Преобразование Лапласа

Преобразова́ние Лапла́са (ℒ) — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Определение

[править | править код]

Прямое преобразование Лапласа

[править | править код]

Преобразованием Лапласа функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной [1], такая что:

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Функцию называют оригиналом в преобразовании Лапласа, а функцию называют изображением функции .

В литературе связь между оригиналом и изображением часто обозначают так: и , причём изображение принято записывать с заглавной буквы.

Обратное преобразование Лапласа

[править | править код]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного называется функция вещественной переменной, такая что:

где  — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича[2].

Двустороннее преобразование Лапласа

[править | править код]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции участвуют значения .

Двустороннее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

Дискретное преобразование Лапласа

[править | править код]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.

Различают -преобразование и -преобразование.

  • -преобразование

Пусть  — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени , где  — целое число, а  — период дискретизации.

Тогда, применяя преобразование Лапласа, получим:

  • -преобразование

Если применить следующую замену переменных:

получим -преобразование:

Свойства и теоремы

[править | править код]
  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел

то он сходится абсолютно и равномерно для и  — аналитическая функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .

  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
  2. : преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
  3. или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для .

Примечание: это достаточные условия существования.

  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

  1. Если изображение  — аналитическая функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
  2. Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.

  • Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:

  • Умножение изображений

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.

  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:

В более общем случае (производная -го порядка):

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:

  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:

  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

Запаздывание оригинала:

где  — функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

, если все полюсы функции находятся в левой полуплоскости.

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

  • Другие свойства

Линейность:

Умножение на число:

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

[править | править код]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Функция Временная область
Частотная область
Область сходимости
для причинных систем
1 дельта-функция
1a запаздывающая дельта-функция
2 запаздывание -го порядка с частотным сдвигом
2a степенная -го порядка,
2a.1 степенная -го порядка,
2a.2 функция Хевисайда
2b функция Хевисайда с запаздыванием
2c «ступенька скорости»
2d -го порядка с частотным сдвигом
2d.1 экспоненциальное затухание
3 экспоненциальное приближение
4 синус
5 косинус
6 гиперболический синус
7 гиперболический косинус
8 экспоненциально затухающий
синус
9 экспоненциально затухающий
косинус
10 корень -го порядка
11 натуральный логарифм
12 функция Бесселя
первого рода
порядка ,
13 модифицированная функция Бесселя
первого рода
порядка ,
14 функция Бесселя
второго рода
нулевого порядка
15 модифицированная функция Бесселя
второго рода
нулевого порядка
16 функция ошибок
Примечания к таблице:

Применения преобразования Лапласа

[править | править код]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники:

Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:

  1. По заданному входному воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
  2. По д.у. составляют передаточную функцию.
  3. Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
  4. Определяют оригинал.[4]

Связь с другими преобразованиями

[править | править код]

Фундаментальные связи

[править | править код]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа — Карсона (иногда называют просто преобразование Карсона, иногда, не совсем корректно, используют преобразование Карсона, называя его преобразованием Лапласа) получается из преобразования Лапласа путём домножения изображения на комплексную переменную:

Преобразование Карсона широко используется в теории электрических цепей, так как при таком преобразовании размерности изображения и оригинала совпадают, поэтому коэффициенты передаточных функций имеют физический смысл.

Двустороннее преобразование Лапласа связано с односторонним с помощью следующей формулы:

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом :

В свою очередь, преобразование Лапласа является преобразованием Фурье от функции , где — функция Хевисайда. Частоту преобразования Фурье связывает с комплексным параметром преобразования Лапласа равенство  :

Благодаря домножению на затухающую экспоненту , многие неограниченные на функции становятся достаточно быстро затухающими, чтобы к ним было применимо преобразование Фурье. Неограниченный рост на предотвращает функция Хевисайда , которая зануляет функцию при отрицательных .


Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель , который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

[править | править код]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

положим , то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

[править | править код]

-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

где  — период дискретизации, а  — частота дискретизации сигнала.

Связь выражается с помощью следующего соотношения:

Преобразование Бореля

[править | править код]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Примечания

[править | править код]
  1. В отечественной литературе обозначается также через . См., например,
    Диткин В. А., Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
  2. Жевержеев В. Ф., Кальницкий Л. А., Сапогов Н. А. Специальный курс высшей математики для втузов. — М., Высшая школа, 1970. — с. 231
  3. Ващенко-Захарченко М. Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1862.
  4. Архитектура системы автоматического управления группой малых беспилотных летательных аппаратов // Информационные технологии и вычислительные системы. — 2018-03-20. — ISSN 2071-8632. — doi:10.14357/20718632180109.

Литература

[править | править код]
  • Ван дер Поль Б., Бремер Х. . Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.
  • Диткин В. А., Прудников А. П. . Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.
  • Диткин В. А., Кузнецов П. И. . Справочник по операционному исчислению: Основы теории и таблицы формул. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. . Операционные методы в прикладной математике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1948. — 294 с.
  • Кожевников Н. И., Краснощёкова Т. И., Шишкин Н. Е. . Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. . Операционное исчисление. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1964. — 103 с.
  • Микусинский Я. . Операторное исчисление. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — 367 с.
  • Романовский П. И. . Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1980. — 336 с.