n 番目のタクシー数 （タクシーすう、taxicab number 、Ta(n )もしくはTaxicab(n )と表記される）とは、2つの立方数 の和として n 通りに表される最小の正の整数 と定義される。1954年 にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ とエドワード・メートランド・ライト （英語版 ） 整数 n に対し、Ta(n )が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n )であるとは限らない。
「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャン が指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題とタクシー との関連は全く無い。
なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0 と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数
与えられた正の整数 N に対し、不定方程式
x 3 + y 3 = N {\displaystyle x^{3}+y^{3}=N} の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < y 3 < N であるため）。これを s (N ) とおく。Ta(n ) は s (N ) ≥ n となる最小の N である。
任意の n に対して s (N ) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n ) は存在する。実際 m を正の整数とすると
x 3 + y 3 = m {\displaystyle x^{3}+y^{3}=m} は楕円曲線 なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 ( x i / d i , y i / d i ) ( i = 1 , 2 , … , k ) {\displaystyle (x_{i}/d_{i},y_{i}/d_{i})(i=1,2,\ldots ,k)}
( x i D i ) 3 + ( y i D i ) 3 = m d 1 3 d 2 3 ⋯ d k 3 , D i = ( d 1 d 2 ⋯ d k ) / d i {\displaystyle (x_{i}D_{i})^{3}+(y_{i}D_{i})^{3}=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3},D_{i}=(d_{1}d_{2}\cdots d_{k})/d_{i}} が成り立つ。 N = m d 1 3 d 2 3 ⋯ d k 3 {\displaystyle N=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3}} s ( N ) ≥ k {\displaystyle s(N)\geq k} m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s (N ) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n ) は確かに存在する。
一般に F が3次形式で
F ( x , y ) = m 0 {\displaystyle F(x,y)=m_{0}} が階数 r の楕円曲線を与えているとき、
F ( x , y ) = m , m = m 0 d 3 {\displaystyle F(x,y)=m,m=m_{0}d^{3}} の解の個数が > c (log m )r /(r +2)m が無数に存在する（c > 0 は F と m 0 のみに依存し d には依存しない）。
x 3 + y 3 = 657 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=657} は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって
s ( N ) > c log 3 / 5 N {\displaystyle s(N)>c\log ^{3/5}N} となる N が無数に存在する[1]
Ta ( n ) < exp ( c n 5 / 3 ) {\displaystyle {\text{Ta}}(n)<\exp(cn^{5/3})} が無数の n に対して成り立つ。
既知のタクシー数 [ 編集 ] 現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（オンライン整数列大辞典 の数列 A011541 参照）。
Ta ( 1 ) = 2 = 1 3 + 1 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}} Ta ( 2 ) = 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}} Ta ( 3 ) = 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}} Ta ( 4 ) = 6963472309248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}} Ta ( 5 ) = 48988659276962496 = 38787 3 + 365757 3 = 107839 3 + 362753 3 = 205292 3 + 342952 3 = 221424 3 + 336588 3 = 231518 3 + 331954 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}} Ta ( 6 ) = 24153319581254312065344 = 582162 3 + 28906206 3 = 3064173 3 + 28894803 3 = 8519281 3 + 28657487 3 = 16218068 3 + 27093208 3 = 17492496 3 + 26590452 3 = 18289922 3 + 26224366 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}} タクシー数の上限 [ 編集 ] 以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。
Ta ( 7 ) ≤ 24885189317885898975235988544 = 2648660966 3 + 1847282122 3 = 2685635652 3 + 1766742096 3 = 2736414008 3 + 1638024868 3 = 2894406187 3 + 860447381 3 = 2915734948 3 + 459531128 3 = 2918375103 3 + 309481473 3 = 2919526806 3 + 58798362 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq 24885189317885898975235988544&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\end{aligned}}} Ta ( 8 ) ≤ 50974398750539071400590819921724352 = 299512063576 3 + 288873662876 3 = 336379942682 3 + 234604829494 3 = 341075727804 3 + 224376246192 3 = 347524579016 3 + 208029158236 3 = 367589585749 3 + 109276817387 3 = 370298338396 3 + 58360453256 3 = 370633638081 3 + 39304147071 3 = 370779904362 3 + 7467391974 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (8)\leq 50974398750539071400590819921724352&=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\end{aligned}}} Ta ( 9 ) ≤ 136897813798023990395783317207361432493888 = 41632176837064 3 + 40153439139764 3 = 46756812032798 3 + 32610071299666 3 = 47409526164756 3 + 31188298220688 3 = 48305916483224 3 + 28916052994804 3 = 51094952419111 3 + 15189477616793 3 = 51471469037044 3 + 8112103002584 3 = 51518075693259 3 + 5463276442869 3 = 51530042142656 3 + 4076877805588 3 = 51538406706318 3 + 1037967484386 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (9)\leq 136897813798023990395783317207361432493888&=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\end{aligned}}} Ta ( 10 ) ≤ 7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 15695330667573128 3 + 15137846555691028 3 = 17627318136364846 3 + 12293996879974082 3 = 17873391364113012 3 + 11757988429199376 3 = 18211330514175448 3 + 10901351979041108 3 = 19262797062004847 3 + 5726433061530961 3 = 19404743826965588 3 + 3058262831974168 3 = 19422314536358643 3 + 2059655218961613 3 = 19426825887781312 3 + 1536982932706676 3 = 19429379778270560 3 + 904069333568884 3 = 19429979328281886 3 + 391313741613522 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\end{aligned}}} Ta ( 11 ) ≤ 87039729655193781808322993393446581825405320183232000 = 381087194739069520 3 + 316469686016945240 3 = 385744811881975000 3 + 309479752750029680 3 = 390662458762053660 3 + 301539992238035460 3 = 392138457234189120 3 + 299032406381730840 3 = 426267111265435440 3 + 212424209933109720 3 = 426887616463852180 3 + 209891877907138700 3 = 428126038425768228 3 + 204623083640747772 3 = 438609133406051160 3 + 138573856797762960 3 = 439653507772479000 3 + 127174000598779680 3 = 443138459854855128 3 + 27089483598685872 3 = 443171971973855943 3 + 5134510178400057 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (11)&\leq 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\&=381087194739069520^{3}+316469686016945240^{3}\\&=385744811881975000^{3}+309479752750029680^{3}\\&=390662458762053660^{3}+301539992238035460^{3}\\&=392138457234189120^{3}+299032406381730840^{3}\\&=426267111265435440^{3}+212424209933109720^{3}\\&=426887616463852180^{3}+209891877907138700^{3}\\&=428126038425768228^{3}+204623083640747772^{3}\\&=438609133406051160^{3}+138573856797762960^{3}\\&=439653507772479000^{3}+127174000598779680^{3}\\&=443138459854855128^{3}+27089483598685872^{3}\\&=443171971973855943^{3}+5134510178400057^{3}\end{aligned}}} Ta ( 12 ) ≤ 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000 = 21721970100126962640 3 + 18038772102965878680 3 = 21987454277272575000 3 + 17640345906751691760 3 = 22267760149437058620 3 + 17187779557568021220 3 = 22351892062348779840 3 + 17044847163758657880 3 = 24297225342129820080 3 + 12108179966187254040 3 = 24332594138439574260 3 + 11963837040706905900 3 = 24403184190268788996 3 + 11663515767522623004 3 = 25000720604144916120 3 + 7898709837472488720 3 = 25060249943031303000 3 + 7248918034130441760 3 = 25258892211726742296 3 + 1544100565125094704 3 = 25260575914339118080 3 + 771180546485662040 3 = 25260802402509788751 3 + 292667080168803249 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (12)&\leq 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\&=21721970100126962640^{3}+18038772102965878680^{3}\\&=21987454277272575000^{3}+17640345906751691760^{3}\\&=22267760149437058620^{3}+17187779557568021220^{3}\\&=22351892062348779840^{3}+17044847163758657880^{3}\\&=24297225342129820080^{3}+12108179966187254040^{3}\\&=24332594138439574260^{3}+11963837040706905900^{3}\\&=24403184190268788996^{3}+11663515767522623004^{3}\\&=25000720604144916120^{3}+7898709837472488720^{3}\\&=25060249943031303000^{3}+7248918034130441760^{3}\\&=25258892211726742296^{3}+1544100565125094704^{3}\\&=25260575914339118080^{3}+771180546485662040^{3}\\&=25260802402509788751^{3}+292667080168803249^{3}\end{aligned}}} 発見の歴史 [ 編集 ] ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年 にバーナード・フラン・ベッシー （英語版 ） [2] レオンハルト・オイラー は
X 3 + Y 3 = Z 3 + W 3 {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}+W^{3}} の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツ はそれを単純化した[3]
X = t ( 1 − ( a − 3 b ) ( a 2 + 3 b 2 ) ) , Y = t ( ( a + 3 b ) ( a 2 + 3 b 2 ) − 1 ) , Z = t ( ( a + 3 b ) − ( a 2 + 3 b 2 ) 2 ) , W = t ( ( a 2 + 3 b 2 ) 2 − ( a − 3 b ) ) . {\displaystyle X=t(1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})),Y=t((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1),Z=t((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}),W=t((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)).} ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t , a , b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a , b , t ) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t , a , b が整数であるものからは与えられない（もちろん t , a , b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t , a , b がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは
( 9 t 4 ) 3 + ( 9 t 3 + 1 ) 3 = ( 9 t 4 + 3 t ) 3 + 1 {\displaystyle (9t^{4})^{3}+(9t^{3}+1)^{3}=(9t^{4}+3t)^{3}+1} を発見している（t = 1 とおくとタクシー数を得る）。
Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば[4]
「 私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが1729 のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。 」
ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式
( 6 A 2 − 4 A B + 4 B 2 ) 3 + ( − 3 A 2 − 5 A B + 5 B 2 ) 3 = ( 4 A 2 − 4 A B + 6 B 2 ) 3 + ( 5 A 2 − 5 A B − 3 B 2 ) 3 {\displaystyle (6A^{2}-4AB+4B^{2})^{3}+(-3A^{2}-5AB+5B^{2})^{3}=(4A^{2}-4AB+6B^{2})^{3}+(5A^{2}-5AB-3B^{2})^{3}} を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には
X 3 + Y 3 = Z 3 ± 1 {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}\pm 1} の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている[5]
ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータ による発見が常となった。ジョン・リーチ （英語版 ） 1957年 にTa(3)を発見した。1991年 にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年 にTa(5)を発見し、1999年 にデービッド・W・ウィルソンによって確認された[6] [7] 2008年 3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが[8] 2003年 に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった[9] 2006年 にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた[10] 2008年 にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された[11]
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13 以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x 3 +y 3 と書かれるとき、全ての組 (x , y ) に対して x , y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年 に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。
15170835645 = 5173 + 24683 = 7093 + 24563 = 17333 + 21523 . 4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年 にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。
1801049058342701083 = 922273 + 12165003 = 1366353 + 12161023 = 3419953 + 12076023 = 6002593 + 11658843 . （オンライン整数列大辞典 の数列 A080642 参照）
上記の通り制限のない場合には s (N ) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、
x 3 + y 3 = N {\displaystyle x^{3}+y^{3}=N} の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r (N ) とすると
s ( N ) < c r ( N ) {\displaystyle s(N)<c^{r(N)}} となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは
s ( N ) < 9 ( 15 r ( N ) + 1 ) {\displaystyle s(N)<9(15^{r(N)}+1)} が成り立つ[12]
^ Silverman (1983) ^ Dickson (1919 , p. 552)^ Hardy & Wright (2008 , Theorem 235)^ Quotations by Hardy - ウェイバックマシン （2017年8月29日アーカイブ分）^ Ken Ono and Sarah Trebat-Leder (2016 , 2017 ) ^ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995 ^ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson ^ NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach ^ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196-1203 ^ Tables of best known results (in May 2007) on Taxicab and Cabtaxi numbers ^ New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi numbers ^ Silverman (1982) 参考文献 [ 編集 ] Hardy, G.H. ; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers . Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5 . Zbl 1159.11001 Dickson, Lernard Eugene (1919). History of the theory of numbers, vol. II, Diophantine Analysis . https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations , Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957. Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2016). “The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 2 : No. 26. doi :10.1007/s40993-016-0058-2 . Ono, Ken; Trebat-Leder, Sarah (2017). “Erratum to: The 1729 K3 surface”. Res. Number Theory 3 : No. 12. doi :10.1007/s40993-017-0076-8 . E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 , Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online . 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。 David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online . (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった） D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) , Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394. C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)? , Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203 Silverman, Joseph H. (1983). “Integer points on curves of genus 1”. J. London Math. Soc. (2) 28 : 1-7. doi :10.1112/jlms/s2-28.1.1 . MR 0703458 . Silverman, Joseph H. (1982). “Integer points and the rank of Thue elliptic curves”. Invent. Math. 66 : 395-404. doi :10.1007/BF01389220 . MR 0662599 . 関連項目 [ 編集 ] 外部リンク [ 編集 ] 
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