فجوة أولية

الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتابعين. الفجوة الأولية النونية، والمشار إليها ب${\displaystyle g_{n}}$ أو ${\displaystyle g(p_{n})}$ هي الفرق بين${\displaystyle p_{n}}$ و ${\displaystyle p_{n+1}}$، أي :

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$

لدينا ${\displaystyle g_{1}=1}$، و ${\displaystyle g_{3}=g_{2}=2}$،${\displaystyle g_{4}=4.}$ و تمت دراسة المتتالية (${\displaystyle g_{n}}$) على نطاق واسع ؛ ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة والحدسيات دون إجابة.

أول 60 فجوة أولية هي:

1، 2، 2، 4، 2، 4، 2، 4، 6، 2، 6، 4، 2، 4، 6، 6، 2، 6، 4، 2، 6، 4، 6، 8، 4، 2، 4، 2، 4، 14، 4، 6، 2، 10، 2، 6، 6، 4، 6، 6، 2، 10، 2، 4، 2، 12، 12، 4، 2، 4، 6، 2، 10، 6، 6، 6، 2، 6، 4، 2،...^[2]

من خلال التعريف الذي أعطيناه ل ${\displaystyle g_{n}}$، يمكن كتابة أي عدد أولي على الشكل الآتي :

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

أول وأصغر فجوة أولية هي بحجم 1، وهي فجوة بين 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد، و 3، أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأولية الأخرى هي زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية بحجم 2 : الفجوات ${\displaystyle g_{2}}$ و ${\displaystyle g_{3}}$ بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.

لأي عدد صحيح، العاملي، والذي يرمز له ب ${\displaystyle n!}$ هو ناتج ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر أو تساوي ${\displaystyle n}$. إذاً المتتالية :

${\displaystyle n!+2,n!+3,\ldots ,n!+n}$

العدد الأول في هذه المتتالية يقبل القسمة على 2، والعدد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا... وبالتالي، فهذه متتالية بحجم ${\displaystyle n-1}$ من الأعداد الصحيحة المؤلف المتتالية، وهذه ببساطة فجوة بين الأعداد الأولية، طولها ${\displaystyle n}$ على الأقل. ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة للغاية بشكل إستعباطي، أي أنه بالنسبة لأي عدد صحيح ${\displaystyle N}$، يوجد عدد صحيح موجب ${\displaystyle m}$ بحيث ${\displaystyle g_{m}\geq N}$.

ومع ذلك، يمكن أن تحدث الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية عند عدد أصغر بكثير من ${\displaystyle n!}$ على سبيل المثال، أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 تحدث بين الأعداد الأولية 523 و 541، في حين أن ${\displaystyle 15!}$ هو عدد كبير بشكل شاسع ${\displaystyle 1307674368000}$.

عادة ما يُطلق على النسبة ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$ «ميزة الفجوة ${\displaystyle g_{n}}$».

نقول أن ${\displaystyle g_{n}}$ هي فجوة قصوى، إذا وإذا كان فقط ${\displaystyle g_{m}<g_{n}}$ لكل ${\displaystyle m<n}$، في أغسطس 2018 وجد برتيل نيمان أكبر فجوة قصوى وتحتوي على 1550 رقم، تحدث هذه الفجوة بعد العدد الأولي 18361375334787046697.^[3] يمكن الإطلاع على فجوات قصوى أخرى في OEIS.

هذه قائمة الفجوات القصوى :

تنص مسلمة برنارد على أنه يوجد دائما عدد أولي بين ${\displaystyle k}$ و ${\displaystyle 2k}$، وهذا يعني أن ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$ وبالتالي ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

تم إثبات مبرهنة الأعداد الأولية عام 1852، والتي تنص على أن متوسط الفجوة بين عددين أوليين متتابعين هو تقريبا ${\displaystyle \ln x}$ بالنسبة لعدد كبير ${\displaystyle x}$. الفجوة الحقيقية قد تختلف عن هذه النتيجة ومع ذالك يمكن للمرئ أن يستنتج منها الآتي :

لكل ${\displaystyle \epsilon >0}$، يوجد عدد ${\displaystyle N}$، بحيث لكل ${\displaystyle n>N}$ لدينا :

${\displaystyle g_{n}<p_{n}\epsilon }$.

يمكن للمرء أيضًا أن يستنتج أن الفجوات تصبح أصغر بشكل استعباطي مقارنةً مع حجم الأعداد الأولية : فحاصل القسمة :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

في عام 2005 قام كل من دانيال غولدستون ويانوس بينتز وسيم يلدريم بإثبات الآتي :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

وبعد سنتين قاموا بتحسين هذه النتيجة إلى :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$

وفي عام 2013 أثبت يتانغ تشانغ أن هناك على الأقل فجوة الأولية بحجمٍ أقل من سبعين مليون، بحيث أنها تتكرر عدداً لانهائياً من المرات، أي أن :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7}}$

في عام 1931، قام إريك ويستزينثيوس بإثبات أن الفجوات الأولية القصوى تنموا بشكل أسرع من اللوغاريتمي، أي أن :

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت ${\displaystyle c>0}$، بحيث المتفاوتة الآتية :

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

صحيحة من أجل عدد لانهائي من قيم ${\displaystyle n}$، محسناً نتائج بول إيردوس و ويستزينثيوس، أثبت لاحقا أنه يمكن ل ${\displaystyle c<e^{\gamma }}$, بحيث ${\displaystyle \gamma }$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10000 دولار لإثبات أو دحض أن الثابت ${\displaystyle c}$ يمكن أن يكون كبيراً بشكل استعباطي. تم إثبات صحة ذلك في عام 2014 من طرف فورد-جرين-كونياجين-تاو، وبشكل مستقل، جيمس ماينارد^[4]، وتم تحسين النتيجة إلى^[5]

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

متأثراً بجائزة إيردوس الأصلية، عرض تيرنس تاو جائزة قدرها 10000 دولار أمريكي لمن أثبت أن ${\displaystyle c}$ يمكن أن يأخذ كبيراً بشكل استعباطي في هذه المتفاوتة.

يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة ${\displaystyle g_{n}}$ تستوفي المعادلة الآتية:

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n})}$

بحيث ترمز ${\displaystyle O}$ إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :

${\displaystyle g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).}$

تنص حدسية فيروزباخت على أن ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}}$ لكل ${\displaystyle n\geq 1}$

إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ تستوفي المتفاوتة ${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}}$ لكل ${\displaystyle n>4}$^[6] هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة ${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}}$ صحيحة لعدد لانهائي من ${\displaystyle n}$، لكل ${\displaystyle \varepsilon >0}$، بحيث ${\displaystyle \gamma }$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني. وفي الوقت نفسه ، حدسية أوبيرمان هي أضعف من حدسية كرامر. والتي تنص على أن حجم الفجوة الأولية هي في حدود :

${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}}$

إذا كانت حدسية أوبيرمان صحيحة ، فإنه يوجد ${\displaystyle m}$ (على الأرجح ${\displaystyle m=30}$) بحيث لكل ${\displaystyle n>m}$ لدينا ${\displaystyle g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}}$.

• عددان أوليان توأم
• عدد أولي.