Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen:

• in der Kristallographie, wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch Kristallklassen genannt und inzwischen hauptsächlich mit Hilfe der Hermann-Mauguin-Symbolik bezeichnet werden,
• in der Molekülphysik, wo die Punktgruppen mit Hilfe der Schoenflies-Notation bezeichnet werden.

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei

• gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und
• ungerade Bewegungen, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

In den Punktgruppen des dreidimensionalen, euklidischen Vektorraums sind Symmetrieoperationen möglich, die mindestens einen Fixpunkt besitzen:

• Identität
• Punktspiegelung an einem Inversionszentrum
• Ebenenspiegelung
• Drehung um eine Drehachse

sowie die Kopplung aus Drehung und Punktspiegelung:

• Drehinversion.

Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können nicht Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt

• kontinuierliche Punktgruppen. Sie werden auch Curie-Gruppen genannt und bestehen aus
  • den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und
  • den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen);
• diskrete Punktgruppen. Sie lassen sich einteilen in:
  • diskrete Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie können mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein, dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

Gruppe	Gruppensymbol (Schönflies)	Erläuterung
Drehgruppe	Cn	Eine n-zählige Drehachse
	Cnv	1 Cn-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene)
	Cnh	1 Cn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene)
Diedergruppe	Dn	1 Cn-Achse + n C2-Achsen senkrecht dazu
	Dnd	1 Dn-Achse + n Spiegelebenen, die die Dn-Achse und eine Winkelhalbierende der C2-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene)
	Dnh	1 Dn-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Drehspiegelgruppe	Sn	1 n-zählige Drehspiegelachse

Für einzelne dieser Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

• ${\displaystyle C_{S}\equiv C_{1v}\equiv C_{1h}\equiv S_{1}}$ (${\displaystyle S=}$ Spiegelung)
• ${\displaystyle C_{i}\equiv S_{2}}$ (${\displaystyle i=}$ Inversion, d. h. Punktspiegelung)

• diskrete Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper:
  • Die Tetraedergruppen: ${\displaystyle T,T_{d},T_{h}}$. Dabei entspricht ${\displaystyle T_{d}}$ der vollen Symmetrie eines Tetraeders.
  • Die Oktaedergruppen: ${\displaystyle O,O_{h}}$. Dabei entspricht ${\displaystyle O_{h}}$ der vollen Symmetrie eines Oktaeders bzw. Hexaeders.
  • Die Ikosaedergruppen: ${\displaystyle I,I_{h}}$. Dabei entspricht ${\displaystyle I_{h}}$ der vollen Symmetrie eines Ikosaeders bzw. Dodekaeders.

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Hier kommen zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.

Dagegen genügen zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind. Streicht man also in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen sowie die Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen, so erhält man die geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls.

Als Kristallklassen bzw. kristallographische Punktgruppen kommen daher nur diejenigen dreidimensionalen Punktgruppen in Frage, deren Symmetrien mit einem dreidimensional unendlich ausgedehnten (Kristall-)Gitter vereinbar sind. Dies ist bei den Punktgruppen der Fall, die ausschließlich 1-, 2-, 3-, 4- und/oder 6-zählige Drehachsen (d. h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60°) und/oder Drehinversionsachsen (d. h. Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° bzw. 60° mit jeweils daran gekoppelter Punktspiegelung; die 2-zählige Drehinversionsachse 2 führt dabei zum selben Ergebnis wie eine Ebenenspiegelung, weshalb für diese das Symbol m für eine Spiegelebene verwendet wird) enthalten. Folgende 32 Punktgruppen erfüllen die vorgenannten Bedingungen:

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen ${\displaystyle T}$ einer Raumgruppe ${\displaystyle R}$ bilden einen Normalteiler von ${\displaystyle R}$. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe ${\displaystyle R/T}$ isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, d. h. seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle; dagegen kommen sowohl bei Molekülen als auch bei Festkörpern in den Quasikristallen solche Drehachsen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall war das Verbot als für Kristalle universell gültig angenommen worden.^[1]

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen und Molekülsymmetrie

Schoenflies	Hermann-Mauguin	Symmetrieelemente	Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C1	${\displaystyle 1\ }$	I/E = C1	CHFClBr, SOBrCl
Cs ≡ S1	${\displaystyle m\ }$	σ ≡ S1	BFClBr, SOCl2
Ci ≡ S2	${\displaystyle {\bar {1}}}$	i ≡ S2	1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C2	${\displaystyle 2\ }$	C2	H2O2, S2Cl2
C3	${\displaystyle 3\ }$	C3	Triphenylmethan, N(GeH3)3
C4	${\displaystyle 4\ }$	C4
C5	${\displaystyle 5\ }$	C5	15-Krone-5
C6	${\displaystyle 6\ }$	C6	α-Cyclodextrin
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C2v ≡ D1h	${\displaystyle 2mm\ }$	C2, 2σv	H2O, SO2Cl2, o-/m-Dichlorbenzol
C3v	${\displaystyle 3m\ }$	C3, 3σv	NH3, CHCl3, CH3Cl, POCl3
C4v	${\displaystyle 4mm\ }$	C4, 4σv	SF5Cl, XeOF4
C5v	-	C5, 5σv	Corannulen, C5H5In
C6v	${\displaystyle 6mm\ }$	C6, 6σv	Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C∞v	-	C∞, ∞σv	lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C2h ≡ D1d ≡ S2v	${\displaystyle 2/m\ }$	C2, σh, i	Oxalsäure, trans-Buten
C3h ≡ S3	${\displaystyle 3/m\ }$	C3, σh	Borsäure
C4h	${\displaystyle 4/m\ }$	C4, σh, i	Polycycloalkan C12H20
C6h	${\displaystyle 6/m\ }$	C6, σh, i	Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S4	${\displaystyle {\bar {4}}}$	S4	12-Krone-4, Tetraphenylmethan, Si(OCH3)4
S6 ≡ C3i	${\displaystyle {\bar {3}}}$	S6	18-Krone-6, Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D2 ≡ S1v	${\displaystyle 222\ }$	3C2	Twistan
D3	${\displaystyle 32\ }$	C3, 3C2	Tris-chelatkomplexe
D4	${\displaystyle 422\ }$	C4, 4C2	-
D6	${\displaystyle 622\ }$	C6, 6C2	Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D2h	${\displaystyle mmm\ }$	S2, 3C2, 2σv, σh, i	Ethen, p-Dichlorbenzol
D3h	${\displaystyle {\bar {6}}2m}$	S3, C3, 3C2, 3σv, σh	BF3, PCl5
D4h	${\displaystyle 4/mmm\ }$	S4, C4, 4C2, 4σv, σh, i	XeF4
D5h	-	S5, C5, 5C2, 5σv, σh	IF7
D6h	${\displaystyle 6/mmm\ }$	S6, C6, 6C2, 6σv, σh, i	Benzol
D∞h	-	S2, C∞, ∞C2, ∞σv, σh, i	lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D2d ≡ S4v	${\displaystyle {\bar {4}}2m\ }$	S4, 2C2, 2σd	Propadien, Cyclooctatetraen, B2Cl4
D3d ≡ S6v	${\displaystyle {\bar {3}}m\ }$	S6, C3, 3C2, 3σd, i	Cyclohexan
D4d ≡ S8v	-	S8, C4, 4C2, 4σd	Cyclo-Schwefel (S8)
D5d ≡ S10v	-	S10, C5, 5C2, 5σd	Ferrocen
Tetraedergruppen
T	${\displaystyle 23\ }$	4C3, 3C2	Pt(PF3)4
Th	${\displaystyle m3}$	4S6, 4C3, 3C2, 3σh, i	Fe(C6H5)6
Td	${\displaystyle {\bar {4}}3m}$	3S4, 4C3, 3C2, 6σd	CH4, P4, Adamantan
Oktaedergruppen
O	${\displaystyle 432\ }$	3C4, 4C3, 6C2	-
Oh	${\displaystyle m3m\ }$	4S6, 3S4, 3C4, 4C3, 6C2, 3σh, 6σd, i	SF6, Cuban
Ikosaedergruppen
I	-	12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2	-
Ih	-	12S10, 10S6, 6C5, 10C3, 15C2, 15σv, i	Fulleren-C60, Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
räumliche Drehgruppen SO(3)
Kh	-	∞C∞, ∞σ, i	einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben.

Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors bzw. der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

1. In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.
2. Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe, der im Allgemeinen 3⁴ = 81 Komponenten hat. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten:

• C₁₁₁₁ (= C₂₂₂₂ = C₃₃₃₃)
• C₁₁₂₂ (= C₂₂₃₃ = C₁₁₃₃) und
• C₁₂₁₂ (= C₁₃₁₃ = C₂₃₂₃);

alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls bzw. Kristalls die Anzahl der infrarot- und raman-aktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Kristallographie

• Joachim Bohm, Detlef Klimm, Manfred Mühlberg, Björn Winkler (Hrsg.): Will Kleber: Einführung in die Kristallographie. 20. Auflage. De Gruyter, Berlin/Boston 2021, ISBN 978-3-11-046023-0, S. 56–82. 
• Theo Hahn, Helmut Klapper: Crystallographic and noncrystallographic point groups. In: Mois I. Aroyo (Hrsg.): International Tables for Crystallography. 6. Auflage. Volume A: Space-group symmetry. Wiley, New York 2016, ISBN 978-0-470-97423-0, S. 720–737. 
• Frank Hoffmann: Faszination Kristalle und Symmetrie – Einführung in die Kristallographie. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-658-09581-9, S. 108–127. 

Molekülphysik

• Wolfgang Demtröder: Molekülphysik. Oldenbourg, München 2003, ISBN 3-486-24974-6. 
• J. Michael Hollas: Die Symmetrie von Molekülen, Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7.

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• Definition der Punktgruppe (IUCr, engl.)
• Geometrische Kristallklasse (IUCr, engl.)

1. ↑ The Nobel Prize in Chemistry 2011. In: Nobelprize.org. Abgerufen am 21. Oktober 2011 (englisch).