Mersenneprimtal

Ett Mersennetal ${\displaystyle M_{n}}$ är inom talteorin ett heltal på formen ${\displaystyle 2^{n}-1}$ där n är ett positivt heltal. Det är uppkallat efter den franske amatörmatematikern Marin Mersenne (1588–1648).

Ett Mersenneprimtal är ett Mersennetal som är ett primtal.

I det binära talsystemet skrivs tal på formen ${\displaystyle 2^{n}-1}$ som ${\displaystyle n}$ stycken ettor.

Det är okänt huruvida det existerar ett oändligt antal Mersenneprimtal. Hittills har över 50 Mersenneprimtal hittats. De största av dessa är också de största kända primtalen, med flera miljoner siffror. Anledningen till att så stora Mersenneprimtal kunnat bestämmas är att det finns en särskilt effektiv algoritm för att avgöra om tal på den här formen är prima, nämligen Lucas-Lehmers test. Det största kända Mersenneprimtalet, fram till 12 oktober 2024, är 2^{82 589 933}-1. Det upptäcktes den 7 december 2018 av Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) och har 24 862 048 siffror. Ett ännu längre upptäcktes alltså den 12 oktober 2024 av Luke Durant. Det är 2^{136 279 841} -1, ett tal som innehåller 41 024 320 siffror.^[1]

De största kända primtalen är av Mersennetyp, men det är mycket sällsynt att Mersennetal är primtal. Till exempel så ger exponenten 4 talet 15, (2⁴ - 1 = 15), som är ett sammansatt tal. Detta förhållande gäller för samtliga jämna exponenter större än 2, eftersom exponenten då kan skrivas som 2j och Mersennetalet faktoruppdelas enligt modellen 2^2j - 1 = (2^j + 1)(2^j - 1).

Resultatet kan generaliseras: Mersennetalet är ett primtal endast om exponenten är ett primtal. Ett nödvändigt men ej tillräckligt villkor för att ett Mersennetal skall vara ett primtal är, att exponenten är ett primtal. Exempelvis är 2¹¹ - 1 = 2 047 inget primtal, ty 2 047 = 23·89.

Länge fanns en hypotes om att Mersennetal med Mersenneprimtal som exponent var primtal, vilket stämmer för 2⁷ - 1, 2³¹ - 1 och 2¹²⁷ - 1. Eftersom 2¹³ - 1 (8 191) är ett primtal borde enligt denna förmodan också 2⁸¹⁹¹ - 1 (2 466-siffrigt) vara det. Detta antagande visade sig vara falskt när man kunde undersöka talet med dator.

Flera liknande primtalshypoteser har sett dagens ljus, men samtliga har kunnat förpassas till papperskorgen. Det finns således ingen allmän tumregel eller "formel", med vilken man kan vaska fram Mersenneprimtal.

Det är relativt lätt att avgöra om ett Mersennetal är ett primtal eller inte.

Bortsett från några specialfall (de tal som slutar på 0, 5 eller är jämna, liksom de vars siffersumma är jämnt delbar med 3, kan till exempel inte vara primtal) finns inga "enkla" sätt att avgöra om ett godtyckligt tal är ett primtal. Även om det i det allmänna fallet finns bättre metoder än att tillgripa testdivision med samtliga primtal upp till kvadratroten ur talet, så krävs ofta ett enormt räknearbete för att kontrollera primtalsegenskapen.

För Mersennetal finns dock en enklare metod. På dessa kan man applicera det kriterium, som den franske matematikern Édouard Lucas uppställde i slutet av 1800-talet:

Bilda talföljden

L₀ = 4,

L_i+1 = L_i² - 2 mod 2^p - 1.

För ett primtal p > 2 är 2^p - 1 ett primtal om och endast om L_p-2 = 0, det vill säga om Mersennetalet går jämnt upp i termen med ordningsnumret p-2.

Också denna metod kräver ett mycket stort räknearbete för Mersennetal som består av tiotusentals (och ännu fler) siffror, men i motsats till de algoritmer som måste användas i det allmänna fallet för att avgöra om ett tal är primtal eller inte är den praktiskt utförbar.

Före datoråldern (med andra ord fram till början av 50-talet) kände man till 12 Mersenneprimtal, av vilka det största var 2¹²⁷ - 1 (39-siffrigt), och man visste inte om det existerade några fler primtal i denna familj.

*⁾ Det är inte känt om det finns några oupptäckta Mersenneprimtal mellan det 48:e (M _{57 885 161} ) och det 52:a (M_{136 279 841}) i den här tabellen. Därför kanske ordningsnumren 49–52 inte stämmer.

• Great Internet Mersenne Prime Search

• Wikimedia Commons har media som rör Mersenneprimtal.
  Bilder & media
• ”Mersenne Primes: History, Theorems and Lists” (på engelska). The University of Tennessee at Martin. http://primes.utm.edu/mersenne/index.html.