Свободная частица

Свободная частица — термин, который используется в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятия свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнение движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика[править | править код]

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• ${\displaystyle E=T={\frac {mv^{2}}{2}}}$, где m — масса частицы, в нерелятивистском случае.
• ${\displaystyle E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}$, где с — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика[править | править код]

Квантовые частицы описываются уравнением Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi }$

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }}$,

где

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$,

${\displaystyle A_{\mathbf {k} }}$ любое комплексное число.

Волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется E. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах[править | править код]

Гамильтониан свободной частицы

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид^[1]

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:^[2]

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$

Классическая функция Гамильтона имеет вид

${\displaystyle H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}}$

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально^[3]

${\displaystyle H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)}$

Релятивистская квантовая частица[править | править код]

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц. Для электронов и вместе с тем их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса p энергия частиц равняется

${\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}}$,

где знак "+" соответствует электрону, а знак "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частичка описывается уравнением Клейна — Гордона.

Примечание[править | править код]

Литература[править | править код]

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Проставить для статьи более точные категории. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.