Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — цілочисельна послідовність, названа на честь німецького математика Е. Е. Якобсталя^[ru].

Як і числа Фібоначчі, числа Якобсталя — одна з послідовностей Люка

${\displaystyle U_{n}(P,Q),}$

для якої P = 1 і Q = −2^[1]. Послідовність починається з чисел^[1][2]

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя визначаються рекурентним відношенням^[1][2]

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}}$

Інші варіанти рекурентного задання послідовності^[2]:

• ${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}}$
• ${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}}$

Число Якобсталя за заданим номером можна обчислити за формулою^[1][2]

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

Числа Якобсталя — Люка являють собою послідовність Люка ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$. Вони задовольняють тим самим рекурентним співвідношенням, що й числа Якобсталя, але відрізняються початковими значеннями^[1]:

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}}$

Альтернативна формула^[3]:

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.}$

Число Якобсталя — Люка за заданим номером можна обчислити за формулою^[3]

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.}$

Послідовність Якобсталя — Люка починається числами^[1][3]

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, ….

• A. F. Horadam (1994-05). Jacobsthal representation numbers (PDF) (англ.).
• Paul Barry (2003-04). Triangle Geometry and Jacobsthal Numbers (PDF) (англ.). Irish Math. Soc. Bulletin.
• Zvonko Čerin (2007). Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers (PDF) (англ.). Т. 10. Journal of Integer Sequences.

• послідовність A001045 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS - числа Якобсталя
• послідовність A049883 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS - прості числа Якобсталя