Многочлены Лежандра Формула P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}} Скалярное произведение ( f , g ) = ∫ − 1 1 f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx}} Область определения [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,\;1]} Дифференциальное уравнение ( 1 − z 2 ) d 2 u d z 2 − 2 z d u d z + n ( n + 1 ) u = 0 {\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0} Норма ‖ P n ( x ) ‖ = 2 2 n + 1 {\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}} Названы в честь Лежандр, Адриен Мари
Многочлен Лежа́ндра — многочлен , который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического . Образует ортогональную систему многочленов на отрезке [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,\;1]} в пространстве L 2 {\displaystyle L^{2}} . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов { 1 , x , x 2 , x 3 , … } {\displaystyle \{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}} ортогонализацией Грама ― Шмидта .
Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра .
Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода[ править | править код ] Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
( 1 − z 2 ) d 2 u d z 2 − 2 z d u d z + n ( n + 1 ) u = 0 , {\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0,} (1)
где z {\displaystyle z} — комплексная переменная . Решения этого уравнения при целых n {\displaystyle n} имеют вид многочленов , называемых многочленами Лежандра . Полином Лежандра степени n {\displaystyle n} можно представить через формулу Родрига в виде[1]
P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n . {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.} Часто вместо z {\displaystyle z} записывают косинус полярного угла :
P n ( cos θ ) = 1 2 n n ! d n d ( cos θ ) n ( cos 2 θ − 1 ) n . {\displaystyle P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.} Уравнение (1 ) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения , называемого уравнением Лежандра
( 1 − z 2 ) d 2 u d z 2 − 2 z d u d z + [ ν ( ν + 1 ) − μ 2 1 − z 2 ] u = 0 , {\displaystyle (1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,} (2)
где μ {\displaystyle \mu } , ν {\displaystyle \nu } — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} (в частности, при действительных z {\displaystyle z} ) или когда действительная часть числа z {\displaystyle z} больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками) . Подстановка вида w = ( z 2 − 1 ) μ / 2 {\displaystyle w=(z^{2}-1)^{\mu /2}} в (2 ) даёт уравнение Гаусса , решение которого в области | 1 − z | < 2 {\displaystyle |1-z|<2} принимает вид
w = P ν μ ( z ) = 1 Γ ( 1 − μ ) ( z + 1 z − 1 ) μ / 2 F ( − ν , ν + 1 ; 1 − μ ; 1 2 − z 2 ) , {\displaystyle w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),} где F {\displaystyle F} — гипергеометрическая функция . Подстановка w = z 2 {\displaystyle w=z^{2}} в (2 ) приводит к решению вида
w = Q ν μ ( z ) = e μ i π 2 − ν − 1 π Γ ( ν + μ + 1 ) Γ ( ν + 3 / 2 ) z − ν − μ − 1 ( z 2 − 1 ) μ / 2 F ( ν 2 + μ 2 + 1 , ν 2 + μ 2 + 1 2 ; ν + 3 2 ; z − 2 ) , {\displaystyle w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),} определённым на | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} . Функции P ν μ ( z ) {\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)} и Q ν μ ( z ) {\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)} называют функциями Лежандра первого и второго рода .[2]
Справедливы соотношения[3]
P ν μ ( z ) = P − ν − 1 μ ( z ) {\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)} и
Q ν μ ( z ) sin π ( ν + μ ) − Q − ν − 1 μ ( z ) sin π ( ν − μ ) = π e i μ π cos ( ν π ) P ν μ ( z ) . {\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).} Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:
P n ( x ) = 1 2 n ∑ k = 0 E ( n / 2 ) ( − 1 ) k ( n k ) ( 2 n − 2 k n ) x n − 2 k . {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.} Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} )[4] :
P n + 1 ( x ) = 2 n + 1 n + 1 x P n ( x ) − n n + 1 P n − 1 ( x ) , {\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),} (3)
причём первые две функции имеют вид
P 0 ( x ) = 1 , {\displaystyle P_{0}(x)=1,} P 1 ( x ) = x . {\displaystyle P_{1}(x)=x.} Вычисляется по формуле[5]
P n ′ ( x ) = n 1 − x 2 [ P n − 1 ( x ) − x P n ( x ) ] . {\displaystyle P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].} (4)
Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5] :
x i ( k + 1 ) = x i ( k ) − P n ( x i ( k ) ) P n ′ ( x i ( k ) ) , {\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},} причём начальное приближение для i {\displaystyle i} -го корня ( i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n} ) берётся по формуле[5]
x i ( 0 ) = cos π ( 4 i − 1 ) 4 n + 2 . {\displaystyle x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.} Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x . Производную также можно вычислять для конкретного значения x , используя формулу для производной .
Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:
( 1 − 2 t x + t 2 ) − 1 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) t n {\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}} для | t | < min | x ± x 2 − 1 | , {\displaystyle |t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,} ( 1 − 2 t x + t 2 ) − 1 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) 1 t n + 1 {\displaystyle (1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}} для | t | > max | x ± x 2 − 1 | . {\displaystyle |t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.} Следовательно,
P n ( x ) = ( 2 n ) ! 2 n ( n ! ) 2 [ x n − n ( n − 1 ) 2 ( 2 n − 1 ) x n − 2 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) 2 ⋅ 4 ( 2 n − 1 ) ( 2 n − 3 ) x n − 4 − … ] . {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].} Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле
P n m ( x ) = ( 1 − x 2 ) m / 2 d m d x m P n ( x ) , {\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),} которую также можно представить в виде
P n m ( cos θ ) = sin m θ d m d ( cos θ ) m P n ( cos θ ) . {\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).} При m = 0 {\displaystyle m=0} функция P n m {\displaystyle P_{n}^{m}} совпадает с P n {\displaystyle P_{n}} .
Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6] :
S P n 0 ( x ) = P n 0 ( x ) , {\displaystyle SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),} S P n m ( x ) = ( − 1 ) m ( 2 ( n − m ) ! ( n + m ) ! ) 1 / 2 P n m ( x ) . {\displaystyle SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).} Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как P n ~ ( x ) = P n ( 2 x − 1 ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)} , где сдвигающая функция x ↦ 2 x − 1 {\displaystyle x\mapsto 2x-1} (это аффинное преобразование ) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,\;1]} на интервал [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,\;1]} , в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} :
∫ 0 1 P m ~ ( x ) P n ~ ( x ) d x = 1 2 n + 1 δ m n . {\displaystyle \int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.} Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как
P n ~ ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n ( n k ) ( n + k k ) ( − x ) k . {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.} Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является
P n ~ ( x ) = 1 n ! d n d x n [ ( x 2 − x ) n ] . {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].} Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:
n P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} 0 1 {\displaystyle 1} 1 2 x − 1 {\displaystyle 2x-1} 2 6 x 2 − 6 x + 1 {\displaystyle 6x^{2}-6x+1} 3 20 x 3 − 30 x 2 + 12 x − 1 {\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1} 4 70 x 4 − 140 x 3 + 90 x 2 − 20 x + 1 {\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}
( 0 0 − 2 0 0 ⋮ 0 ⋮ 0 0 2 0 − 6 0 ⋮ 0 ⋮ ⋮ 0 0 6 0 − 12 ⋮ 0 ⋮ ⋮ 0 0 0 12 0 ⋮ 0 ⋮ ⋮ 0 0 0 0 20 ⋮ 0 ⋮ ⋮ … … … … … ⋱ ⋮ … ⋮ 0 0 0 0 0 … k ( k + 1 ) … ⋮ … … … … … … … ⋱ ⋮ 0 0 0 0 0 … 0 … n ( n + 1 ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&12&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots &\dots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &k(k+1)&\dots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &0&\dots &n(n+1)\\\end{pmatrix}}} Эта матрица является верхнетреугольной . Её определитель равен нулю, а собственные значения равны k ( k + 1 ) {\displaystyle k(k+1)} , где k ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , … , n } {\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\}} .
Первые 6 многочленов Лежандра Первые многочлены Лежандра в явном виде:
P 0 ( x ) = 1 , {\displaystyle P_{0}(x)=1,} P 1 ( x ) = x , {\displaystyle P_{1}(x)=x,} P 2 ( x ) = 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) , {\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),} P 3 ( x ) = 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) , {\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),} P 4 ( x ) = 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) , {\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),} P 5 ( x ) = 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) , {\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),} P 6 ( x ) = 1 16 ( 231 x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5 ) , {\displaystyle P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),} P 7 ( x ) = 1 16 ( 429 x 7 − 693 x 5 + 315 x 3 − 35 x ) , {\displaystyle P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),} P 8 ( x ) = 1 128 ( 6435 x 8 − 12 012 x 6 + 6930 x 4 − 1260 x 2 + 35 ) , {\displaystyle P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35),} P 9 ( x ) = 1 128 ( 12 155 x 9 − 25 740 x 7 + 18 018 x 5 − 4620 x 3 + 315 x ) , {\displaystyle P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x^{3}+315x),} P 10 ( x ) = 1 256 ( 46 189 x 10 − 109 395 x 8 + 90 090 x 6 − 30 030 x 4 + 3465 x 2 − 63 ) , {\displaystyle P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30\,030x^{4}+3465x^{2}-63),} P 11 ( x ) = 1 256 ( 88 179 x 11 − 230 945 x 9 + 218 790 x 7 − 90 090 x 5 + 15 015 x 3 − 693 x ) , {\displaystyle P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90\,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),} P 12 ( x ) = 1 1024 ( 676 039 x 12 − 1 939 938 x 10 + 2 078 505 x 8 − 1 021 020 x 6 + 225 225 x 4 − 18 018 x 2 + 231 ) , {\displaystyle P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),} P 13 ( x ) = 1 1024 ( 1 300 075 x 13 − 4 056 234 x 11 + 4 849 845 x 9 − 2 771 340 x 7 + 765 765 x 5 − 90 090 x 3 + 3003 x ) , {\displaystyle P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849\,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),} P 14 ( x ) = 1 2048 ( 5 014 575 x 14 − 16 900 975 x 12 + 22 309 287 x 10 − 14 549 535 x 8 + 4 849 845 x 6 − 765 765 x 4 + 45 045 x 2 − 429 ) , {\displaystyle P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309\,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}-429),} P 15 ( x ) = 1 2048 ( 9 694 845 x 15 − 35 102 025 x 13 + 50 702 925 x 11 − 37 182 145 x 9 + 14 549 535 x 7 − 2 909 907 x 5 + 255 255 x 3 − 6435 x ) , {\displaystyle P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702\,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{3}-6435x),} P 16 ( x ) = 1 32768 ( 300540195 x 16 − 1163381400 x 14 + 1825305300 x 12 − 1487285800 x 10 + 669278610 x 8 − 162954792 x 6 + 19399380 x 4 − 875160 x 2 + 6435 ) , {\displaystyle P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^{10}+669278610x^{8}-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),} P 17 ( x ) = 1 32768 ( 583 401 555 x 17 − 2 404 321 560 x 15 + 4 071 834 900 x 13 − 3 650 610 600 x 11 + 1 859 107 250 x 9 − 535 422 888 x 7 + 81 477 396 x 5 − 5 542 680 x 3 + 109 395 x ) . {\displaystyle P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4\,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\,888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).} Поскольку P n ( 1 ) = 1 {\displaystyle P_{n}(1)=1} , то
P n ( x ) = λ 0 + λ 1 x + λ 2 x 2 + … + λ n x n λ 0 + λ 1 + … + λ n = ∑ i = 0 n λ i x i ∑ i = 0 n λ i . {\displaystyle P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n}x^{n}}{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.} Если n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} , то ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ) | P n ( x ) | < 1. {\displaystyle \forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.} Для n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} степень P n {\displaystyle P_{n}} равна n {\displaystyle n} . Сумма коэффициентов многочлена Лежандра P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)} равна 1. Уравнение P n ( x ) = 0 {\displaystyle P_{n}(x)=0} имеет ровно n {\displaystyle n} различных корней на отрезке [ − 1 , 1 ] . {\displaystyle [-1,\;1].} Пусть ∀ n ∈ N U n ( x ) = ( x 2 − 1 ) n {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n}} . Тогда U n + 1 ′ ( x ) − 2 ( n + 1 ) x U n ( x ) = 0 , {\displaystyle U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,} ( x 2 − 1 ) U n ′ ( x ) − 2 n x U n ( x ) = 0. {\displaystyle (x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.} Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x P n ( x ) ] − m 2 ( 1 − x 2 ) P n ( x ) + n ( n + 1 ) P n ( x ) = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac {m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.} При m = 0 {\displaystyle m=0} уравнение принимает вид P n + 1 ′ ( x ) = x P n ′ ( x ) + ( n + 1 ) P n ( x ) . {\displaystyle P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).} Производящая функция для многочленов Лежандра равна ∑ n = 0 ∞ P n ( z ) x n = 1 1 − 2 x z + x 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.} Условие ортогональности этих полиномов на отрезке [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,\;1]} : ∫ − 1 1 P k ( x ) P l ( x ) d x = 2 2 k + 1 δ k l , {\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{kl},} где δ k l {\displaystyle \delta _{kl}} — символ Кронекера . Для n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } норма P n {\displaystyle P_{n}} равна ‖ P n ‖ = ∫ − 1 1 P n 2 ( x ) d x = 2 2 n + 1 . {\displaystyle \|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.} Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой P n {\displaystyle P_{n}} следующим соотношением: P ~ n ( x ) = P n ( x ) ‖ P n ‖ = 2 n + 1 2 P n ( x ) . {\displaystyle {\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}P_{n}(x).} При каждом m > 0 {\displaystyle m>0} система присоединённых функций Лежандра P n m ( x ) , n = m , m + 1 , … {\displaystyle P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots } полна в L 2 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle L_{2}(-1,\;1)} . В зависимости от m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями: P n m ( − x ) = ( − 1 ) m + n P n m ( x ) . {\displaystyle P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{m+n}P_{n}^{m}(x).} P 2 n {\displaystyle P_{2n}} — чётная функция, P 2 n + 1 {\displaystyle P_{2n+1}} — нечётная функция. P n ( 1 ) = 1. {\displaystyle P_{n}(1)=1.} P n ( − 1 ) = ( − 1 ) n . {\displaystyle P_{n}(-1)=(-1)^{n}.} P 2 n ( 0 ) = 1 2 2 n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( 2 n k ) ( 4 n − 2 k 2 n ) 0 2 n − 2 k = 1 2 2 n ( − 1 ) n ( 2 n n ) {\displaystyle P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}} , поскольку ∀ k ≠ n 0 2 n − 2 k = 0 {\displaystyle \forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0} , а 0 2 n − 2 n = 1 {\displaystyle 0^{2n-2n}=1} . Для n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} выполняется P 2 n ( 0 ) ⩽ 1 π n {\displaystyle P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}} . ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] , ∀ n ∈ N ∗ | P n ( x ) | ⩽ 2 π n ( 1 − x 2 ) . {\displaystyle \forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt {\frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.} Липшицевая функция f {\displaystyle f} является функцией со свойством
| f ( x ) − f ( y ) | ⩽ L | x − y | {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|} , где L > 0 {\displaystyle L>0} . Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.
Пусть ε ( I ) {\displaystyle \varepsilon (I)} — пространство непрерывных отображений на отрезке I = [ − 1 , 1 ] {\displaystyle I=[-1,\;1]} , f ∈ ε ( I ) {\displaystyle f\in \varepsilon (I)} , и n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } .
Пусть
c n ( f ) = ∫ − 1 1 f ( x ) P ~ n ( x ) d x , {\displaystyle c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,} тогда c n ( f ) {\displaystyle c_{n}(f)} удовлетворяет следующему условию:
lim n → ∞ c n ( f ) = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.} Пусть S n f = ∑ k = 0 n c k ( f ) P ~ k {\displaystyle S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}} и S n f {\displaystyle S_{n}f} удовлетворяет следующим условиям:
∀ x ∈ I S n f ( x ) = ∫ − 1 1 K n ( x , y ) f ( y ) d y {\displaystyle \forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,dy} , где K n ( x , y ) = n + 1 2 P n + 1 ( x ) P n ( y ) − P n + 1 ( y ) P n ( x ) x − y ; {\displaystyle K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n+1}(y)P_{n}(x)}{x-y}};} S n f ( x ) − f ( x ) = ∫ − 1 1 K n ( x , y ) ( f ( y ) − f ( x ) ) d y ; {\displaystyle S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y)-f(x){\big )}\,dy;} ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] lim n → ∞ S n f ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).} Липшицеву функцию f {\displaystyle f} можно записать следующим образом:
f = ∑ n = 0 ∞ c n ( f ) P ~ n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.} Всякая функция f {\displaystyle f} , голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ λ n P n ( x ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).} Для величин, удовлетворяющих условиям 0 ⩽ ψ 1 < π {\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi } , 0 ⩽ ψ 2 < π {\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi } , ψ 1 + ψ 2 < π {\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi } , φ {\displaystyle \varphi } — действительное число , можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[7]
P k ( cos ψ 1 cos ψ 2 + sin ψ 1 sin ψ 2 cos φ ) = P k ( cos ψ 1 ) P k ( cos ψ 2 ) + 2 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m P k − m ( cos ψ 1 ) P k m ( cos ψ 2 ) cos m φ , {\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,} или, в альтернативной форме через гамма-функцию :
P k ( cos ψ 1 cos ψ 2 + sin ψ 1 sin ψ 2 cos φ ) = P k ( cos ψ 1 ) P k ( cos ψ 2 ) + 2 ∑ m = 1 ∞ Γ ( k − m + 1 ) Γ ( k + m + 1 ) P k m ( cos ψ 1 ) P k m ( cos ψ 2 ) cos m φ . {\displaystyle P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi .} Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[8]
Q k ( cos ψ 1 cos ψ 2 + sin ψ 1 sin ψ 2 cos φ ) = P k ( cos ψ 1 ) Q k ( cos ψ 2 ) + 2 ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m P k − m ( cos ψ 1 ) Q k m ( cos ψ 2 ) cos m φ {\displaystyle Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi } при условиях 0 ⩽ ψ 1 < π / 2 {\displaystyle 0\leqslant \psi _{1}<\pi /2} , 0 ⩽ ψ 2 < π {\displaystyle 0\leqslant \psi _{2}<\pi } , ψ 1 + ψ 2 < π {\displaystyle \psi _{1}+\psi _{2}<\pi } , φ {\displaystyle \varphi } .
Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра P n , m ( x ) {\displaystyle P_{n,\;m}(x)} ) естественно возникают в теории потенциала .
Шаровые функции — это функции (в сферических координатах r , θ , φ {\displaystyle r,\;\theta ,\;\varphi } ) вида (с точностью до константы)
r n P n m ( cos θ ) cos m φ {\displaystyle r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi } и r n P n m ( cos θ ) sin m φ , {\displaystyle r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,} где P n m {\displaystyle P_{n}^{m}} — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде r n Y n m {\displaystyle r^{n}Y_{nm}} , где Y n m {\displaystyle Y_{nm}} — сферические функции .
Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} .
↑ Градштейн, Рыжик, 1963 , с. 1039. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973 , с. 126—127. ↑ Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973 , с. 140. ↑ Цимринг, 1988 , с. 196. ↑ 1 2 3 Цимринг, 1988 , с. 197. ↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave . — Edition 4 for Octave version 4.4.1. — 2018. — С. 530—531. Архивировано 19 февраля 2018 года. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963 , с. 1027. ↑ Градштейн, Рыжик, 1963 , с. 1028. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М. : Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М. : Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 . Градштейн И. С., Рыжик И. М . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М. : Физматлит, 1963. Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М. : Наука, 1988. Цимринг Ш. Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М. : Радио и связь, 1988.