Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля , ряд вида
Z ( V , T ) = exp ( ∑ k = 1 ∞ N k k T k ) {\displaystyle Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)} , построенный на последовательности числа точек N k {\displaystyle N_{k}} аффинного или проективного многообразия V {\displaystyle V} в конечных полях.
Локальная дзета-функция ζ ( X , s ) = Z ( X , p − s ) {\displaystyle \zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})} . Для неё существует аналог гипотезы Римана .
Пусть V {\displaystyle V} — аффинное или проективное многообразие над конечным полем F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} . Конгруэнц-дзета-функция многообразия V {\displaystyle V} над F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} определяется как формальный степенной ряд
Z ( V / F q , T ) = exp ( ∑ k = 1 ∞ N k k T k ) {\displaystyle Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)} , где exp ( u ) = ∑ k = 0 ∞ u k k ! {\displaystyle \exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}} , а N k {\displaystyle N_{k}} — число точек V {\displaystyle V} , лежащих в F q k {\displaystyle \mathbb {F} _{q^{k}}} . Числа N k {\displaystyle N_{k}} конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.
Локальной дзета-функцией называется функция ζ ( X , s ) = Z ( X , p − s ) {\displaystyle \zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})} , здесь p {\displaystyle p} — характеристика поля F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} , s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } — комплексная переменная.
Возьмем уравнение x = 0 {\displaystyle x=0} , геометрически это означает, что V {\displaystyle V} — это просто точка. В этом случае все N k = 1 {\displaystyle N_{k}=1} . Тогда
Z ( V , t ) = exp ( ∑ k = 1 ∞ T k k ) = exp ( − ln ( 1 − T ) ) = 1 1 − T {\displaystyle Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp(-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T}}} Пусть V {\displaystyle V} — проективная прямая 0 x = 0 {\displaystyle 0x=0} над F {\displaystyle F} . Если F = F q k {\displaystyle F=\mathbb {F} _{q^{k}}} , то V {\displaystyle V} имеет N k = q k + 1 {\displaystyle N_{k}=q^{k}+1} точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно
Z ( V , T ) = exp ( ∑ k = 1 ∞ ( q T ) k k + T k k ) = exp ( − ln ( 1 − q T ) − ln ( 1 − T ) ) = 1 ( 1 − T ) ( 1 − q T ) {\displaystyle Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k}}{k}}+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1-T)(1-qT)}}} Z ( X , T ) {\displaystyle Z(X,T)} представляется в виде бесконечного произведения Z ( X , T ) = ∏ x ( 1 − T deg ( x ) ) − 1 , {\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},} где x {\displaystyle x} пробегает все замкнутые точки X {\displaystyle X} , а deg x {\displaystyle \deg x} — степень x {\displaystyle x} . В случае, если X = V {\displaystyle X=V} , которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности x = [ P ] {\displaystyle x=[P]} точек P ∈ V ¯ {\displaystyle P\in {\overline {V}}} , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем F {\displaystyle F} . Степень x {\displaystyle x} — это степень расширения поля F {\displaystyle F} , порождённого координатами P {\displaystyle P} . Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения Z ( X , T ) {\displaystyle Z(X,T)} будет равна производящей функции
N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,} . Если E {\displaystyle E} — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна Z ( E / F q , T ) = 1 − 2 a E T + q T 2 ( 1 − T ) ( 1 − q T ) {\displaystyle Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}} Если ( ∀ k ) N k < C A k {\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k}} , то Z ( T ) {\displaystyle Z(T)} сходится в открытом круге радиуса R = A − 1 {\displaystyle R=A^{-1}} . Если N k = N k ( 1 ) + N k ( 2 ) {\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}} , причем Z ( T ) , Z ( 1 ) ( T ) , Z ( 2 ) ( T ) {\displaystyle Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)} — соответствующие дзета-функции, то Z ( T ) = Z ( 1 ) ( T ) Z ( 2 ) ( T ) {\displaystyle Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)} . Если N k = β 1 k + . . . + β t k − α 1 k − . . . − α s k {\displaystyle N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}} , то Z ( T ) = ( 1 − α 1 T ) . . . ( 1 − α s T ) ( 1 − β 1 T ) . . . ( 1 − β t T ) {\displaystyle Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}} . L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом
L ( V , s ) = ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) ∏ p Z ( V / F p , p − s ) {\displaystyle L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}} Гипотеза Римана для кривых над конечными полями [ править | править код ] Если C {\displaystyle C} — проективная неособая кривая над F {\displaystyle F} , то можно показать, что
Z ( C , T ) = P ( t ) ( 1 − T ) ( 1 − q T ) , {\displaystyle Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,} где P ( t ) {\displaystyle P(t)} — многочлен степени 2 g {\displaystyle 2g} , где g {\displaystyle g} — род кривой C {\displaystyle C} . Представим
P ( t ) = ∏ i = 1 2 g ( 1 − ω i t ) , {\displaystyle P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,} тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что
| ω i | = q 1 / 2 {\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}} Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней ζ ( X , s ) {\displaystyle \zeta (X,s)} равна 1 / 2 {\displaystyle 1/2} .
К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны q {\displaystyle {\sqrt {q}}} . Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.
Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что
Z ( X , T ) = ∏ i = 0 2 dim X det ( 1 − T Frob q | H c i ( X ¯ , Q ℓ ) ) ( − 1 ) i + 1 . {\displaystyle Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1}}.} Здесь X {\displaystyle X} — отделимая схема конечного типа над конечным полем F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} , and Frob q {\displaystyle \operatorname {Frob} _{q}} — геометрическое действие Фробениуса на ℓ {\displaystyle \ell } -адической этальной когомологии с компактным носителем X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} . Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией T {\displaystyle T} .
Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М. : Мир, 1987. — 428 с. Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М. : Мир, 1988. — 319 с. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М. : Мир, 1981. — 597 с.