Ортогональные многочлены Якоби Формула P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) × × ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aligned}}} Скалярное произведение ( f , g ) = ∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle (f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x)\,dx}} Область определения [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,\;1]} Дифференциальное уравнение ( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + + n ( n + α + β + 1 ) y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\alpha +\beta +1)y=0\end{aligned}}} Названы в честь Карл Якоби
Многочлены Якоби (или полиномы Якоби ) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби .
Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1] :
P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 − z 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),} где ( α + 1 ) n {\displaystyle (\alpha +1)_{n}} является символом Похгаммера (для растущего факториала ), и, таким образом, выводится выражение
P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},} Откуда одно из конечных значений следующее
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.} Для целых n {\displaystyle n}
( z n ) = Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) , {\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},} где Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} — обычная гамма-функция , и
( z n ) = 0 для n < 0. {\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\text{для}}\quad n<0.} Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},} для α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} и β > − 1 {\displaystyle \beta >-1} .
Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z);} а потому ещё одно значение полиномов:
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.} Для действительного x {\displaystyle x} полином Якоби может быть записан следующим образом.
P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s ( n + α s ) ( n + β n − s ) ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},} где s ⩾ 0 {\displaystyle s\geqslant 0} и n − s ⩾ 0 {\displaystyle n-s\geqslant 0} .
В особом случае, когда n {\displaystyle n} , n + α {\displaystyle n+\alpha } , n + β {\displaystyle n+\beta } и n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta } — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид
P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s [ s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ] − 1 ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.} Сумма берется по всем целым значениям s {\displaystyle s} , для которых множители являются неотъемлемыми.
Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера d m ′ m j ( φ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )} ( 0 ⩽ φ ⩽ 4 π {\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi } ) в терминах полиномов Якоби
d m ′ m j ( φ ) = ξ m ′ m [ ( s ) ! ( s + μ + ν ) ! ( s + μ ) ! ( s + ν ) ! ] 1 / 2 ( sin φ 2 ) μ ( cos φ 2 ) ν P s ( μ , ν ) ( cos φ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+\mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )} ,[2] где μ = | m − m ′ | , ν = | m + m ′ | , s = j − 1 2 ( μ + ν ) {\displaystyle \mu =|m-m'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2}}(\mu +\nu )} Величина ξ m ′ m {\displaystyle \xi _{m'm}} определяется формулой
ξ m ′ m = { 1 , if m ≥ m ′ ( − 1 ) m ′ − m , if m < m ′ {\displaystyle \xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\text{if }}m<m'\end{cases}}}
k {\displaystyle k} -я производная явного выражения приводит к
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).} ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22» Архивная копия от 17 августа 2005 на Wayback Machine , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0 , MR0167642 ↑ Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — 1975. Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 71, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78988-2 , MR : 1688958 . Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials , NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .