В математиці , гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд :
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!} n {\displaystyle n} -ною частковою сумою s n {\displaystyle s_{n}} гармонічного ряду називається n {\displaystyle n} -не гармонічне число :
s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1,833 s 4 = 25 12 ≈ 2,083 {\displaystyle {\begin{matrix}s_{1}&=&1\\\\s_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\s_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\s_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\end{matrix}}} s 5 = 137 60 ≈ 2,283 s 6 = 49 20 = 2 , 45 s 7 = 363 140 ≈ 2,593 s 8 = 761 280 ≈ 2,718 {\displaystyle {\begin{matrix}s_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\\\\s_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\s_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\s_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\end{matrix}}}
Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 1043 елементів ряду).
Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯ > 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}} Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.
Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна S {\displaystyle ~S} :
∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ = S {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =S} Тоді перегрупувавши доданки одержимо:
S = ( 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ ) + ( 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + ⋯ ) {\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)} Винесемо із других дужок 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} :
S = ( 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ ) + 1 2 ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ ) {\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)} Замінимо вираз в других дужках на S {\displaystyle ~S} :
S = ( 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ ) + 1 2 S {\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}S} Перенесемо 1 2 S {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}S} в ліву частину:
1 2 S = ( 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)} Замінивши S {\displaystyle ~S} сумою ряду одержимо:
1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + ⋯ = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots } Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.
На початок запишемо суму геометричної прогресії :
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...} де |x|<1 .
Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:
− ln ( 1 − x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + . . . {\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...} Перейшовши до границі при x → 1 {\displaystyle x\rightarrow 1} одержуємо рівність:
− lim x → 1 ln ( 1 − x ) = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + . . . = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} . Оскільки − lim x → 1 ln ( 1 − x ) = − ( − ∞ ) = ∞ {\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=-(-\infty )=\infty } , то також має місце ∑ n = 1 ∞ 1 n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }
Тобто гармонічний ряд є розбіжним.
Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма). Ряд ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots } називається знакопереміжним гармонічним рядом . Він умовно збіжний за теоремою Лейбніца , але не абсолютно збіжний . Його сума - логарифм від 2 [en] .[1]
Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π [2] ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}
↑ Freniche, Francisco J. (2010). On Riemann's rearrangement theorem for the alternating harmonic series . The American Mathematical Monthly . 117 (5): 442—448. doi :10.4169/000298910X485969 . JSTOR 10.4169/000298910x485969 . MR 2663251 . ↑ Soddy, F. (1943). The three infinite harmonic series and their sums (with topical reference to the Newton and Leibniz series for π {\displaystyle \pi } ). Proceedings of the Royal Society . 182 : 113—129. doi :10.1098/rspa.1943.0026 . MR 0009207 .