累積カイ二乗検定

累積カイ二乗検定(るいせきかいじじょうけんてい、累積カイ二乗法、英:Cumulative chi-squared test)は統計学における仮説検定の一種である。東京大学の竹内啓、広津千尋らによって1966年に田口玄一が導入した累積法^[1]を修正して1979年に提案された^[2]統計学的仮説検定法である。2つの変数の間、2つの母集団の間に差がないという帰無仮説に対して、対立仮説として帰無仮説の棄却ではなく、一つの変数または両方の変数が増加または減少をする傾向性がある、といった対立仮説を設定する^[2]。例えば、薬剤の効果を調べる試験において複数の投与量ごとの反応の程度を見る、といった順序尺度で表される変数について、投与量の水準が増加するにつれて反応が変化する、という対立仮説を立てる^[3]。同様の目的のための検定法としてはウィルコクソンの符号順位検定などがある。

帰無仮説[編集]

2つの母集団 A, B から抽出して得られる観測値 ${\displaystyle y}$ により母集団の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のある ${\displaystyle k}$ 個の水準のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値を ${\displaystyle y_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,...,k)}$ で表し、${\displaystyle y_{ij}}$ が水準 ${\displaystyle k}$ に入る確率を ${\displaystyle p_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,\ldots ,k)}$とする。この場合の帰無仮説は2つの母集団 A, B の間に差がないということを表すため次の式になる^[2]

${\displaystyle H_{0}:p_{1j}=p_{2j}\ (j=1,2,\ldots ,k)}$

対立仮説[編集]

単に帰無仮説を棄却するのであれば対立仮説は次のようになる

${\displaystyle H_{1}:p_{1j}\neq p_{2j}}$

しかしこの対立仮説ではA, B の優劣を表すことができない。そこで各水準間に順序があることを考えて次の対立仮説を想定する^[2]。

${\displaystyle H_{2}:{\begin{cases}(1)\ p_{11}/p_{12}\geq p_{21}/p_{22}\geq \ldots \geq p_{1k}/p_{2k}\\(2)\ p_{11}/p_{12}\leq p_{21}/p_{22}\leq \ldots \leq p_{1k}/p_{2k}\end{cases}}}$• • • • • •${\displaystyle (1)}$または${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle H_{3}:{\begin{cases}(1)\ P_{1j}\geq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\\(2)\ P_{1j}\leq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\end{cases}}}$• • • • • • •${\displaystyle (1)}$または${\displaystyle (2)}$

ただし${\displaystyle P_{ij}}$は累積確率を表す。

${\displaystyle P_{ij}=\sum _{n=1}^{j}p_{in}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}$

対立仮説 ${\displaystyle H_{1}}$ は母集団 A が若い水準(優れているまたはその反対)に分類されることが多いことを表す。 対立仮説 ${\displaystyle H_{3}}$ はどの累積確率で比較しても同等以上であることを表す^[2]。

検定統計量[編集]

上記の帰無仮説 ${\displaystyle H_{0}}$ は次の ${\displaystyle H_{0j}}$ が同時に成り立つことと同じである。

${\displaystyle H_{0j}:P_{1j}=P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}$

この ${\displaystyle H_{0}}$ についての自由度 1 のカイ二乗値

${\displaystyle {\chi _{j}}^{2}={\frac {2n(Y_{1j}-Y_{2j})^{2}}{Y_{\cdot j}(2n-Y_{\cdot j})}}}$

＊${\displaystyle Y_{ij}=\sum _{n=1}^{j}y_{in}}$

この累積するカイ二乗値を結合して一つの検定統計量

${\displaystyle \chi ^{\ast 2}=\sum _{j=1}^{k-1}{\chi _{j}}^{2}}$

とする^[2]。

適用[編集]

傾向のある対立仮説を想定する検定問題で

• いくつかの二項分布の比較
• 2つの多項分布の比較
• いくつかの多項分布の比較
• 2×k 分割表における独立性の検定

などに用いることができる^[2]。

用量反応関係の検定などにおいて累積カイ二乗検定の適用となる分割表のタイプには次のようなものが挙げられる

• m×2 分割表(順序あり)
• 2×l 分割表(順序あり)
• m×l 分割表(列に順序あり)
• m×l 分割表(行・列とも順序あり)^[3]

脚注[編集]

関連項目[編集]

• コクラン・アーミテージ傾向検定（英語版）
• シャーリー・ウィリアムズ検定
• ウィルコクソンの符号順位検定
• クラスカル・ウォリス検定（英語版）
• 実験計画法
• 推計統計学

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存分析	生存関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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