Функціональний ряд

Функціональний ряд — ряд, кожен член якого є деякою функцією від однієї чи багатьох незалежних змінних.

Сума вигляду

${\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{k}(x)+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).}$

називається функціональним рядом відносно незалежної змінної ${\displaystyle x}$, а

послідовність функцій ${\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ відповідно — функціональною послідовністю.

Важливе значення у математиці мають функціональні ряди спеціального вигляду, такі як степеневі, коли функція ${\displaystyle u_{k}(x)=a_{k}(x-x_{0})^{k},x_{0},a_{k}\in \mathbb {R} ,}$ (зокрема, ряд Тейлора та ряд Лорана) та тригонометричні ряди, ${\displaystyle u_{k}(x)=a_{k}\sin(kx)+b_{k}\cos(kx),a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} ,}$ (наприклад, ряд Фур'є).

Нехай задана послідовність функцій ${\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ (взагалі кажучи комплекснозначних) на деякій підмножині ${\displaystyle D}$ евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

${\displaystyle u_{k}(x):D\mapsto \mathbb {C} ,\quad D\subseteq \mathbb {R} ^{n},~~k\in \mathbb {N} .}$

Функціональна послідовність ${\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ збігається в точці ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, якщо, відповідно збігається числова послідовність ${\displaystyle \{{u_{k}}(x_{0})\},k\in \mathbb {N} ,}$, тобто існує ${\displaystyle \lim \nolimits _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x_{0})=u_{0}.}$ Очевидно, що ця границя залежить від вибору точки ${\displaystyle x_{0}}$, тобто є деякою функцією.

Функціональна послідовність ${\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ збігається поточково на множині ${\displaystyle D}$ до функції ${\displaystyle u(x)}$, якщо вона збігається в кожній точці цієї множини. Іншими словами

${\displaystyle \forall x\in D\;\;\;\exists \lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)=u(x).}$

Функціональна послідовність ${\displaystyle \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ збігається рівномірно на множині ${\displaystyle D}$ до функції ${\displaystyle u(x)}$, якщо

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\sup \mid u_{k}(x)-u(x)\mid \longrightarrow 0,~~x\in D.}$

Факт рівномірної збіжності послідовності ${\displaystyle \ \{{u_{k}}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ до функції ${\displaystyle u(x)}$ записується так: ${\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}$.

Функціональна послідовність ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ є рівномірно збіжною на множині ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \forall m,n:m,n>N\quad |u_{n}(x)-u_{m}(x)|<\varepsilon .}$

Справедливі такі твердження: а) Якщо ${\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}$, ${\displaystyle v_{k}(x)\rightrightarrows v(x)}$ на ${\displaystyle D}$, то ${\displaystyle (u_{k}(x)\pm v_{k}(x))\rightrightarrows (u(x)\pm v(x))}$;

б) Якщо ${\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}$, а ${\displaystyle g(x):D\rightarrow \mathbb {R} }$ — обмежена функція, то ${\displaystyle g(x)u_{k}(x)\rightrightarrows g(x)u(x)}$.

Нехай ${\displaystyle S_{n}(x)=\sum \nolimits _{k=1}^{n}u_{k}(x)}$ — n-на частинна сума ряду ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$, ${\displaystyle x\in D\subset \mathbb {R} }$.

Ряд збігається поточково до функції ${\displaystyle S(x)}$, якщо послідовність ${\displaystyle \{S_{n}(x)\},n\in \mathbb {N} ,}$ його частинних сум збігається поточково до ${\displaystyle S(x)}$.

Ряд збігається рівномірно, якщо послідованість ${\displaystyle S_{n}(x)}$ його частинних сум збігається рівномірно, ${\displaystyle S_{n}(x)\rightrightarrows S(x)}$.

Функція ${\displaystyle S(x)}$ називається сумою ряду ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$,

${\displaystyle S(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x).}$

Множина тих точок ${\displaystyle E\subset D}$, для яких ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ збігається, називається областю збіжності ряду.

Якщо ряд є рівномірно збіжним у деякій області, то він, очевидно, є поточково збіжним у цій області. Навпаки невірно.

Твердження 1. Поточково збіжний функціональний ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ є рівномірно збіжним на ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|<\varepsilon .}$

або, що те саме

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in D}\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }u_{k}(x)\right|=0.}$

Для того, щоб ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ збігався рівномірно на ${\displaystyle D}$ необхідно, щоб ${\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows 0}$ на ${\displaystyle D}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$.

Ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ є рівномірно збіжним на ${\displaystyle D}$ тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad \forall p\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\quad \left|\sum _{k=n}^{n+p}u_{k}(x)\right|<\varepsilon .}$

Ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ називається абсолютно збіжним на ${\displaystyle D}$, якщо для будь-якого ${\displaystyle x\in D}$ ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }|{u_{k}}(x)|}$ збігається.

Довільна перестановка членів абсолютно збіжного ряду не впливає на його суму.

Якщо ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ збігається, а ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }|u_{k}(x)|}$ — розбіжний, то ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ називається умовно збіжним. Для таких рядів справделива Теорема Рімана про умовно збіжний ряд.

Нехай

1) ряди ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ та ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)}$ такі, що ${\displaystyle |u_{k}(x)|\leqslant v_{k}(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in D}$;

2) ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)}$ рівномірно збіжний на ${\displaystyle D}$.

Тоді ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ абсолютно та рівномірно збіжний на ${\displaystyle D}$.

Ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }v_{k}(x)}$ називається мажоруючим рядом по відношенню до ряду ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$.

Наслідок (мажорантна ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду)

Якщо члени функціонального ряду ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ задовольняють умову

${\displaystyle \forall x\in D\quad \forall k\in \mathbb {N} \quad |u_{k}(x)|\leqslant c_{k},\quad c_{k}\in \mathbb {R} ,}$

причому

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c_{k}<+\infty ,}$

то цей ряд є абсолютно та рівномірно збіжним на ${\displaystyle D}$.

Нехай функції ${\displaystyle u_{k}(x)}$ та ${\displaystyle v_{k}(x),k\in \mathbb {N} ,}$ визначені на множині ${\displaystyle D}$, причому

1) послідовність частинних сум ${\displaystyle S_{n}(x)=\sum \nolimits _{k=1}^{n}u_{k}(x)}$ обмежена, тобто

${\displaystyle \exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)\right|\leqslant M;}$

2) послідовність функцій ${\displaystyle \{v_{k}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ монотонна, тобто ${\displaystyle v_{k}(x)\geqslant v_{k+1}(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in D}$ , та ${\displaystyle v_{k}(x)\rightrightarrows 0}$.

Тоді ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)v_{k}(x)}$ рівномірно збіжний на множині ${\displaystyle D}$.

Нехай

1) ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle D}$;

2) послідовність ${\displaystyle \{v_{k}(x)\},k\in \mathbb {N} ,}$ монотонна та обмежена на ${\displaystyle D}$, тобто

${\displaystyle \exists M>0\quad \forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in D\qquad \left|v_{k}(x)\right|\leqslant M.}$

Тоді ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)v_{k}(x)}$ рівномірно збіжний на множині ${\displaystyle D}$.

Теорема 1. (про граничний перехід)

Нехай ${\displaystyle u_{k}(x)\rightrightarrows u(x)}$ на деякому проміжку ${\displaystyle (a,b)\subseteq \mathbb {R} }$ та існує скінченна границя

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)=c_{k},\quad k=1,2,\ldots ,}$

Тоді послідовність ${\displaystyle \{c_{k}\}}$ збіжна і

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}u(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }c_{k}.}$

Іншими словами

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\left(\lim _{x\rightarrow c}u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}\left(\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow c}u(x).}$

Наслідок

Границя рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій є неперервною функцією.

Теорема 2. (про неперервність суми функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ рівномірно збігається на множині ${\displaystyle D}$ до функції ${\displaystyle S(x)}$, а його члени ${\displaystyle u_{k}(x)}$ — неперервні на цій множині функції, то його сума ${\displaystyle S(x)}$ є неперервною на ${\displaystyle D}$ функцією, тобто

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}S(x)=S(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x_{0})=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}u_{k}(x)\right).}$

Нехай ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$. Якщо послідовність ${\displaystyle \{u_{k}\}}$ неперервних на ${\displaystyle [a,b]}$ функцій при кожному ${\displaystyle x\in [a,b]}$ незростаюча (або неспадна) і збігається поточково до ${\displaystyle u(x)}$, де ${\displaystyle u(x)}$ неперервна на ${\displaystyle [a,b]}$, то така збіжність є рівномірною.

Наслідок

Якщо ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ збігається (поточково) на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ до неперервної функції ${\displaystyle S(x)}$, а функції ${\displaystyle u_{k}(x)}$ — неперервні, причому ${\displaystyle u_{k}(x)>0}$ для всіх ${\displaystyle x\in [a,b]}$, то ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ збігається рівномірно на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle S(x)}$.

Теорема 3. (про граничний перехід під знаком інтеграла)

Нехай ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$. Якщо послідовність ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ інтегровних за Ріманом (Лебегом) на ${\displaystyle [a,b]}$ функцій рівномірно збігається до функції ${\displaystyle u(x)}$, то функція ${\displaystyle u(x)}$ інтегровна за Ріманом (Лебегом) і

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u(x)dx=\lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx.}$

Для інтеграла в сенсі Лебега встановлено загальніший результат, який не має аналогу для інтеграла Рімана, а саме — Теорема Лебега про мажоровану збіжність.

Теорема 4. (про інтегрування функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ рівномірно збігається на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle S(x)}$, а його члени ${\displaystyle u_{k}(x)}$ — неперервні на цьому відрізку функції, то

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\int \limits _{a}^{b}S(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\left(\int \limits _{a}^{b}u_{k}(x)dx\right).}$

Теорема 5. (про диференціювання під знаком границі)

Нехай ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$. Якщо послідовність ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ неперервно диференційовних на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ функцій є поточково збіжною до функції ${\displaystyle u(x)}$, а послідовність їх похідних ${\displaystyle \{u_{k}^{\prime }(x)\}}$ — рівномірно збіжною на ${\displaystyle [a,b]}$ до деякої функції ${\displaystyle g(x)}$, то функція ${\displaystyle u(x)}$ є неперервно диференційовною на ${\displaystyle [a,b]}$, а її похідна дорівнює границі послідовності похідних

${\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad u^{\prime }(x)=g(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }u_{k}^{\prime }(x).}$

Теорема 6. (про диференціювання функціонального ряду)

Якщо функціональний ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$, у якому функції ${\displaystyle u_{k}(x)}$ — неперервно диференційовні на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$, збігається хоча б в одній точці ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$, а ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x)}$ — рівномірно збігається на ${\displaystyle [a,b]}$, то ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ також рівномірно збігається на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle S(x)}$, причому

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)^{\prime }=S^{\prime }(x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}^{\prime }(x).}$

При дослідженні питання про інтегрування функціональних рядів, зокрема ряду Фур'є використовується поняття збіжності у середньому.

Нехай кожна функція ${\displaystyle u_{k}(x)}$ функціональної послідовності ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ і функція ${\displaystyle u(x)}$ інтегровні за Ріманом на ${\displaystyle [a,b]}$.

Функціональна послідовність ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ збігається в середньому на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle u(x)}$, якщо

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx=0.}$

Функціональний ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ збігається в середньому на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle S(x)}$, якщо послідовність його частинних сум збігається в середньому на ${\displaystyle [a,b]}$ до граничної функції ${\displaystyle S(x)}$.

Зауваження. Якщо функціональна послідовність (ряд) збігається в середньому на ${\displaystyle [a,b]}$ до ${\displaystyle u(x)(S(x))}$, то ця послідовність (ряд) збігається в середньому до ${\displaystyle u(x)(S(x))}$ і на довільному проміжку ${\displaystyle [c,d]\subset [a,b]}$.

Теорема 7. (про зв'язок між рівномірною збіжністю та збіжністю в середньому)

Якщо послідовність ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle u(x)}$, то ця послідовність збігається в середньому на ${\displaystyle [a,b]}$ до ${\displaystyle u(x)}$.

Теорема 8. (про інтегрування)

Якщо послідовність ${\displaystyle \{u_{k}(x)\}}$ збіжна в середньому на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle u(x)}$, то

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{a}^{x}u_{k}(t)dt\rightrightarrows \int \limits _{a}^{x}u(t)dt,\quad x\in [a,b],}$

тобто послідовність ${\displaystyle \left\{\int _{a}^{x}u_{k}(t)dt\right\}}$ рівномірно збігається на ${\displaystyle [a,b]}$ до функції ${\displaystyle \int _{a}^{x}u(t)dt}$.

Розглянемо послідовність функцій ${\displaystyle f_{k}(z):E\rightarrow \mathbb {C} ,\,k\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {C} }$, та відповідний функціональний ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots ,\quad z\in E.}$

Означення поточкової та рівномірної збіжності аналогічні відповідним означенням із дійсного випадку, в яких модуль слід розуміти як модуль комплексного числа.

Теорема.

Для того, щоб ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$ був збіжним (рівномірно збіжним) на множині ${\displaystyle E}$ до функції ${\displaystyle f(z)}$, необхідно і достатньо, щоб були збіжними (рівномірно збіжними) на множині ${\displaystyle E}$ ряди складені з дійсних та уявних частин функцій ${\displaystyle f_{k}(z)}$, тобто

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x,y)\rightrightarrows u(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad u_{k}(x,y)=\mathrm {Re} f_{k}(z),\quad u(x,y)=\mathrm {Re} f(z),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }v_{k}(x,y)\rightrightarrows v(x,y),\quad z=x+iy\in E,\quad v_{k}(x,y)=\mathrm {Im} f_{k}(z),\quad v(x,y)=\mathrm {Im} f(z).}$

Ця теорема дає змогу перенести на комплексний випадок всі наведені вище теореми з дійсного випадку, зокрема, аналогічно формулюються ознаки рівномірної збіжності, критерій Коші, теореми про неперервність, інтегрування (у якій відрізок інтегрування можна замінити на довільну криву у комплексній площині) та диференціювання функціональних послідовностей та рядів.

Однак деякі результати не мають аналогу у дійсному випадку.

Нехай в області ${\displaystyle G}$ задана послідовність ${\displaystyle \{f_{k}(z)\},\,k\in \mathbb {N} ,}$ аналітичних функцій, і ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$ рівномірно збіжний на кожному замкненому крузі, що лежить в області ${\displaystyle G}$ до деякої функції ${\displaystyle f(z)}$. Тоді:

1) функція ${\displaystyle f(z)}$ аналітична в ${\displaystyle G}$;

2) ряд ${\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$ можна диференціювати довільну кількість разів, тобто

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(n)}(z)=f^{(n)}(z),\quad n\in \mathbb {N} ;}$

3) кожен з рядів у пункті 2 рівномірно збігається на кожному замкненому крузі в області ${\displaystyle G}$.

Нехай ${\displaystyle (X,\;d)}$ — метричний простір з метрикою ${\displaystyle d:=d(x,y),x,y\in X}$.

Послідовність ${\displaystyle \{x_{k}\},k\in \mathbb {N} }$ елементів простору ${\displaystyle (X,\;d)}$ називається збіжною за метрикою цього простору до елемента ${\displaystyle x\in (X,\;d)}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall n:n>N\quad d(x_{k},x)<\varepsilon .}$

Послідовність ${\displaystyle \{x_{k}\},k\in \mathbb {N} }$ елементів простору ${\displaystyle (X,\;d)}$ називається фундаментальною, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n:m,n>N\quad d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .}$

Довільна збіжна послідовність є фундаментальною, але не навпаки (границя фундаментальної послідовності може не належати відповідному простору). Метричний простір у якому кожна фундаментальна послідовність є збіжною називається повним.

Розглянемо множину всіх неперервних на деякій множині ${\displaystyle D}$ дійсних функцій з метрикою

${\displaystyle d_{1}(f,g)=\sup _{x\in D}|f(x)-g(x)|.}$

Відповідний метричний простір позначається ${\displaystyle C(D)}$ (якщо ${\displaystyle D=[a,b]}$ — відрізок, то ${\displaystyle C([a,b])}$ або ${\displaystyle C[a,b]}$), а метрика називається чебишовською або рівномірною.

Збіжність функціональної послідовності за метрикою у цьому просторі еквівалентна рівномірній збіжності. З наслідку теореми 1 (про граничний перехід) випливає, що цей метричний простір є повним, а критерієм фунадментальності послідовності є критерій Коші.

Тепер розглянемо множину всіх неперервних на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ дійсних функцій з метрикою

${\displaystyle d_{2}(f,g)=\left(\int \limits _{a}^{b}(u_{k}(x)-u(x))^{2}dx\right).}$

Такий простір позначається ${\displaystyle C_{2}([a,b])}$ і називається простором неперервних функцій з квадратичною метрикою. Збіжність за метрикою у такому просторі еквівалентна збіжності в середньому. Цей простір не є повним.

• Степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Ряд Лорана
• Ряд Фур'є
• Функція Веєрштраса

• Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с.
• В. М. Кадец. Курс функционального анализа. — Харьков : ХНУ имени В. Н. Каразина, 2006. — 607 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Зорич В. А. Математический анализ. — 9-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 2. — 676 с. — ISBN 978-5-4439-1303-2.(рос.)
• Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учеб. пособие для вузов. — M. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 408 с.