Квадрирование квадрата

Квадри́рование квадра́та — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов. В более узком смысле — задача о разбиении квадрата на конечное число попарно неравных между собой квадратов.

В 1936—1938 годах её решили четверо студентов Тринити-колледжа Кембриджского университета^[1].

Все квадраты в любом решении данной задачи имеют соизмеримые по длине стороны.^[2]

• Квадрат, разбитый на попарно неравные квадраты, называется совершенным^[1].
• Порядком квадрата, разбитого на составные квадраты, называется число составляющих его квадратов.
• Разбиение квадрата, никакое подмножество квадратов которого не образует прямоугольник (не считая отдельных квадратов), называется простым.

• Вопрос о возможности разбиения квадрата на неравные квадраты был записан в Шотландской книге Станиславом Рузевичем под номером 59^[3] в 1935-м году.
• Самые первые найденные Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом совершенные квадраты были 69-го порядка.
• В 1939 году Р. Шпраг (R. Sprague) нашёл совершенный квадрат 55-го порядка, это было первое опубликованное решение для совершенного квадрата^[4].
• Позднее Т. Г. Уиллкокс (T. H. Willcocks) нашёл совершенный квадрат 24-го порядка, который долгое время держал рекорд малости порядка.
• В 1978 году голландский математик А. Й. В. Дёйвестейн (A. J. W. Duijvestijn) с помощью компьютера нашёл разбиение квадрата на 21 квадрат, среди которых нет равных (см. рис.). Он также доказал следующие утверждения:
  • Не существует совершенного квадрата меньшего порядка.
  • Найденное им разбиение — единственно возможное для разбиения 21-го порядка.

Ключевую роль в решении задачи квадрирования сыграло предложение, сделанное Бруксом, Смитом, Стоуном и Татом в 1936—1938 годах^[1] для анализа диаграммы, названной диаграммой Смита, которая любому разбиению квадрата (или прямоугольника) ставит в соответствие электрическую цепь. Это позволило применять для решения задачи квадрирования хорошо разработанную теорию электрических цепей.

Можно считать, что прямоугольник это проводник сделанный из фольги с постоянным удельным сопротивлением. Если вдоль оснований подключён ток, то сопротивление прямоугольника прямопропоционально высоте и обратно пропорционально ширине прямоугольника. Поэтому можно считать что сопротивление любого квадрата единица.

Каждому горизонтальному отрезку на схеме разбиения квадрата соответствует «клемма» этой цепи, а каждому квадрату разбиения — проводник, соединяющий две «клеммы». Сила тока, текущего по проводнику, равна длине стороны соответствующего квадрата. Поскольку можно считать, что сопротивление каждого квадрата равно единице, такая электрическая цепь ведёт себя как «настоящая»; в частности, подчиняется правилам Кирхгофа для токов в цепи.

${\displaystyle n}$	Число простых совершенных квадратов порядка ${\displaystyle n}$	${\displaystyle n}$	Число простых совершенных квадратов порядка ${\displaystyle n}$
21	1	28	3001
22	8	29	7901
23	12	30	20 566
24	26	31	54 541
25	160	32	144 161
26	441	33	378 197[5]
27	1152

Число простых совершенных квадрированных квадратов порядка n с точностью до^[англ.] симметрий указано в последовательности A006983 в OEIS^[6].

В 2013 году было найдено число квадратов порядка 32 (144 161)^[6][5].

В июне 2014 года Джим Уильямс (Jim Williams) получил все 378 197 простых совершенных квадрированных квадратов порядка 33^[5].

«Кубирование куба», то есть разбиение куба на конечное число попарно неравных между собой кубов, невозможно. Доказательство этого факта было дано Бруксом, Смитом, Стоуном и Таттом.

Также легко доказывается теорема о невозможности «гиперкубирования гиперкуба» для гиперкубов любой размерности, большей 3-х. Действительно, для любой размерности n гиперкубы разбиения, прилегающие к какой-либо (n − 1)-мерной гиперграни исходного гиперкуба, должны разбивать эту гипергрань на конечное число попарно неравных (n − 1)-мерных гиперкубов. При n = 4 «гиперкубирование» невозможно, так как должно порождать «кубирование» 3-мерных гиперграней исходного 4-мерного гиперкуба. Индукцией по n можно сделать заключение о невозможности «гиперкубирования» для всех n > 3.

• Видео на англоязычном научно-популярном математическом ютуб-канале Numberphile Архивная копия от 12 августа 2020 на Wayback Machine

• Гарднер М., Математические головоломки и развлечения. Пер. с английского Ю. Данилова. Изд. «Оникс», Москва, 1994, стр. 305—326.
• Яглом И. М. Как разрезать квадрат Архивная копия от 27 января 2021 на Wayback Machine серия «Математическая библиотечка» М., Наука, 1968—112 с.
• Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W. Catalogue of Simple Perfect Squared Squares of Orders 21 Through 25, Eindhoven Univ. Technology, Dept. of Math., Report 92-WSK-03, Nov. 1992.
• Bouwkamp C. J., Duijvestijn A. J. W. Album of Simple Perfect Squared Squares of order 26, Eindhoven University of Technology, Faculty of Mathematics and Computing Science, EUT Report 94-WSK-02, December 1994.
• Brooks, R. L., Smith C. A. B., Stone, A. H., Tutte, W. T. The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Math. J. 7, 312—340, 1940
• Gardner Martin, Squaring the square, in The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.
• Meschkowski H. Unsolved and Unsolvable Problems in Geometry, Oliver and Boyd, 1966, Edinburgh, pp. 9—102.
• Stein S. Mathematics: The Man-Made Universe, (2nd ed.) Freeman and Co., 1969, San Francisco, pp. 92—124.
• Tutte W. Squaring the Square, Canadian journal of Mathematics, 1950, pp.197—209.
• Tutte W. The Quest of the Perfect Square, The American Mathematical Monthly, 1965, Vol. 72, No. 2, pp. 29—35.

• Ross Honsberger. Squaring the Square  (неопр.). Faculty of Mathematics, University of Waterloo. Архивировано 16 октября 2015 года.
• Re: Dissection of square (Or Rectangle) into unequal squares  (неопр.). sci.math, rec.puzzles (11 апреля 1998). Архивировано 19 апреля 2003 года.
• Squaring the square  (неопр.). Byron Schmuland. Дата обращения: 26 февраля 2005. Архивировано 24 сентября 2015 года.
• Karl Scherer. Square The Rectangle  (неопр.). Архивировано из оригинала 21 августа 2014 года.
• Karl Scherer. Square The Square  (неопр.). Архивировано из оригинала 19 августа 2014 года.