この記事は
英語版の対応するページ を翻訳することにより充実させることができます。 (2022年11月 ) 翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。
英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン (Google翻訳)。 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3 に基づき、削除される可能性があります。 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。 履歴継承 を行うため、要約欄 に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入 を参照ください。 翻訳後、{{翻訳告知 |en|Inverse-gamma distribution|…}}
をノート に追加することもできます。 Wikipedia:翻訳のガイドライン に、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。
逆ガンマ分布 (ぎゃくガンマぶんぷ、英語 : inverse gamma distribution )は連続確率分布 の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布 に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。
定義と性質 [ 編集 ] 逆ガンマ関数の確率密度関数 は形状母数 (英語版 ) α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 、尺度母数 (英語版 ) β > 0 {\displaystyle \beta >0} で、台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} の上で
f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}} と定義される[1] 。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ関数 である。尺度母数について
f ( x ; α , β ) = 1 β f ( x / β ; α , 1 ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)} である。逆ガンマ分布の累積分布関数 は次のように表される。
F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}} ここで分子の Γ {\displaystyle \Gamma } は不完全ガンマ関数 である。
モーメント [ 編集 ] α > n {\displaystyle \alpha >n} の場合、 n {\displaystyle n} 次のモーメント は
E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − n ) ⋯ ( α − 1 ) {\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}} である[2] 。 期待値 と分散 はそれぞれ
E [ X ] = β α − 1 ( α > 1 ) , V [ X ] = β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 ( α > 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}} である。
他の分布との関係 [ 編集 ] I n v G a m m a ( α , 1 / 2 ) {\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/2)} は I n v C h i 2 ( 2 α ) {\displaystyle {\mathsf {InvChi2}}(2\alpha )} (逆カイ二乗分布 (英語版 ) ) I n v G a m m a ( 1 / 2 , β ) {\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(1/2,\beta )} は L e v y ( 0 , 2 β ) {\displaystyle {\mathsf {Levy}}(0,2\beta )} (レヴィ分布 ) X ∼ G a m m a ( α , θ ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\theta )} (ガンマ分布 、 θ {\displaystyle \theta } はガンマ分布にとっての尺度母数)ならば 1 / X ∼ I n v G a m m a ( α , 1 / θ ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\theta )} 注意: X ∼ G a m m a ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\beta )} (ガンマ分布 、 β {\displaystyle \beta } はガンマ分布にとってのrate parameter (英語版 ) )ならば 1 / X ∼ I n v G a m m a ( α , β ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,\beta )} X ∼ I n v G a m m a ( 1 , β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {InvGamma}}(1,\beta )} ならば 1 / X ∼ E x p ( β ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )} (指数分布 ) 参考文献 [ 編集 ] Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer. Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR 1825758 . Zbl 1263.62022 . 関連項目 [ 編集 ] 離散単変量で 有限台 離散単変量で 無限台 連続単変量で 有界区間に台を持つ 連続単変量で 半無限区間に台を持つ 連続単変量で 実数直線全体に台を持つ 連続単変量で タイプの変わる台を持つ 混連続-離散単変量 多変量 (結合) 方向 退化 と特異 族 サンプリング法 (英語版 )