Поря́дковые стати́стики в математической статистике — это упорядоченная по неубыванию выборка одинаково распределённых независимых случайных величин и её элементы, занимающие строго определенное место в ранжированной совокупности.
Пусть X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} — конечная выборка из распределения P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} , определённая на некотором вероятностном пространстве ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} . Пусть ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } и x i = X i ( ω ) , i = 1 , … , n {\displaystyle x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n} . Перенумеруем последовательность { x i } i = 1 n {\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}} в порядке неубывания, так что
x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ x ( n − 1 ) ≤ x ( n ) {\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)}} . Эта последовательность называется вариационным рядом . Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина X ( k ) ( ω ) = x ( k ) {\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)}} называется k {\displaystyle k} -ой порядковой статистикой исходной выборки[1] . Порядковые статистики являются основой непараметрических методов.
Очевидно из определения:
X ( 1 ) = min ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})} ; X ( n ) = max ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})} . Порядковые статистики абсолютно непрерывного распределения [ править | править код ] f X ( k ) ( x ) = n ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! [ F X ( x ) ] k − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − k f X ( x ) {\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)} . Случайный вектор ( X ( j ) , X ( k ) ) ⊤ {\displaystyle \left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }} , где 1 ≤ j < k ≤ n {\displaystyle 1\leq j<k\leq n} также имеет абсолютно непрерывное распределение, и совместная плотность распределения имеет вид: f X ( j ) , X ( k ) ( x j , x k ) = { n ! ( j − 1 ) ! ( k − j − 1 ) ! ( n − k ) ! [ F X ( x j ) ] j − 1 [ F X ( x k ) − F X ( x j ) ] k − j − 1 [ 1 − F X ( x k ) ] n − k f X ( x j ) f X ( x k ) , x j ≤ x k 0 , x j > x k {\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X}(x_{j})]^{k-j-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{n-k}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k}),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.} . Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5 . Пусть U 1 , … , U n ∼ U [ 0 , 1 ] {\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]} - выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения . Тогда
f U ( k ) ( u ) = n ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! u k − 1 [ 1 − u ] n − k , u ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{n-k},\quad u\in [0,1]} , то есть U ( k ) ∼ B ( k , n − k + 1 ) {\displaystyle U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)} , где B {\displaystyle \mathrm {B} } - бета-распределение ;
f U ( j ) , U ( k ) ( u j , u k ) = n ! ( j − 1 ) ! ( k − j − 1 ) ! ( n − k ) ! u j j − 1 [ u k − u j ] k − j − 1 [ 1 − u k ] n − k , j < k , 0 ≤ u j ≤ u k ≤ 1 {\displaystyle f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{k-j-1}[1-u_{k}]^{n-k},\quad j<k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1} ; f U ( 1 ) , … , U ( n ) ( u 1 , … , u n ) = n ! , 0 ≤ u 1 ≤ ⋯ ≤ u n ≤ 1 {\displaystyle f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\leq \cdots \leq u_{n}\leq 1} .