Преобразование Гильберта

Преобразова́ние Ги́льберта в математике и обработке сигналов — линейный оператор, сопоставляющий каждой функции ${\displaystyle u(t)}$ от действительной переменной функцию ${\displaystyle H(u)(t)}$ в той же области с помощью свёртки исходной функции с функцией ${\displaystyle 1/(\pi t)}$. В физике эти соотношения известны как соотношения Крамерса — Кронига, связывающие мнимую и действительную части комплексной функции отклика системы.

Преобразование Гильберта определено следующим образом (здесь v.p. означает главное значение несобственного интеграла по Коши):

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,}$

или, более явно:

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t)*u(t):=\delta (jt)*u(t).}$

Результат двукратного применения преобразования Гильберта — исходная функция с обратным знаком:

${\displaystyle H{\big (}H(u){\big )}(t)=-u(t),}$

при условии, что оба преобразования существуют.

Преобразование Гильберта даёт функцию ${\displaystyle H{\big (}u(t){\big )}}$, ортогональную функции ${\displaystyle u(t)}$^[1].

Преобразование Гильберта является множителем в спектральной области.

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt}$ — вариант прямого преобразования Фурье без нормировочного множителя.

${\displaystyle H^{-1}=-H.}$

В следующей таблице параметр частоты ${\displaystyle \omega }$ является действительным числом.

Сигнал ${\displaystyle u(t)\,}$	Преобразование Гильберта ${\displaystyle H(u)(t)}$
константа	0
${\displaystyle \sin \omega t}$	${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\operatorname {sgn}(\omega )\cos \omega t}$
${\displaystyle \cos \omega t}$	${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\operatorname {sgn}(\omega )\sin \omega t}$
${\displaystyle e^{i\omega t}}$	${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )e^{i\omega t}}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
${\displaystyle e^{-t^{2}}}$	${\displaystyle 2\pi ^{-1/2}F(t)}$ (F(t) — интеграл Доусона)
Sinc ${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos t}{t}}}$
Характеристическая функция над отрезком [a, b] ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(t)}$	${\displaystyle {{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }}$
Прямоугольная функция (частный случай предыдущего) ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert }$
Дельта-функция ${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$

Для ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций, то есть определённых на единичной окружности, преобразование Гильберта имеет интерпретацию в терминах геометрии бесконечномерных однородных пространств. Именно, группа ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})}$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности имеет факторпространство ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)}$ по подгруппе, состоящей из поворотов (то есть сохранящих ориентацию изометрий окружности). Он называется пространством Кириллова — Юрьева, и имеет однородную комплексную структуру. Связанный с ней тензор — это и есть преобразование Гильберта. В самом деле, касательное пространство к пространству Кириллова — Юрьева это фактор алгебры векторных полей на окружности по постоянным векторным полям. Касательное расслоение к окружности тривиально, так что векторные поля можно отождествить с ${\displaystyle 2\pi }$-периодическими функциями, при этом постоянные векторные поля перейдут в константы. На факторе функций на окружности по константам преобразование Гильберта действительно действует как оператор комплексной структуры (то есть оператор с квадратом ${\displaystyle -\mathrm {Id} }$); его собственное подпространство для собственного числа ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ (то, что называется в теории Ходжа ${\displaystyle (1,0)}$-подпространство) есть пространство Харди — граничные значения непрерывных функций на единичном диске, голоморфных на его внутренности (иначе говоря, ${\displaystyle 2\pi }$-периодические функции, все ненулевые гармоники Фурье которых имеют положительные номера).

Пространство Кириллова — Юрьева допускает расслоение над другим бесконечномерным однородным пространством ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})}$, фактором группы диффеоморфизмов по граничным значениям мёбиусово преобразование (дробно-линейных) преобразований диска. Легко видеть, что слои этого расслоения суть однородные пространства ${\displaystyle \mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)}$, биголоморфные единичным дискам. Это расслоение популяризовал А. Г. Сергеев.

Можно работать и в обратную сторону. Хорошо известен другой пример расслоения на окружности, база которого имеет естественную комплексную структуру, это расслоение Хопфа ${\displaystyle S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$. Конус же над сферой может быть отождествлён с комплексным векторным пространством ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$, из которого выброшен нуль. Так же и группа ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{+}(S^{1})}$ может быть расширена группой ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ (такое расширение является алгебраическим аналогом восстановления конуса) таким образом, что получившаяся группа будет иметь структуру бесконечномерной комплексной группы Ли. На уровне алгебр Ли это расширение задаётся коциклом Гельфанда — Фукса, который в терминах функций на окружности пишется как ${\displaystyle \omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matrix}f'&g'\\f''&g''\end{matrix}}\right|dx}$. Соответствующая группа называется группой Вирасоры (иногда Ботта — Вирасоры) и имеет основополагающее значение в теории струн и других разделах конформной теории поля.

• Численно-теоретические преобразования
• Преобразование Фурье
• Преобразование Лапласа
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Соотношения Крамерса — Кронига