Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi (x)=E\psi (x),\qquad (1)}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle U(x)}$ — потенциальная энергия, ${\displaystyle E}$ — полная энергия, ${\displaystyle \psi (x)}$ — волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения ${\displaystyle (1)}$ надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx}}=\gamma _{1},\qquad (2)}$

${\displaystyle \alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx}}=\gamma _{2},\qquad (3)}$

где ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2}}$ — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения ${\displaystyle (1)}$ с граничными условиями ${\displaystyle (2)}$ и ${\displaystyle (3)}$.

Общие свойства[править | править код]

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности,

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)}$

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция ${\displaystyle x}$. В одномерном случае, если волновая функция ${\displaystyle \psi (x)\sim 1/x^{\alpha }}$ при ${\displaystyle x\longrightarrow +\infty }$, то показатель степени в соответствии с выражением

${\displaystyle \int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\alpha -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)}$

должен удовлетворять неравенству ${\displaystyle \alpha >1/2.}$

Интегрирование уравнения ${\displaystyle (1)}$ в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

${\displaystyle \int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}dx={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)}$

из которого в пределе ${\displaystyle \varepsilon \longrightarrow 0}$ следует

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}=0,\qquad (0d)}$

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией (${\displaystyle U(x)=-G\delta (x-a)}$), то условие ${\displaystyle (0c)}$ принимает вид

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)}$

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера для данной энергии, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда потенциал симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными и чётность волновых функций чередуется.

Точные аналитические решения[править | править код]

В общем виде решения уравнения ${\displaystyle (1)}$, с граничными условиями ${\displaystyle (2)}$ и ${\displaystyle (3)}$ не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения ${\displaystyle (1)}$.

Решение для свободной частицы — плоские волны[править | править код]

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение ${\displaystyle (1)}$ принимает особенно простой вид

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x).\qquad (4)}$

Частными решениями этого уравнения являются функции

${\displaystyle {{\psi }_{E}}\left(x\right)=C{{e}^{\pm {\sqrt {2mE}}x/\hbar }}.\quad \quad (4a)}$

Здесь энергия ${\displaystyle E}$ может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Для функций (4a) интеграл (0а), определяющий условие нормировки, расходится. В этом случае нормировочную константу ${\displaystyle C}$ следует определить из условия^[1]

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{dx}\psi _{E}^{*}\left(x\right){{\psi }_{{E}'}}\left(x\right)=\delta \left(E-{E}'\right),}$

где ${\displaystyle \delta \left(x\right)}$ - дельта функция Дирака. В результате получаем ${\displaystyle C=1/{\sqrt {2\pi \hbar {\text{v}}}}}$, где  ${\displaystyle {\text{v}}={\sqrt {2E/m}}}$ - скорость частицы.

Для уравнения (4) общим решением является суперпозиция плоских волн

${\displaystyle \psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad (5)}$

Решение для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками[править | править код]

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения ${\displaystyle (1)}$ с потенциальной энергией ${\displaystyle U(x)}$, которая равна нулю в интервале ${\displaystyle (0,a)}$ и становится бесконечной в точках ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle a}$. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с ${\displaystyle (4)}$. Граничные условия ${\displaystyle (2)}$, ${\displaystyle (3)}$ для волновой функции запишутся в виде

${\displaystyle \psi (0)=0,\qquad (6)}$

${\displaystyle \psi (a)=0.\qquad (7)}$

Ищем решения в виде ${\displaystyle A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )}}$. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)}$

и собственных функций с учётом нормировки

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)}$

Численные решения[править | править код]

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении ${\displaystyle (1)}$ уже не позволяет найти аналитическое решение (вернее, это решение можно найти лишь для задачи об одной частице, движущейся в поле другой), и поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение ${\displaystyle (1)}$ заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках ${\displaystyle x_{n}}$, а именно, заменяя вторую производную по формуле

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}},\qquad (10)}$

где ${\displaystyle h}$ — шаг дискретизации, ${\displaystyle n}$ — номер узла сетки, получим

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}}+U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad (11)}$

где ${\displaystyle U_{n}}$ — значение потенциальной энергии ${\displaystyle U(x)}$ на узлах сетки. Пусть ${\displaystyle a}$ некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение ${\displaystyle (11)}$ можно записать в безразмерном виде

${\displaystyle -y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)}$

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии ${\displaystyle v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}}$ и собственные значения ${\displaystyle e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}}$, то уравнение ${\displaystyle (12)}$ упростится

${\displaystyle -y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)}$

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов ${\displaystyle n}$.

Литература[править | править код]

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

См. также[править | править код]

• Яма с бесконечными стенками
• Треугольная квантовая яма

Примечания[править | править код]