديد من الصيغ في علم المثلثات والهندسة، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، والقطوع الناقصة، ومجالات التحليل الرياضي.

المِساحَةُ[عدل]

تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ ${\displaystyle \pi }$. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه ${\displaystyle \pi r}$ وعَرْضُه ${\displaystyle r}$. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:^{[ِ 7]}

$${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r\cdot r=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2}}$$

الأقْواسُ[عدل]

يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ ${\displaystyle 360^{\circ }}$. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:^{[ِ 2]}

الدرجة	الراديان
يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه ${\displaystyle {\frac {1}{360}}}$من قياس الدائرة كاملةً.	يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية ${\displaystyle r}$.

كانت ${\displaystyle A,B}$ نقطتين مختلفتين على الدائرة ${\displaystyle C(O,r)}$ فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$، وقوس أكبر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ أحياناً بالرمز ${\displaystyle {\widehat {ACB}}}$ عِوَضاً عن ذكر «${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية ${\displaystyle \angle AOB}$ الداخلية^{[ملاحظة 15]} ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين ${\displaystyle A,B}$ على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن ${\displaystyle 180^{\circ }}$. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية ${\displaystyle \angle AOB}$ المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين ${\displaystyle A,B}$ على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن ${\displaystyle 180^{\circ }}$. تُسمَّى النقطتان ${\displaystyle A,B}$ طرفا القوس ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ أو طرفا الوتر ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ ${\displaystyle A,B}$ نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.^{[ِ 2]}

إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي ${\displaystyle \ell }$، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.^[13][46]

القوس الأصغر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$	القوس الأكبر ${\displaystyle {\widehat {AB}}}$ (أو اختصاراً ${\displaystyle {\widehat {ACB}}}$)	نصف الدَّائرة ${\displaystyle {\widehat {ADB}}}$

القطع والجزئيات[عدل]

القرص[عدل]

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:^{[ِ 2]}${\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}\leq r\right\}}$.

القطاع[عدل]

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.^{[ِ 7][47]}

تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى ${\displaystyle 360^{\circ }}$ مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة ${\displaystyle 100\%}$.^[48]

الزوايا[عدل]

تصنيفات الزوايا المتعلقة بالدائرة حسب موقع رأسها:^{[ِ 3][20][49][13]}

الزاوية	التّعريف	موقع رأس الزَّاوية	قياس الزَّاوية	ملاحظة
زاوية مركزية	زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ${\displaystyle v}$	مركز الدَّائرة	قياس القوس المقابل	[ملاحظة 16]
زاوية محيطية	زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط	محيط الدَّائرة	نصف قياس القوس المقابل	[ملاحظة 17]
زاوية مماسية	زاوية محصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس	محيط الدائرة	نصف قياس القوس المَحصُور.	[ملاحظة 18]
زاوية خارجة	زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة	محيط الدائرة	قياس الزاوية المقابلة لها من الرباعي.
زاوية داخلية	زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة	داخل الدَّائرة	نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس
زاوية خارجيَّة	زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة	خارج الدَّائرة	نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها

حالات الزاوية المحيطية بالنسبة لضلعي الزاوية المركزية^{[49][ِ 3][13][20][ِ 8]}

الحالة الأولى	الحالة الثَّانية	الحالة الثَّالثة	مبرهنةُ طالس (حالة خاصَّة)
يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ.	يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ.	يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة.	الزَّاويةُ المُحيطيةُ زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ.

جزء من سلسلة مقالات حول
الزوايا
وفق القياس زاوية مُنعدمة زاوية حادة زاوية قائمة زاوية منفرجة زاوية مستقيمة زاوية منعكسة
وفق العلاقات البينية زاويتان متجاورتان. زاويتان متتامتان. زاويتان متكاملتان. زاويتان متقابلتان بالرأس.
الناتجة عن قاطع زوايا داخلية زوايا خارجية زوايا متبادلة داخلياً زوايا متبادلة خارجياً زوايا متحالفة زوايا متناظرة
قياس الزوايا درجة راديان
بوابة هندسة رياضية
ع ن ت

المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.^{[49][ِ 3][ِ 8]}

النقاط[عدل]

النِّقاطُ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ.	النقطتانِ ${\displaystyle P,P'}$ نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً.

هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:^{[ِ 2][ِ 1]}

التصنيف	التعريف	الترميز	مراجع
نقطة داخلية	نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر.	${\displaystyle Int~C(O,r)}$	[ملاحظة 19]
نقطة مُحيطيَّة	نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر.	${\displaystyle C(O,r)}$
نقطة خارجيَّة	نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر.	${\displaystyle Ext~C(O,r)}$	[ملاحظة 20]
نقطتان متقابلتان	أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة	${\displaystyle P,P'}$

إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها ${\displaystyle O}$ والنقطة المتغيِّرةُ ${\displaystyle P}$، فإنَّ مجموعة نقاط ${\displaystyle P}$ في المستوى ${\displaystyle E}$ تُعرَّف على أنَّها:^{[ِ 1][ِ 2][39]}

تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.^{[ِ 2]}

يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.^{[ِ 2]}

قوة النقطة[عدل]

تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة ${\displaystyle P}$ بالنسبة للدائرة ${\displaystyle C(O,r)}$ هي المقدار:${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=OP^{2}-r^{2}}$. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ ${\displaystyle P}$ تكونُ مقداراً سالباً عندما ${\displaystyle OP<r}$ أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)}$ هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)}$.^{[ِ 8][50][51]}

كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن ${\displaystyle T}$ نقطة تماس المماس الخارج من ${\displaystyle P}$ إلى الدائرة ${\displaystyle O}$. من مبرهنة التعامد: ${\displaystyle OT\perp PT}$، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: ${\displaystyle \triangle OTP}$، فإنَّ ${\displaystyle OT^{2}+PT^{2}=OP^{2}}$ أو بشكلٍ مكافئ:${\displaystyle OP^{2}-OT^{2}=PT^{2}=OP^{2}-r^{2}}$.^{[ِ 8][ِ 3]}

نظريات قوة النُّقطة^{[ِ 3][49][ِ 8]}

الاسم	الصيغة الرياضية	النص
مبرهنة قِطَع الوتر	${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=P_{1}B\cdot P_{1}D=P_{1}A\cdot P_{1}C}$	إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
مبرهنة القاطع	${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=P_{2}X\cdot P_{2}Y=P_{2}Z\cdot P_{2}W}$	إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
مبرهنة قاطعُ التَّماسِ	${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=PT^{2}=PA\cdot PB}$	إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة.[52]

مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.	مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.

أزواج الدوائر[عدل]

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائِرِ حَسب بُعدِها عن بعضها^{[20][ِ 2][53]}

دائرتان متباعدتان		دائرتان متماستان		دائرتان متقاطعتان
دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ		دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ		أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان.
		خارجيَّاً	داخليَّاً
		دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى	دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى

الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار ${\displaystyle r_{1}}$ نصف قطر الدائرة الأولى و${\displaystyle r_{2}}$ نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم ${\displaystyle \ell }$ الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:^[54]

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائرِ حَسب مَرَاكِزِها وَأنْصافِ أقْطارِها^{[ِ 3][55]}

الدائرتان المُتعامدتان: في الهندسة التعاكسية، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما.	الدائرتان المتطابقتان: دائرتان لهما نصف القطر نفسه.	الدائرتان متحدتا المركز أو في الهندسة التعاكسية: الدائرتان المتوازيتان هما دائرتان يشتركان في المركز نفسه.	الدائرتان المنطبقتان: دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.

الدائرتان متحدتا المركز: ${\displaystyle \odot O}$ التي نصف قطرها ${\displaystyle {\overline {OA}}}$ و${\displaystyle \odot O}$ التي نصف قطرها ${\displaystyle {\overline {OB}}}$ دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: ${\displaystyle \odot O_{1}\cong \odot O_{2}\Leftrightarrow {\overline {O_{1}A}}\cong {\overline {O_{2}B}}}$.^{[ِ 2]}

أشكالٌ مُركَّبةٌ من دوائرَ^{[ِ 2][56]}

الحلقة: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز.	العدسة: تقاطع قرصين. الهلال: جزء الدائرة غير المتقاطع.	مثلث رولو: تقاطع 3 دوائر تمر كل منهم في مركز الأخرى	الأربيلوس: أنصاف دوائرَ تشترك في قاعدة ما

تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به ${\displaystyle \theta }$ بالراديان ونصف قطر الدائرتين ${\displaystyle R}$ بالصيغة الآتية:^[57][58]

بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.^[59][60]

الأوتار والمستقيمات[عدل]

تَصْنِيفُ المستقيمات في الدَّائرةِ حسْبَ عدد نقاط تقاطعها معها وبُعدِها عن مركزها^{[ِ 2]}

المستقيم	التعريف	رياضياً	ملاحظة
مستقيمٌ قاطِعٌ	مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )<r}$)	[ملاحظة 22]
مستقيمٌ مَاسٌّ	مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )=r}$)	[ملاحظة 23]
مستقيمٌ مَارٌّ	مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )>r}$)	[ملاحظة 22]
مستقيمٌ مُنَصِّفٌ	مستقيم يمر بمركز الدائرة.	مستقيم يمر بنقطة المركز، أو بُعدُه عن المركز معدومٌ. (${\displaystyle {\text{dist}}(O,\ell )=0}$)	[ملاحظة 22]

تَصنِيفُ المُستقيمَاتِ المُشتركة في دائرتين^{[ِ 3][ِ 2][53][55]}

المستقيم	التَّعريف	الترميز
خطُّ مركزين	مستقيم يصل بين مركزي دائرتين	${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$
وتر مُشترك	وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين	${\displaystyle {\overline {AB}}}$
مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ	أو مماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطعُ امتدادَ خَطِّ المَركزين.	${\displaystyle {\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}}}$
مماسٌ مشتركٌ داخليّ	أو مماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين.	${\displaystyle {\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}}}$
قطعة تماس	قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين	${\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}}$
محور أساسي	المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.	${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$

التناظر في الدائرة[عدل]

في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ ${\displaystyle O(2,R)}$. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة (${\displaystyle \mathbb {T} }$) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.^[61]

في الدائرة ذات المركز ${\displaystyle O}$ والوتر ${\displaystyle {\overline {AB}}}$، المثلث ${\displaystyle \triangle ABO}$ متطابق الضلعين. إذا كانت ${\displaystyle M}$ نقطة منتصف ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ فإنَّ ${\displaystyle \triangle AMO\cong \triangle BMO}$ من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ ${\displaystyle \angle AMO\cong \angle BMO}$