Графики значений в единичном круге. Многочлены Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге . Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике . Они играют важную роль в оптике [1] .
Есть чётные и нечётные многочлены Цернике. Чётные многочлены определены как
Z n m ( ρ , φ ) = R n m ( ρ ) cos ( m φ ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )} , а нечётные как
Z n − m ( ρ , φ ) = R n m ( ρ ) sin ( m φ ) , {\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),} , где m и n — неотрицательные целые числа , такие что n ≥m , φ — азимутальный угол , а ρ — радиальное расстояние, 0 ≤ ρ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \rho \leq 1} . Многочлены Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е. | Z n m ( ρ , φ ) | ≤ 1 {\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1} .
Радиальные многочлены R n m {\displaystyle R_{n}^{m}} определяются как
R n m ( ρ ) = ∑ k = 0 ( n − m ) / 2 ( − 1 ) k ( n − k ) ! k ! ( ( n + m ) / 2 − k ) ! ( ( n − m ) / 2 − k ) ! ρ n − 2 k {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}} для чётных значений n − m , и тождественно равны нулю для нечётных n − m .
Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов , можно показать, что коэффициенты при степенях ρ {\displaystyle \rho } суть целые числа:
R n m ( ρ ) = ∑ k = 0 ( n − m ) / 2 ( − 1 ) k ( n − k k ) ( n − 2 k n − m 2 − k ) ρ n − 2 k {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(n-m)/2}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}} . Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти многочлены являются частным случаем многочленов Якоби , для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций :
R n m ( ρ ) = ( n n + m 2 ) ρ n 2 F 1 ( − n + m 2 , − n − m 2 ; − n ; ρ − 2 ) = ( − 1 ) n + m 2 ( n + m 2 n − m 2 ) ρ m 2 F 1 ( 1 + n , 1 − n − m 2 ; 1 + n + m 2 ; ρ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {n-m}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {n-m}{2}};1+{\tfrac {n+m}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}} для четных значений n − m .
Ортогональность в радиальной части записывается равенством
∫ 0 1 ρ 2 n + 2 R n m ( ρ ) 2 n ′ + 2 R n ′ m ( ρ ) d ρ = δ n , n ′ . {\displaystyle \int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.} Ортогональность в угловой части представляется набором равенств
∫ 0 2 π cos ( m φ ) cos ( m ′ φ ) d φ = ε m π δ | m | , | m ′ | , {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},} ∫ 0 2 π sin ( m φ ) sin ( m ′ φ ) d φ = ( − 1 ) m + m ′ π δ | m | , | m ′ | ; m ≠ 0 , {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,} ∫ 0 2 π cos ( m φ ) sin ( m ′ φ ) d φ = 0 , {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,} где параметр ε m {\displaystyle \varepsilon _{m}} (его иногда называют множителем Неймана ) полагают равным 2 , если m = 0 {\displaystyle m=0} , и равным 1 , если m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} . Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:
∫ Z n m ( ρ , φ ) Z n ′ m ′ ( ρ , φ ) d 2 r = ε m π 2 n + 2 δ n , n ′ δ m , m ′ , {\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\varepsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},} где d 2 r = ρ d ρ d φ {\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi } — якобиан полярной системы координат, а оба числа n − m {\displaystyle n-m} и n ′ − m ′ {\displaystyle n'-m'} — четные.
Ниже представлены несколько первых радиальных многочленов.
R 0 0 ( ρ ) = 1 {\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1} R 1 1 ( ρ ) = ρ {\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho } R 2 0 ( ρ ) = 2 ρ 2 − 1 {\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1} R 2 2 ( ρ ) = ρ 2 {\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}} R 3 1 ( ρ ) = 3 ρ 3 − 2 ρ {\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho } R 3 3 ( ρ ) = ρ 3 {\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}} R 4 0 ( ρ ) = 6 ρ 4 − 6 ρ 2 + 1 {\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1} R 4 2 ( ρ ) = 4 ρ 4 − 3 ρ 2 {\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}} R 4 4 ( ρ ) = ρ 4 {\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}} R 5 1 ( ρ ) = 10 ρ 5 − 12 ρ 3 + 3 ρ {\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho } R 5 3 ( ρ ) = 5 ρ 5 − 4 ρ 3 {\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}} R 5 5 ( ρ ) = ρ 5 {\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}} R 6 0 ( ρ ) = 20 ρ 6 − 30 ρ 4 + 12 ρ 2 − 1 {\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1} R 6 2 ( ρ ) = 15 ρ 6 − 20 ρ 4 + 6 ρ 2 {\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}} R 6 4 ( ρ ) = 6 ρ 6 − 5 ρ 4 {\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}} R 6 6 ( ρ ) = ρ 6 . {\displaystyle R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.} ↑ Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (нем.) // Physica I [англ.] : magazin. — 1934. — Bd. 8 . — S. 689—704 .