Spazio metrizzabile
In topologia, uno spazio topologico si dice metrizzabile se esiste su una metrica tale che la topologia indotta da sia proprio .[1]
Gli spazi metrizzabili sono omeomorfi agli spazi metrici e ne inducono tutte le proprietà. Per esempio, sono spazi di Hausdorff, paracompatti e spazi ogni cui punto ha una base numerabile di intorni.
Esistono teoremi che assicurano condizioni sufficienti alla metrizzabilità di uno spazio:
- teorema di Urysohn: ogni spazio di Hausdorff, regolare e a base numerabile è metrizzabile;
- teorema di Nagata-Smirnov: uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e di Hausdorff ed ha una base finita -localmente;
- teorema di Bing: uno spazio è metrizzabile se e solo se è regolare e T0 ed ha una base -discreta.
Uno spazio si dice localmente metrizzabile se ogni punto ha un intorno metrizzabile. Sempre di Smirnov è il risultato che uno spazio localmente metrizzabile di Hausdorff è metrizzabile se e solo se è paracompatto.
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ M. Manetti, p. 56.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
