| この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "有理化" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2018年1月) |
数学において、有理化(ゆうりか、英: rationalization)とは、根号を含む式(とくに平方根を含む分数式の分母または分子)から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数(代数的無理数)を有理数に変える操作であることからこの名がある。
有理化をすることで計算がしやすくなったりする。[1]例えば分母の有理化
などがあげられる。
抽象代数学的にはこの例は、 を有理数体、 が有理数の平方ではないとしたとき
という の二次拡大体を考えると、
が成り立つ、という主張に一般化できる。
これは の各元 に対し、その拡大 に関する共役元 を掛ければ
(この は の(拡大 に関する)ノルムと呼ばれる。)が に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。
一般に、体 K の(有限次ガロア)拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元(二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある)をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。
実数化[編集]
以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、 を実数体 にとりかえ、d = −1 としてみよう。
(ここで、 は虚数単位のことである。)であって、各元(つまり複素数) の に関する共役元とは、共役複素数 のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると
は に属する。したがってたとえば、
などの変形が可能である。このような変形を(分母の)実数化ということがある。
参考文献[編集]
関連項目[編集]