Sannsynlighetsteori

Sannsynlighetsteori er en matematisk disiplin som er utviklet for å beskrive og kvantifisere sannsynlighet.

I matematikk ser man på sannsynligheten for en hendelse som et tall mellom 0 og 1. Hvis sannsynligheten for en hendelse er 1, betyr det at den helt sikkert inntreffer, mens hvis sannsynligheten er 0, betyr det at den helt sikkert ikke inntreffer. Vanligvis studerer man hendelser som inntreffer med en sannsynlighet et sted mellom 0 og 1. Sannsynligheten for å få en sekser hvis man kaster en vanlig terning er 1/6.

I ren matematikk ser man på sannsynlighetsteori som studiet av sannsynlighetsrom og tilfeldige variabler. Denne teorien ble utviklet av Andrej Kolmogorov på 1930-tallet. Et sannsynlighetsrom er et trippel (Ω, F,P) med følgende egenskaper:

• Ω er en ikke-tom mengde. Hvert element i Ω er et potensielt resultat av et tilfeldig eksperiment.
• F er en σ-algebra av delmengder av Ω, kalt hendelser.
• P er et mål på F, slik at P(Ω)=1.

En tilfeldig (stokastisk) variabel er en målbar funksjon på Ω. To viktige områder innen sannsynlighetsteorien er stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger.

Ved betinget sannsynlighet ser man på sannsynligheten for at noe skal skje, når en har kunnskaper som får påvirkning for denne sannsynligheten. Et eksempel er sannsynligheten for å trekke en hjerter fra en vanlig kortstokk, når en allerede har trukket tre hjertere fra kortstokken.

Betinget sannsynlighet er sannsynligheten for at noe skal skje gitt at en annen ting har skjedd. Notasjonen som brukes er ${\displaystyle P(A|B)}$ som angir sannsynligheten for A gitt at B har inntruffet.

Ubetinget sannsynlighet er det motsatte av betinget sannsynlighet. Det vil si at sannsynligheten for at en hendelse skal skje ikke er avhengig av en annen hendelse. Sannsynlighetene er uavhengig av hverandre.

Sannsynlighetsteorien har sitt utspring i det 16. og 17. århundre i Frankrike og Italia, der den ble utviklet for å beskrive hasardspill. Det som fra først av opptok matematikerne i denne forbindelsen, var hvordan potten mest rettferdig burde deles når et spill ble forlatt uavslutta.

Den første korrekte løsninga på problemet finnes i brevvekslinga mellom Blaise Pascal og Pierre de Fermat i 1654. Fermat valgte å betrakte mulige utfall i form av et sannsynlighetstre – en metode som raskt blir uhåndterlig når antall omganger øker. Pascal valgte en mer numerisk tilnærming, i form av en binomialformelen. En spesiell tillempning av denne framkommer gjennom Pascals trekant. Hvis hvert spill har kun to mulige utfall – gevinst eller tap – kan trekanten raskt gi svar på det mulige antall gevinster og tap etter et gitt antall omganger.

Både Pascal og Fermat anga sine løsninger i form av brøker. Den første som noterte sannsynlighet som et tall mellom 0 og 1 var den sveitsiske matematikeren Jakob Bernoulli i Ars conjectandi i 1713. Han gjorde også rede for det viktige skillet mellom teoretiske og eksperimentelle sannsynligheter, og la dermed grunnlaget for sikrere framgangsmåter ved sampling.

I 1718 innførte franskmannen Abraham de Moivre den klokkeforma kurven for å vise fordelinga av karakteristika i en populasjon, og etablerte dermed et instrument for presis sampling. Til sammen har disse matematikerne også revolusjonert arbeidet med livsforsikringer.

Den historiske utvikling av sannsynlighetsregningen ble på mange måter avsluttet ved århundreskiftet ved oppdagelsen av Poisson-fordelingen og normalfordelingen.

• Klassisk sannsynlighetsdefinisjon
• Stokastisitet

• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 sid. ISBN 0-387-25115-4
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 sid. ISBN 0-387-95313-2