Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции f {\displaystyle f} с периодом 2 π {\displaystyle 2\pi } в виде ряда
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)} (1)
или с использованием комплексной записи, в виде ряда:
f ( x ) = ∑ k = − ∞ + ∞ f ^ k e i k x {\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}} . Пусть ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} , ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} — две функции пространства L 2 [ − τ 2 , τ 2 ] {\displaystyle L^{2}\left[-{\frac {\tau }{2}},{\frac {\tau }{2}}\right]} . Определим их скалярное произведение
⟨ ϕ m ( x ) , ϕ n ( x ) ⟩ := ∫ − τ 2 τ 2 ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) d x {\displaystyle \langle \phi _{m}(x),\phi _{n}(x)\rangle :=\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx} Условие ортогональности
∫ − τ 2 τ 2 ϕ m ( x ) ϕ n ( x ) d x = ‖ ϕ m ( x ) ‖ 2 δ n m {\displaystyle \int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}(x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}} где δ n m {\displaystyle \delta _{nm}} — символ Кронекера . Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при n = m {\displaystyle n=m} или нулю в противном случае.
Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида sin ( k x ) {\displaystyle \sin(kx)} , cos ( k x ) {\displaystyle \cos(kx)} попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных k ≠ l {\displaystyle k\neq l} :
∫ − π π sin ( k x ) sin ( l x ) d x = ∫ − π π cos ( k x ) cos ( l x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(kx)\sin(lx)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\cos(lx)dx=0} и при всех целых неотрицательных k {\displaystyle k} , l {\displaystyle l}
∫ − π π cos ( k x ) sin ( l x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(kx)\sin(lx)dx=0} . Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве L 2 [ 0 , 2 π ] {\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]} . Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида cos ( k x ) , sin ( k x ) , k ∈ Z {\displaystyle \cos(kx),\sin(kx),k\in \mathbb {Z} } , то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду ).
Тригонометрическим рядом Фурье функции f ∈ L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])} называют функциональный ряд вида
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)} (1)
где
a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x , {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,} a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ( n x ) d x , {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,} b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ( n x ) d x . {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx.} Числа a 0 {\displaystyle a_{0}} , a n {\displaystyle a_{n}} и b n {\displaystyle b_{n}} ( n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\ldots } ) называются коэффициентами Фурье функции f {\displaystyle f} . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию f ∈ L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])} в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты a 0 {\displaystyle a_{0}} , a n {\displaystyle a_{n}} и b n {\displaystyle b_{n}} . Если умножить правую часть (1) на cos ( k x ) {\displaystyle \cos(kx)} и проинтегрировать по промежутку [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент a k {\displaystyle a_{k}} . Аналогично для b k {\displaystyle b_{k}}
Ряд (1) сходится к функции f {\displaystyle f} в пространстве L 2 ( [ − π , π ] ) {\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])} . Иными словами, если обозначить через S k ( x ) {\displaystyle S_{k}(x)} частичные суммы ряда (1):
S k ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 k ( a n cos n x + b n sin n x ) {\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)} , то их среднеквадратичное отклонение от функции f {\displaystyle f} будет стремиться к нулю:
lim k → ∞ ∫ − π π ( f ( x ) − S k ( x ) ) 2 d x = 0 {\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0} . Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство L 2 ( [ − π , π ] , C ) {\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )} комплекснозначных функций со скалярным произведением
⟨ f , g ⟩ := ∫ − π π f ( x ) g ( x ) ¯ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx} . Мы также рассматриваем систему функций
φ k ( x ) = e i k x = cos ( k x ) + i sin ( k x ) , k ∈ Z {\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} } . Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция f ∈ L 2 ( [ − π , π ] , C ) {\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )} может быть разложена по ним в ряд Фурье:
f ( x ) = ∑ k = − ∞ + ∞ f ^ k e i k x {\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}} , где ряд в правой части сходится к f {\displaystyle f} по норме в f ∈ L 2 ( [ − π , π ] , C ) {\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )} . Здесь
f ^ k = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx} . Коэффициенты : f ^ k {\displaystyle {\hat {f}}_{k}} связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
f ^ k = ( a k − i b k ) / 2 , k > 0 ; {\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0;} f ^ 0 = a 0 / 2 ; {\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2;} f ^ k = ( a | k | + i b | k | ) / 2 , k < 0 ; {\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0;} a k = f ^ k + f ^ − k , k > 0 ; {\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0;} b k = i ( f ^ k − f ^ − k ) , k > 0. {\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0.} Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения f ^ k {\displaystyle {\hat {f}}_{k}} и f ^ − k {\displaystyle {\hat {f}}_{-k}} не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными. Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве L 2 ( [ − π , π ] , C ) {\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )} .
Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией: ( α f + β g ) ^ k = α f ^ k + β g ^ k {\displaystyle {\widehat {(\alpha f+\beta g)}}_{k}=\alpha {\hat {f}}_{k}+\beta {\hat {g}}_{k}} Справедливо равенство Парсеваля : 2 π ∑ k = 1 ∞ | f | ^ k 2 = ‖ f ‖ 2 {\displaystyle 2\pi \sum _{k=1}^{\infty }{\hat {|f|}}_{k}^{2}=\|f\|^{2}} . Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции: ( f ′ ) ^ k = i k f ^ k {\displaystyle {\widehat {(f')}}_{k}=ik{\hat {f}}_{k}} коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей: ( f g ) ^ k = ∑ j = − ∞ ∞ f ^ j g ^ k − j {\displaystyle {\widehat {(fg)}}_{k}=\sum \limits _{j=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{j}{\hat {g}}_{k-j}} рассмотрим операцию свертки функций: ( f ∗ g ) ( t ) := ∫ − π π f ( t − x ) g ( x ) d x , {\displaystyle (f\ast g)(t):=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t-x)g(x)dx,} где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} на всю прямую. Тогда
( f ∗ g ) ^ k = 2 π f ^ k g ^ k {\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}_{k}=2\pi {\hat {f}}_{k}{\hat {g}}_{k}} Функция Ряд Фурье 4 a π ( sin t 1 + sin 3 t 3 + sin 5 t 5 + … ) {\displaystyle {\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t}{5}}+\dots \right)} 4 a π ∑ n = 1 ∞ 1 2 n − 1 sin 2 π ( 2 n − 1 ) t T {\displaystyle {\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n-1)t}{T}}}
Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188. Рудин У. Основы математического анализа. — 1976. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М. : «Наука», 1964. — Т. 2.