有効ポテンシャル (英語 : effective potential)または有効ポテンシャル・エネルギー (有効位置エネルギー 、effective potential energy)は、(相反する可能性のある)複数の効果を単一のポテンシャルにまとめたものである。基本的には、力学系の位置エネルギーと遠心力による位置エネルギーとの和である。
惑星軌道の古典論的・ニュートン的決定 や半古典的な原子計算 に用いられ、複雑な系の問題をより低次にできる場合がある。
有効ポテンシャルのグラフ。E > 0::双曲線軌道 (周辺中心として A1 )、E = 0::放物線軌道 (周辺中心として A2 )、E < 0:楕円軌道 (周辺中心として A 3 、中心として A 3 ')、E = E min :円軌道 (半径としてA 4 )。 点A 1 , ..., A 4 はturning pointと呼ばれる。 ポテンシャル U eff {\displaystyle U_{\text{eff}}} の基本形は以下の様に定義される。
U eff ( r ) = L 2 2 μ r 2 + U ( r ) , {\displaystyle U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),} ここで、
L は、角運動量 r は、二質量間の距離 μ は、二物体の換算質量 (一方の質量が他方の質量よりはるかに大きい場合、周回する天体の質量にほぼ等しくなる) U (r ) は、ポテンシャル の一般形 である。よって、有効力(effective force)は、有効ポテンシャルの負の勾配である。
F eff = − ∇ U eff ( r ) = L 2 μ r 3 r ^ − ∇ U ( r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}} ここで
r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} は半径方向の単位ベクトルを表す。
重要な性質 [ 編集 ] 有効ポテンシャルには有用な機能が多くある。たとえば、
U eff ≤ E . {\displaystyle U_{\text{eff}}\leq E.} である。円軌道の半径を求めるには、実効ポテンシャルを
r {\displaystyle r} に対して最小化する、あるいは正味の力をゼロにして、
r 0 {\displaystyle r_{0}} を解くだけでよい。
d U eff d r = 0 {\displaystyle {\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0} r 0 {\displaystyle r_{0}} を解いた後、これを
U eff {\displaystyle U_{\text{eff}}} に差し戻すと、有効ポテンシャルの最大値
U eff max {\displaystyle U_{\text{eff}}^{\text{max}}} が求まる。円軌道は安定か不安定かのどちらかである。不安定な場合は、小さな摂動で軌道が不安定になるが、安定な軌道は平衡に戻る。円軌道の安定性を判断するには、有効ポテンシャルの凹みを判断する。凹みが正であれば、その軌道は安定である。
d 2 U eff d r 2 > 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0} 小さな振動の周波数は、基本的なハミルトン解析を用いると、
ω = U eff ″ m , {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},} ここで、二重プライムは有効ポテンシャルの二階微分を表し、その値は
r {\displaystyle r} に関する有効ポテンシャルの二階微分を表し、最小値で評価される。
重力ポテンシャル [ 編集 ] 回転する2つの天体の有効ポテンシャルの成分:(上)重力ポテンシャルの合成、(下)重力と回転の合成ポテンシャル 質量mの粒子が質量Mのもっと重い物体の周りを回っていると考える。古典力学、非相対論的ニュートン力学を仮定する。エネルギーと角運動量の保存は、2つの定数 E と L を与え、その値は、
Visualisation of the effective potential in a plane containing the orbit (grey rubber-sheet model with purple contours of equal potential), the Lagrangian points (red) and a planet (blue) orbiting a star (yellow)
E = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 ) − G m M r , {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},} L = m r 2 ϕ ˙ {\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\phi }}} であり、大きい方の物体の質量の運動が無視できる場合である。ここで、
r ˙ {\displaystyle {\dot {r}}} は、r の時間微分、 ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} は、m の角速度、 G は重力定数、 E は全エネルギー、 L は角運動量 である。この運動は平面上で起こるので、必要な変数は2つだけである。2番目の式を1番目の式に代入し、並べ替えると次のようになる。
m r ˙ 2 = 2 E − L 2 m r 2 + 2 G m M r = 2 E − 1 r 2 ( L 2 m − 2 G m M r ) , {\displaystyle m{\dot {r}}^{2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),} 1 2 m r ˙ 2 = E − U eff ( r ) , {\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff}}(r),} ここで、
U eff ( r ) = L 2 2 m r 2 − G m M r {\displaystyle U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {GmM}{r}}} が有効ポテンシャルである
[Note 1] 。元の2変数問題は、1変数問題に還元された。例えば、有効ポテンシャルを用いたエネルギー線図から、転回点、安定・不安定
平衡 の位置などを求めることができます。同様の方法は、例えば一般相対論的な
シュワルツシルト計量 における軌道の決定など、他の用途でも使われることがある。
有効ポテンシャルは、Gauss-core potential (Likos 2002, Baeurle 2004) や Screened Coulomb potential (Likos 2001) など、様々な物性分野で広く用いられている。
^ A similar derivation may be found in José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach , pgs. 31–33 関連項目 [ 編集 ] 参考文献 [ 編集 ] José, JV; Saletan, EJ (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach (1st ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63636-0 . Likos, C.N.; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M. ; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F. (2002). “Gaussian effective interaction between flexible dendrimers of fourth generation: a theoretical and experimental study” . J. Chem. Phys. 117 (4): 1869–1877. Bibcode : 2002JChPh.117.1869L . doi :10.1063/1.1486209 . オリジナル の2011-07-19時点におけるアーカイブ。. https://web.archive.org/web/20110719010918/http://jcp.aip.org/jcpsa6/v117/i4/p1869_s1?isAuthorized=no . Baeurle, S.A.; Kroener J. (2004). “Modeling Effective Interactions of Micellar Aggregates of Ionic Surfactants with the Gauss-Core Potential”. J. Math. Chem. 36 (4): 409–421. doi :10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb . Likos, C.N. (2001). “Effective interactions in soft condensed matter physics”. Physics Reports 348 (4–5): 267–439. Bibcode : 2001PhR...348..267L . doi :10.1016/S0370-1573(00)00141-1 .