Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций , выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями .
sh x {\displaystyle \operatorname {sh} x} ch x {\displaystyle \operatorname {ch} x}
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
sh x = e x − e − x 2 {\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} (в англоязычной литературе обозначается sinh x {\displaystyle \sinh x} )
ch x = e x + e − x 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} (в англоязычной литературе обозначается cosh x {\displaystyle \cosh x} )
th x = sh x ch x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} (в англоязычной литературе обозначается tanh x {\displaystyle \tanh x} )
гиперболический котангенс : cth x = 1 th x = ch x sh x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 {\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}={\frac {\operatorname {ch} x}{\operatorname {sh} x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}} (в англоязычной литературе обозначается coth x {\displaystyle \coth x} )
sch x = 1 ch x = 2 e x + e − x {\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}} Гиперболический секанс иногда также обозначается как sech x {\displaystyle \operatorname {sech} x} .
гиперболический косеканс : csch x = 1 sh x = 2 e x − e − x {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}} Определение гиперболических функций через гиперболу Параметризация гиперболического синуса (анимация). Ввиду соотношения ch 2 t − sh 2 t = 1 {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1} гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} ( x = ch t {\displaystyle x=\operatorname {ch} t} , y = sh t {\displaystyle y=\operatorname {sh} t} ). При этом аргумент t = 2 S {\displaystyle t=2S} , где S {\displaystyle S} — площадь криволинейного треугольника O Q R {\displaystyle OQR} , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси O X {\displaystyle OX} , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: x = t , y = f ( t ) {\displaystyle x=t,y=f(t)} , где f ( t ) {\displaystyle f(t)} — ордината точки гиперболы , соответствующей вершине криволинейного треугольника площадью S = t / 2 {\displaystyle S=t/2} . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность , которое тоже можно построить подобным образом.
Связь с тригонометрическими функциями [ править | править код ] Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
sh x = − i sin ( i x ) , ch x = cos ( i x ) , th x = − i tg ( i x ) {\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)} .
sh ( i x ) = i sin x , ch ( i x ) = cos x , th ( i x ) = i tg x {\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x} .
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел .
ch 2 x − sh 2 x = 1. {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.} ch 2 x − sh 2 x = ( e x + e − x 2 ) 2 − ( e x − e − x 2 ) 2 = ( e x + e − x ) 2 − ( e x − e − x ) 2 4 = e 2 x + 2 + e − 2 x − e 2 x + 2 − e − 2 x 4 = 2 + 2 4 = 1 {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}={\frac {(e^{x}+e^{-x})^{2}-(e^{x}-e^{-x})^{2}}{4}}={\frac {e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4}}={\frac {2+2}{4}}=1}
Чётность/нечётность : sh ( − x ) = − sh x . {\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.} ch ( − x ) = ch x . {\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.} th ( − x ) = − th x . {\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.} cth ( − x ) = − cth x . {\displaystyle \operatorname {cth} (-x)=-\operatorname {cth} x.} sch ( − x ) = sch x . {\displaystyle \operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} x.} csch ( − x ) = − csch x . {\displaystyle \operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} x.} Формулы сложения : sh ( x ± y ) = sh x ch y ± sh y ch x . {\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.} ch ( x ± y ) = ch x ch y ± sh y sh x . {\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.} th ( x ± y ) = th x ± th y 1 ± th x th y . {\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}.} cth ( x ± y ) = 1 ± cth x cth y cth x ± cth y . {\displaystyle \operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}.} Формулы двойного аргумента: sh 2 x = 2 ch x sh x = 2 th x 1 − th 2 x . {\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.} ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x − 1 = 1 + 2 sh 2 x = 1 + th 2 x 1 − th 2 x . {\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.} th 2 x = 2 th x 1 + th 2 x . {\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.} cth 2 x = 1 2 ( th x + cth x ) . {\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).} th x = ch 2 x − 1 sh 2 x = sh 2 x 1 + ch 2 x . {\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}.} ch 2 x ± sh 2 x = ( sh x ± ch x ) 2 . {\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.} Формулы кратных аргументов: sh 3 x = 4 sh 3 x + 3 sh x . {\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.} ch 3 x = 4 ch 3 x − 3 ch x . {\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.} th 3 x = th x 3 + th 2 x 1 + 3 th 2 x . {\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.} sh 5 x = 16 sh 5 x + 20 sh 3 x + 5 sh x . {\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.} ch 5 x = 16 ch 5 x − 20 ch 3 x + 5 ch x . {\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.} th 5 x = th x th 4 x + 10 th 2 x + 5 5 th 4 x + 10 th 2 x + 1 . {\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.} Произведения: sh x sh y = ch ( x + y ) − ch ( x − y ) 2 . {\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.} sh x ch y = sh ( x + y ) + sh ( x − y ) 2 . {\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}.} ch x ch y = ch ( x + y ) + ch ( x − y ) 2 . {\displaystyle \operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.} th x th y = ch ( x + y ) − ch ( x − y ) ch ( x + y ) + ch ( x − y ) . {\displaystyle \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}.} Суммы: sh x ± sh y = 2 sh x ± y 2 ch x ∓ y 2 . {\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}.} ch x + ch y = 2 ch x + y 2 ch x − y 2 . {\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}.} ch x − ch y = 2 sh x + y 2 sh x − y 2 . {\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}.} th x ± th y = sh ( x ± y ) ch x ch y . {\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}.} Формулы понижения степени: ch 2 x 2 = ch x + 1 2 . {\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.} sh 2 x 2 = ch x − 1 2 . {\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.} Разложение на множители: 2 ( 1 + ch x ) = ( 1 + e x ) ( 1 + e − x ) = 1 + e x + 1 + e − x {\displaystyle 2(1+\operatorname {ch} x)=(1+{e^{x}})(1+{e^{-x}})=1+{e^{x}}+1+{e^{-x}}} 2 ( 1 − ch x ) = ( 1 − e x ) ( 1 − e − x ) = 1 − e x + 1 − e − x {\displaystyle 2(1-\operatorname {ch} x)=(1-{e^{x}})(1-{e^{-x}})=1-{e^{x}}+1-{e^{-x}}} Производные : Интегралы : См. также: Список интегралов от гиперболических функций , Список интегралов от обратных гиперболических функций ∫ sh x d x = ch x + C . {\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.} ∫ ch x d x = sh x + C . {\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.} ∫ th x d x = ln ch x + C . {\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.} ∫ 1 ch 2 x d x = th x + C . {\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.} ∫ 1 sh 2 x d x = − cth x + C . {\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.} sh x = ∫ 0 x ch t d t . {\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.} ch x = 1 + ∫ 0 x sh t d t . {\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.} th x = ∫ 0 x d t ch 2 t . {\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.} Представление через гиперболический тангенс половинного угла : sh x = 2 th x 2 1 − th 2 x 2 {\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}} ch x = 1 + th 2 x 2 1 − th 2 x 2 {\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}} th x = 2 th x 2 1 + th 2 x 2 {\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}} cth x = 1 + th 2 x 2 2 th x 2 {\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}} sch x = 1 − th 2 x 2 1 + th 2 x 2 {\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}} csch x = 1 − th 2 x 2 2 th x 2 {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}} Для всех x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } выполняется:
0 ≤ ch x − 1 ≤ | sh x | < ch x {\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x} | th x | < 1 {\displaystyle |\operatorname {th} x|<1} sh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} ch x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} th x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + … = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}} cth x = 1 x + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + … = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi } (Ряд Лорана ) sch x = 1 ch x = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}}} Здесь B 2 n {\displaystyle B_{2n}} — числа Бернулли , E 2 n {\displaystyle E_{2n}} — числа Эйлера .
sh(x) , ch(x) , th(x) , cth(x) sh , ch и th csch , sech и cth Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = i π ( n + 1 / 2 ) {\displaystyle z=i\pi (n+1/2)} , где n {\displaystyle n} — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = i π n {\displaystyle z=i\pi n} , вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции [ править | править код ] Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.
arsh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle \operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})} — обратный гиперболический синус, ареа-синус. arch x = ln ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 {\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1} — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус. arth x = ln 1 − x 2 1 − x = 1 2 ln 1 + x 1 − x ; | x | < 1 {\displaystyle \operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1} — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс. arcth x = ln x 2 − 1 x − 1 = 1 2 ln x + 1 x − 1 ; | x | > 1 {\displaystyle \operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1} — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс. arsch x = ln 1 + 1 − x 2 x ; 0 < x ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1} — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение y = − ln 1 + 1 − x 2 x {\displaystyle y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}} также удовлетворяет уравнению sch y = x {\displaystyle \operatorname {sch} y=x} , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями. arcsch x = ln 1 + sgn x 1 + x 2 x = { ln 1 − 1 + x 2 x , x < 0 ln 1 + 1 + x 2 x , x > 0 {\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=\left\{{\begin{array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.} — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс. arsh(x) , arch(x) , arth(x) , arcth(x) Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
Arsh x = − i Arcsin ( − i x ) , {\displaystyle \operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),} Arsh ( i x ) = i Arcsin x , {\displaystyle \operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,} Arcsin x = − i Arsh ( i x ) , {\displaystyle \operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),} Arcsin ( i x ) = − i Arsh ( − x ) , {\displaystyle \operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),} Arccos x = − i Arch x , {\displaystyle \operatorname {Arccos} \ x=-i\ \operatorname {Arch} \ x,} где i — мнимая единица .
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
arsh x = x − ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 − ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1 ; {\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad \left\vert x\right\vert <1;} arch x = ln ( 2 x ) − ( ( 1 2 ) x − 2 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x − 4 4 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x − 6 6 + … ) = ln ( 2 x ) − ∑ n = 1 ∞ ( ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x − 2 n 2 n , x > 1 ; {\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;} arth x = x + x 3 3 + x 5 5 + x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 , | x | < 1. {\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.} В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, Arth x {\displaystyle \operatorname {Arth} \,x} пишут как tanh − 1 x {\displaystyle \operatorname {tanh} ^{-1}x} (причём ( tanh x ) − 1 {\displaystyle (\operatorname {tanh} \,x)^{-1}} обозначает другую функцию — cth x {\displaystyle \operatorname {cth} \,x} ), и т. д.
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707 , 1722 ). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: sh {\displaystyle \operatorname {sh} } , ch {\displaystyle \operatorname {ch} } . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение ).
Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768 ), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии , в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.
В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения sinhyp {\displaystyle \operatorname {sinhyp} } , coshyp {\displaystyle \operatorname {coshyp} } , в русскоязычной литературе закрепились обозначения sh , ch {\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} } , в англоязычной закрепились sinh , cosh {\displaystyle \sinh ,\cosh } .
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов . Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида ( cos x sin x − sin x cos x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}} описывают повороты двумерного евклидова пространства , матрицы ( c h x s h x s h x c h x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathop {\mathrm {ch} } \,x&\mathop {\mathrm {sh} } \,x\\\mathop {\mathrm {sh} } \,x&\mathop {\mathrm {ch} } \,x\end{pmatrix}}} описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского . В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности .
Однородная бесконечно гибкая веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции y = a c h x a {\displaystyle y=a\,\mathop {\mathrm {ch} } \,{\frac {x}{a}}} (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией ). Это обстоятельство используется при проектировании арок , поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464. Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике ). — 25 000 экз. А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с. Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах