コピュラ (統計学)

コピュラ (英: copula) とは、統計学において多変数の累積分布関数とその周辺分布関数の関係を示す関数のことである。

確率変数の相関を表す指標として代表的なものに相関係数があるが、相関係数が 1 個の数値であるのに対してコピュラは関数であることから、確率変数の間のきわめて多様な依存関係を表すことができる。なお、名称はラテン語で相異なる物同士の「つなぎ」や「結び付き」を意味する名詞 copula（英: couple の語源）に由来する。この単語は元々音楽や言語学で使われていたが、統計学の用語として用いたのは、1959 年にスクラー (Abe Sklar) がパリ大学統計学会誌 (the Statistical Institute of the University of Paris) で発表したのが最初である^[1]。

n 次元単位立方体 [0, 1]ⁿ から単位区間 [0, 1] への関数 C: [0, 1]ⁿ → [0, 1] が次の性質をもつとき、C を n 次元コピュラ（または n コピュラ）という。

• ${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$ のうち少なくとも 1 つの要素が 0 であるとき、すなわち u = (u₁, ..., u_i-1, 0, u_i+1, ..., u_n); i = 1, 2, ..., n であるとき C(u) = 0

• ${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$ が 1 つの要素を除いてすべて 1 であるとき、すなわち u = (1, ..., 1, u_i, 1, ..., 1); i = 1, 2, ..., n であるとき C(u) = u_i

• C(u) は n-increasing である、すなわち n 次元単位立方体内の任意の直方体 ${\displaystyle B=\times _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}}$ について

${\displaystyle V_{C}\left(B\right)=\Delta _{x_{n}}^{y_{n}}\Delta _{x_{n-1}}^{y_{n-1}}\cdots \Delta _{x_{1}}^{y_{1}}C(\mathbf {t} )\geq 0}$

ここで ${\displaystyle \Delta _{x_{i}}^{y_{i}}C(\mathbf {t} )=C(t_{1},\ldots ,t_{i-1},y_{i},t_{i+1},\ldots ,t_{n})-C(t_{1},\ldots ,t_{i-1},x_{i},t_{i+1},\ldots ,t_{n})}$ である。

スクラーの定理は 1959 年にスクラーが示したもので、コピュラに関する基本的な定理である。定理は次のとおり。

n 次元分布関数 H が1次元周辺分布関数 F₁, F₂, ..., F_n をもつとき、n 次元コピュラ C が存在して以下が成り立つ。

H(x₁, x₂, ..., x_n) = C(F₁(x₁), F₂(x₂), ..., F_n(x_n))

周辺分布関数 F₁, F₂, ..., F_n が連続であるとき、コピュラ C は一意に定まる。

次の式で与えられる M は フレシェ-ヘフディング上界 (Fréchet-Hoeffding upper bound) と呼ばれる。

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{n})=\min _{1\leq j\leq n}u_{j}}$

任意のコピュラ C および任意の ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})\in [0,1]^{n}}$ に対して ${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{n})\geq C(u_{1},\ldots ,u_{n})}$ であることから、M はコピュラの中で最大のものである。

次の式で与えられる W は フレシェ-ヘフディング下界 (Fréchet-Hoeffding lower bound) と呼ばれる。

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})=\max \left\{\sum _{i=1}^{n}{u_{i}}+1-n,0\right\}}$

任意のコピュラ C および任意の ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})\in [0,1]^{n}}$ に対して ${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n})}$ が成り立つ。ただし、W は 2 次元以外の場合にはコピュラではない。

以下に代表的なコピュラを示す。

Π(u, v) = uv は積コピュラと呼ばれる。

確率変数 X と Y がそれぞれ確率分布関数 F および G に従い、また X と Y の結合分布関数を H とする。このときスクラーの定理によって H(x, y) = C(F(x), G(y)) をみたすコピュラ C が存在することとなるが、X と Y が互いに独立であることと、C = Π であることとは同値となる。この意味で積コピュラを独立コピュラと呼ぶこともある。

ある関数 φ を用いて次のように表せるコピュラをアルキメデスコピュラ (Archimediean copula) という。

C(u, v) = φ^-1(φ(u) + φ(v))

関数 φ は [0, 1] から ${\displaystyle [0,\infty ]}$ への連続な単調減少関数であって φ(1) = 0 を満たすものである。この φ を ジェネレーター (generator) という。

上記の W や Π もアルキメデスコピュラである（ジェネレーターはそれぞれ 1 - t および - ln t）。なお、M はアルキメデスコピュラではない。

${\displaystyle C(u,v)=\left[\max \left(u^{-\theta }+v^{-\theta }-1,0\right)\right]^{-1/\theta }}$      (${\displaystyle -1\leq \theta <0}$ または ${\displaystyle 0<\theta }$)

で表されるアルキメデスコピュラはクレイトン (Clayton) コピュラと呼ばれる。このコピュラのジェネレーターは ${\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{\theta }}\left(t^{-\theta }-1\right)}$ である。

θ = 0 のときは積コピュラに、θ = -1 のときはフレシェ-ヘフディング下界になる。

${\displaystyle C(u,v)=\exp \left(-\left[(-\ln u)^{\theta }+(-\ln v)^{\theta }\right]^{1/\theta }\right)}$      (${\displaystyle 1\leq \theta }$)

で表されるアルキメデスコピュラはグンベル (Gumbel) コピュラまたはガンベルコピュラと呼ばれる。このコピュラのジェネレーターは φ(t) = (- ln t)^θ である。

θ = 1 のときは積コピュラとなる。

${\displaystyle C(u,v)=-{\dfrac {1}{\theta }}\ln \left(1+{\frac {(e^{-\theta u}-1)(e^{-\theta v}-1)}{e^{-\theta }-1}}\right)}$      (${\displaystyle \theta \neq 0}$)

で表されるアルキメデスコピュラはフランク (Frank) コピュラと呼ばれる。このコピュラのジェネレーターは ${\displaystyle \varphi (t)=\ln \left({\frac {e^{\theta t}-1}{e^{\theta }-1}}\right)}$ である。

θ = 0 のときは積コピュラとなる。

ガウス・コピュラ、ガウス型コピュラ (英: Gaussian copula) ともいう。2000年にen:David X. Liが発表し、以後金融工学にて債務担保証券 (CDO) のリスク評価等に広く使われた。

確率変数 X, Y に対して相関行列 Σ を持つ 2 変数正規分布関数を Φ₂(x, y; Σ) で表し、1 変数標準正規分布関数を Φ₁(x) で表すものとする。このときスクラーの定理によって

Φ₂(x, y; Σ) = C(Φ₁(x), Φ₁(y))

を満たすコピュラ C が存在する。このコピュラを正規コピュラという。

同様に t 分布から作られるコピュラを t コピュラという。

コピュラの実務面への応用例としては、CDO の価格評価やリスク評価が挙げられる。CDO は複数の債務をまとめて証券化したものであるので、複数の債務がどのような確率でデフォルトを起こすかが問題となる。平常時においてはデフォルト確率の相関が低い債務であっても、景気悪化時には連鎖倒産などで相関が高まるといったことが考えられるため、1 個の相関係数では十分に価格やリスクを表せないことから、コピュラが用いられる。

コピュラはこのように、発生率の低い（すなわち分布関数の値が 0 または 1 に近い値を取る）部分で相関が高まるような場合（これをテール依存性という）での応用がしばしば考えられる。

金融工学の世界では『悪魔の関数』また『粉飾の関数』と揶揄される。CDO（Collateralized Debt Obligation）の格付けやリスク評価に関して特に正規コピュラ（ガウス・コピュラ）が広く使われた。正規コピュラを用いる実務上の利点は、2者間の相関を調べる際に、過去に生じたリスク事象の統計分析等によらずに CDS の値動きだけに着目すれば良いことにあった。これによってリスク評価実務は大幅に簡略化され、証券化市場は劇的な拡大を見た。ところが、正規コピュラには予測不能性が織り込まれておらず、現実世界と乖離しうることから、これを無批判に応用したことが 21世紀初頭の金融恐慌（リーマン・ショック）とその後の証券化市場衰退を招いた原因の一つだとする説がある^[2]。

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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