Логистическая регрессия

Логистическая регрессия или логит-модель (англ. logit model) — статистическая модель, используемая для прогнозирования вероятности возникновения некоторого события путём его сравнения с логистической кривой. Эта регрессия выдаёт ответ в виде вероятности бинарного события (1 или 0).

Логистическая регрессия применяется для прогнозирования вероятности возникновения некоторого события по значениям множества признаков. Для этого вводится так называемая зависимая переменная ${\displaystyle y}$, принимающая лишь одно из двух значений — как правило, это числа 0 (событие не произошло) и 1 (событие произошло), и множество независимых переменных (также называемых признаками, предикторами или регрессорами) — вещественных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$, на основе значений которых требуется вычислить вероятность принятия того или иного значения зависимой переменной. Как и в случае линейной регрессии, для простоты записи вводится фиктивный признак ${\displaystyle x_{0}=1.}$

Делается предположение о том, что вероятность наступления события ${\displaystyle y=1}$ равна:

${\displaystyle \mathbb {P} \{y=1\mid x\}=f(z),}$

где ${\displaystyle z=\theta ^{T}x=\theta _{0}+\theta _{1}x_{1}+\ldots +\theta _{n}x_{n}}$, ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \theta }$ — векторы-столбцы значений независимых переменных ${\displaystyle 1,x_{1},\dots ,x_{n}}$ и параметров (коэффициентов регрессии) — вещественных чисел ${\displaystyle \theta _{0},...,\theta _{n}}$, соответственно, а ${\displaystyle f(z)}$ — так называемая логистическая функция (иногда также называемая сигмоидой или логит-функцией):

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+e^{-z}}}.}$

Так как ${\displaystyle y}$ принимает лишь значения 0 и 1, то вероятность принять значение 0 равна:

${\displaystyle \mathbb {P} \{y=0\mid x\}=1-f(z)=1-f(\theta ^{T}x).}$

Для краткости функцию распределения ${\displaystyle y}$ при заданном ${\displaystyle x}$ можно записать в таком виде:

${\displaystyle \mathbb {P} \{y\mid x\}=f(\theta ^{T}x)^{y}(1-f(\theta ^{T}x))^{1-y},\quad y\in \{0,1\}.}$

Фактически, это есть распределение Бернулли с параметром, равным ${\displaystyle f(\theta ^{T}x)}$.

Для подбора параметров ${\displaystyle \theta _{0},...,\theta _{n}}$ необходимо составить обучающую выборку, состоящую из наборов значений независимых переменных и соответствующих им значений зависимой переменной ${\displaystyle y}$. Формально, это множество пар ${\displaystyle (x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})}$, где ${\displaystyle x^{(i)}\in \mathbb {R} ^{n}}$ — вектор значений независимых переменных, а ${\displaystyle y^{(i)}\in \{0,1\}}$ — соответствующее им значение ${\displaystyle y}$. Каждая такая пара называется обучающим примером.

Обычно используется метод максимального правдоподобия, согласно которому выбираются параметры ${\displaystyle \theta }$, максимизирующие значение функции правдоподобия на обучающей выборке:

${\displaystyle {\hat {\theta }}=\operatorname {argmax} _{\theta }L(\theta )=\operatorname {argmax} _{\theta }\prod _{i=1}^{m}\mathbb {P} \{y=y^{(i)}\mid x=x^{(i)}\}.}$

Максимизация функции правдоподобия эквивалентна максимизации её логарифма:

${\displaystyle \ln L(\theta )=\sum _{i=1}^{m}\log \mathbb {P} \{y=y^{(i)}\mid x=x^{(i)}\}=\sum _{i=1}^{m}{\Big [}y^{(i)}\ln f(\theta ^{T}x^{(i)})+(1-y^{(i)})\ln(1-f(\theta ^{T}x^{(i)})){\Big ]}}$, где ${\displaystyle \theta ^{T}x^{(i)}=\theta _{0}+\theta _{1}x_{1}^{(i)}+\dots +\theta _{n}x_{n}^{(i)}.}$

Для максимизации этой функции может быть применён, например, метод градиентного спуска. Он заключается в выполнении следующих итераций, начиная с некоторого начального значения параметров ${\displaystyle \theta }$:

${\displaystyle \theta :=\theta +\alpha \nabla \ln L(\theta )=\theta +\alpha \sum _{i=1}^{m}(y^{(i)}-f(\theta ^{T}x^{(i)}))x^{(i)},\alpha >0.}$

На практике также применяют метод Ньютона и стохастический градиентный спуск.

Для улучшения обобщающей способности получающейся модели, то есть уменьшения эффекта переобучения, на практике часто рассматривается логистическая регрессия с регуляризацией.

Регуляризация заключается в том, что вектор параметров ${\displaystyle \theta }$ рассматривается как случайный вектор с некоторой заданной априорной плотностью распределения ${\displaystyle p(\theta )}$. Для обучения модели вместо метода наибольшего правдоподобия при этом используется метод максимизации апостериорной оценки, то есть ищутся параметры ${\displaystyle \theta }$, максимизирующие величину:

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}\mathbb {P} \{y^{(i)}\mid x^{(i)},\theta \}\cdot p(\theta ).}$

В качестве априорного распределения часто выступает многомерное нормальное распределение ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}I)}$ с нулевым средним и матрицей ковариации ${\displaystyle \sigma ^{2}I}$, соответствующее априорному убеждению о том, что все коэффициенты регрессии должны быть небольшими числами, идеально — многие малозначимые коэффициенты должны быть нулями. Подставив плотность этого априорного распределения в формулу выше, и прологарифмировав, получим следующую оптимизационную задачу:

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{m}\log \mathbb {P} \{y^{(i)}\mid x^{(i)},\theta \}-\lambda \|\theta \|^{2}\,\to {\mbox{max}},}$

где ${\displaystyle \lambda ={\mbox{const}}/{\sigma ^{2}}}$ — параметр регуляризации. Этот метод известен как L2-регуляризованная логистическая регрессия, так как в целевую функцию входит L2-норма вектора параметров для регуляризации.

Если вместо L2-нормы использовать L1-норму, что эквивалентно использованию распределения Лапласа, как априорного, вместо нормального, то получится другой распространённый вариант метода — L1-регуляризованная логистическая регрессия:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\log \mathbb {P} \{y^{(i)}\mid x^{(i)},\theta \}-\lambda \|\theta \|_{1}\,\to {\mbox{max}}.}$

Эта модель часто применяется для решения задач классификации — объект ${\displaystyle x}$ можно отнести к классу ${\displaystyle y=1}$, если предсказанная моделью вероятность ${\displaystyle \mathbb {P} \{y=1\mid x\}>0{,}5}$, и к классу ${\displaystyle y=0}$ в противном случае. Получающиеся при этом правила классификации являются линейными классификаторами.

На логистическую регрессию очень похожа пробит-регрессия, отличающаяся от неё лишь другим выбором функции ${\displaystyle f(z)}$. Softmax-регрессия обобщает логистическую регрессию на случай многоклассовой классификации, то есть когда зависимая переменная ${\displaystyle y}$ принимает более двух значений. Все эти модели в свою очередь являются представителями широкого класса статистических моделей — обобщённых линейных моделей.

• Модель бинарного выбора
• Пробит-регрессия

• Andrew Ng. Stanford CS229 Lecture Notes