Omotopia

In topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ ad un altro ${\displaystyle Y}$ sono dette omotope (dal greco homos = identico e topos = luogo) se una delle due può essere "deformata con continuità" nell'altra, e tale trasformazione è detta omotopia fra le due funzioni.

Un uso importante dell'omotopia è nella definizione dei gruppi di omotopia (il più importante fra questi è il gruppo fondamentale), invarianti molto importanti per distinguere spazi topologici non omeomorfi e per formalizzare rigorosamente nozioni intuitive quali "il numero di buchi" di uno spazio. L'omotopia definisce una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue da ${\displaystyle X}$ ad ${\displaystyle Y}$.

Formalmente, un'omotopia fra due funzioni continue ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ da uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ a uno spazio topologico ${\displaystyle Y}$ è una funzione continua ${\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y}$ dal prodotto dello spazio ${\displaystyle X}$ con l'intervallo unitario ${\displaystyle [0,1]}$ a ${\displaystyle Y}$ tale che, per tutti i punti ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$ e ${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$.

Se pensiamo al secondo parametro di ${\displaystyle H}$ come il "tempo", allora ${\displaystyle H}$ descrive una "deformazione continua" di ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle g}$: al tempo ${\displaystyle 0}$ abbiamo la funzione ${\displaystyle f}$, al tempo ${\displaystyle 1}$ abbiamo la funzione ${\displaystyle g}$.

Due funzioni continue ${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ qualsiasi fra spazi euclidei sono omotope. Si può infatti trasformare con continuità l'una nell'altra con la seguente omotopia:

${\displaystyle G\colon \mathbb {R} ^{n}\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle G(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)}$

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni ${\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} ^{m}}$ definite su uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ arbitrario. Notiamo che, anche se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono iniettive, la "deformazione al tempo ${\displaystyle t}$" data da ${\displaystyle tf(x)+(1-t)g(x)}$ può non essere iniettiva.

Essere omotopi è una relazione di equivalenza sull'insieme di tutte le funzioni continue da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$. Questa relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni in questo senso: se ${\displaystyle f_{1},g_{1}\colon X\to Y}$ sono omotope, e ${\displaystyle f_{2},g_{2}\colon Y\to Z}$ sono omotope, allora anche le loro composizioni ${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}\colon X\to Z}$ e ${\displaystyle g_{2}\circ g_{1}\colon X\to Z}$ sono omotope.

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è detta omotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante. Se ${\displaystyle Y}$ è connesso per archi, le funzioni costanti da ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$ sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi ${\displaystyle X}$ per cui ogni funzione continua ${\displaystyle f\colon X\to X}$ è omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo è contrattile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere "contratto ad un punto" in modo continuo.

Uno spazio ${\displaystyle X}$ è contrattile se e solo se la applicazione identica da ${\displaystyle X}$ in sé è omotopicamente nulla.

Dati due spazi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ e ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tali che ${\displaystyle g\circ f}$ è omotopa alla funzione identità ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ su ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle f\circ g}$ è omotopa alla funzione identità ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}}$ su ${\displaystyle Y}$. Le applicazioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono dette equivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio ${\displaystyle X}$ è contrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico ${\displaystyle P}$ fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni omeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero: uno spazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

Intuitivamente, due spazi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l'uno nell'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una palla è omotopicamente equivalente ad un punto, mentre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ è omotopicamente equivalente alla circonferenza ${\displaystyle S^{1}}$.

Uno spazio omotopicamente equivalente a un punto è detto contrattile o contraibile. Esempi di spazi contraibili sono la palla ${\displaystyle n}$-dimensionale e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, per qualsiasi ${\displaystyle n}$. Un altro esempio è la superficie dell'ipersfera ${\displaystyle S^{n}}$ per ${\displaystyle n}$ dispari, che possiede una caratteristica di Eulero ${\displaystyle \chi =0}$, pari a quella del punto (per ${\displaystyle n}$ pari, la caratteristica vale ${\displaystyle 2}$, come quella della superficie sferica).

Molte delle proprietà invarianti per omeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia. Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono omotopicamente equivalenti, allora

• se ${\displaystyle X}$ è connesso, allora lo è anche ${\displaystyle Y}$
• se ${\displaystyle X}$ è connesso per archi, allora lo è anche ${\displaystyle Y}$
• se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono connessi per archi, allora i gruppi fondamentali di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono isomorfi, così come i gruppi di omotopia superiori.
• in particolare, se ${\displaystyle X}$ è semplicemente connesso, allora lo è anche ${\displaystyle Y}$
• i gruppi di omologia e di coomologia di ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono isomorfi
• il genere di una superficie è invariante per omotopia.

In particolare, uno spazio contraibile è semplicemente connesso. Non vale il contrario: la sfera ${\displaystyle S^{n}}$ è semplicemente connessa per ogni ${\displaystyle n}$ maggiore di 1 e non contraibile.

D'altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Esistono esempi di spazi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ omotopicamente equivalenti dove:

• ${\displaystyle X}$ è compatto e ${\displaystyle Y}$ no (${\displaystyle X}$ è un punto e ${\displaystyle Y}$ uno spazio euclideo)
• ${\displaystyle X}$ è una varietà topologica o differenziabile e ${\displaystyle Y}$ no
• ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono varietà topologiche di dimensioni diverse
• ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ hanno omologia a supporto compatto diversa

Più in astratto, si può ricorrere ai concetti della teoria delle categorie. Si può definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un invariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (risp. omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il gruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica, la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodità tecnica.

È necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono applicazioni continue da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle K}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$, allora diciamo che ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono omotope relativamente a ${\displaystyle K}$ se esiste una omotopia ${\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to Y}$ tra ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ tale che ${\displaystyle H(k,t)=f(k)=g(k)}$ per ogni ${\displaystyle k\in K}$ e ${\displaystyle t\in [0,1]}$.

Nel caso in cui le due funzioni continue date ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ dallo spazio topologico ${\displaystyle X}$ allo spazio topologico ${\displaystyle Y}$ siano un omeomorfismo con l'immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da ${\displaystyle X}$ alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse 'attraverso omeomorfismi con l'immagine'. Questo dà origine al concetto di isotopia, cioè una omotopia ${\displaystyle H}$ (nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni ${\displaystyle t}$ fissato, ${\displaystyle H(x,t)}$ è un omeomorfismo sull'immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia. Ad esempio:

• l'applicazione dal disco unitario in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ definita da ${\displaystyle f(x,y)=(-x,-y)}$, che consiste in una rotazione di 180 gradi rispetto all'origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo ${\displaystyle \alpha }$ con ${\displaystyle \alpha }$ che varia da 0 gradi a 180
• l'applicazione dall'intervallo ${\displaystyle [-1,1]}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definita da ${\displaystyle f(x)=-x}$ non è isotopa all'identità! (d'altro canto, tutte le mappe a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sono omotope, perché ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è contrattile)
• In generale, l'applicazione dalla palla in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definita da ${\displaystyle f(v)=-v}$ è isotopa all'identità se e solo se ${\displaystyle n}$ è pari: questo perché per ${\displaystyle n}$ dispari tale mappa cambia l'orientazione della palla.

Una isotopia ambiente di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è una isotopia fra la funzione identità ${\displaystyle \mathrm {id} \colon X\to X}$ ed un altro omeomorfismo ${\displaystyle f\colon X\to X}$.

L'isotopia ambiente è usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella teoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi ${\displaystyle K_{1}}$ e ${\displaystyle K_{2}}$ in uno spazio a tre dimensioni. L'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità ${\displaystyle \mathrm {id} \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ed un omeomorfismo ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$ che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che ${\displaystyle f(K_{1})=K_{2}}$.

• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7.
• Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.
• M.A. Armstrong, Basic Topology, Springer, 1979, ISBN 0-387-90839-0.
• Edwin Spanier, Algebraic Topology, Springer, December 1994, ISBN 0-387-94426-5.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su omotopia

• (EN) Robert Osserman, homotopy, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Omotopia, su MathWorld, Wolfram Research.

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