Числа Армстронга

Самозакохане число (англ. pluperfect digital invariant, PPDI), або число Армстронга — натуральне число, яке в даній системі числення дорівнює сумі своїх цифр, піднесених до степеня, що дорівнює кількості його цифр. Іноді щоб вважати число таким, достатньо, щоб степені, до яких підносяться цифри, були рівні m — тоді число можна назвати m-самозакоханим $407=4^{3}+0^{3}+7^{3}$ .

Наприклад, десяткове число 153 — число Армстронга, тому що:

1³ + 5³ + 3³ = 153

Формальне визначення

Нехай $n=\sum _{i=1}^{k}d_{i}b^{i-1}$ — число, що записується $d_{k}d_{k-1}...d_{1}$ в системі числення з основою b.

Якщо при деякому m трапиться так, що $n=\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}^{m}$ , то n є m-самозакоханим числом. Якщо, понад те, $m=k$ , то n можна назвати справжнім числом Армстронга.

Очевидно, що при будь-якому m може існувати лише скінченне число m-самозакоханих чисел, оскільки, починаючи з деякого k $k\cdot 9^{k}<10^{k-1}-1$ .

Згадки в літературі

У «Апології математика^[en]» (англ. A Mathematician's Apology), Ґ. Гарді писав:

«Є лише чотири числа, крім одиниці, які дорівнюють сумі кубів своїх цифр:
$153=1^{3}+5^{3}+3^{3}$
$370=3^{3}+7^{3}+0^{3}$
$371=3^{3}+7^{3}+1^{3}$
і $407=4^{3}+0^{3}+7^{3}$ .

Це незвичайний факт дуже зручний для головоломних розділів у газетах і для розваги зацікавлених, але в ньому немає нічого, що б приваблювало до нього математиків»