平均

この項目では、数学・統計学の平均について説明しています。他の平均については「平均 (曖昧さ回避)」をご覧ください。

平均（へいきん、英: mean, average, 独: Mittelwert, 仏: moyenne）または平均値（へいきんち、英: mean value, average value）とは、数学・統計学において、数の集合やデータの中間的な値を指す。欧米語の原意の中間（値）などと和訳することは少ない。

狭い意味での中間値にとどまらず、算術平均（相加平均）・幾何平均（相乗平均）・調和平均・対数平均など様々な種類で用いられる。一般的には特に算術平均を指し、集合の要素の総和を要素数で割ったものである^[1][2]。

科学観測や社会調査から得られるデータでは、算術平均を代表値の一つとして用いる。算術平均が中央値、最頻値、中点値と比べてデータの特徴をよく表すものかどうかを検討する必要がある。正規分布に近い場合は算術平均と標準偏差を用いることは適切だが、そうでない分布の場合は、算術平均値が度数の多い値を示すとはいえない。

例えば、国民（例えば日本人）の所得について考える。このデータでは、一部の高所得者が算術平均値を引き上げてしまい、算術平均値をとる世帯は実際にはほとんどいないということになる。よってこの場合正規分布には従わない。日本の国税庁の民間給与実態統計調査によると、平成29年度の場合、給与所得の算術平均値は423万円だが、最頻値は300万円～400万円の区分であり、ずれている^[3]。従って、一般的な世帯の所得をとらえるには中央値や最頻値が有効であるが、所得は97%～99%は所得の対数値が正規分布（対数正規分布）に従っているため^[4]、所得の対数値の算術平均、つまり幾何平均を用いるのが適切な所得の代表値であるともいえる。

分布が左右対称でない時、中央値、最頻値を用いると良い場合もある。また、飛び抜けた値（外れ値）がごく少数の場合には、最大と最小を除外した刈込平均（トリム平均（英語版））を用いることもある。平均が中央値、最頻値、中点値と乖離している場合は刈込平均を含めた平均以外の使用を考えるとよい^[5]。

統計学では、平均値とは普通は算術平均（相加平均）のことを指す。これはデータの値から算術的に計算して得られる統計指標値の一つである。

統計学では平均には母平均と標本平均がある。母平均は、母集団の相加平均のこと。標本平均は、抽出した標本（母集団の部分集合）の相加平均のこと。母平均を μ、標本平均を m と書いて区別する場合がある^[6][7]。

算術平均（さんじゅつへいきん、英: arithmetic mean, 独: arithmetisches Mittel, 仏: moyenne arithmétique）とも呼ぶ。

相加平均は

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}}$

で定義される。式変形して

${\displaystyle n\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}$

と表すこともできる。

${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ の相加平均を ${\displaystyle {\bar {x}}}$ とも表す。

相加平均は、加法とスカラー倍が定義された数（実数、複素数、ベクトル等）に対して定義できる。

相乗平均（そうじょうへいきん）または幾何平均（きかへいきん、英: geometric mean, 独: geometrisches Mittel, 仏: moyenne géométrique）は

${\displaystyle \mu _{\mathrm {G} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}}}$

で定義される。幾何平均は相乗平均と同義の用語である。

式変形して

${\displaystyle {\mu _{\mathrm {G} }}^{n}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}$

とも表せる。

対数を取ると

${\displaystyle \mu _{\mathrm {G} }=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)}$

${\displaystyle n\log \mu _{\mathrm {G} }=\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}}$

となり、相乗平均は、対数の算術平均の指数関数である。あるいは、相乗平均の対数は対数の算術平均である。

データに1つ以上の 0 があるときは、相乗平均は 0 となる。値全てが実数であっても、積が負の場合は、相乗平均は実数の範囲内では存在しない。また複素数の範囲内では、値全てが実数であって積が正負いずれであっても、相乗平均は一意に定まらない可能性がある。

相乗平均は、積と累乗根が定義された数（実数、複素数）について定義できる。

調和平均（ちょうわへいきん、英: harmonic mean）は

${\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\tfrac {1}{x_{1}}}+{\tfrac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\tfrac {1}{x_{n}}}}}}$

で定義される。あるいは

${\displaystyle {\frac {n}{\mu _{\mathrm {H} }}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}$

とも表せる。

調和平均は、逆数の算術平均の逆数である。あるいは、逆数の算術平均は調和平均の逆数である。

しかし、データに1つ以上の 0 があるとき、調和平均はもとの定義式からは定義できないが、0 への極限を取ると、調和平均は 0 となる（${\displaystyle x_{i}\to 0}$ のとき ${\displaystyle \mu _{\mathrm {H} }\to 0}$）。データに負数があっても調和平均は計算することができる。ただし、正負が混在している場合に逆数の和が 0 になることがあり、その場合の極限は発散する。

算術平均、相乗平均、調和平均は同じ式

${\displaystyle \mu _{p}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}}$

あるいは

${\displaystyle n{\mu _{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}}$

で表せる。この実数 p に対して定義した式の値を p一般化平均と呼ぶ。

p = 1 で算術平均、p = −1 で調和平均となり、p → 0 への極限が相乗平均である。また、p = 2 の場合を二乗平均平方根 (RMS) と呼び、物理学や工学で様々な応用をもつ。p → ∞ への極限は最大値、p → −∞ への極限は最小値である。

一般化平均は、ベクトル ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ の pノルムを ${\displaystyle n^{1/p}}$ で割った結果に一致する。

データの p乗の平均、つまり、一般化平均の p乗

${\displaystyle {\mu _{p}}^{p}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}}$

を p乗平均と呼ぶ。

p乗平均・一般化平均の応用として、例えば統計学では分散と標準偏差がある。偏差（値から相加平均を引いた値）のそれぞれ 2乗平均・2一般化平均として定義されている。

一般化平均はさらに一般化が可能で、全単射な関数 f により

${\displaystyle \mu _{f}=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)}$

という平均が定義できる。恒等関数 f(x) = x により相加平均が、逆数 f(x) = 1/x により調和平均が、対数関数 f(x) = log x により相乗平均がそれぞれ表されている。

	相加平均	相乗平均	調和平均
${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle \log x}$	${\displaystyle x^{-1}}$
${\displaystyle f^{-1}(y)}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle \exp y}$	${\displaystyle y^{-1}}$
${\displaystyle f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$	${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)}$	${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{-1}\right)^{-1}}$

実数 p に対する p一般化平均は、データの値が全て非負の実数であるときに定義される。これは、一般化平均の式に現れる p乗根（冪函数）が負数に対し定義できないためである。例外は、冪関数を使わずに計算できる算術平均と調和平均 (p = ±1) である。それ以外の p ≠ ±1 の場合、負数が1つでも含まれるデータに対しては、一般化平均の定義式は実数を返さないか、実数を返したとしても結果は解釈が難しい。

p < 0 の場合、0 を含むデータに対しては一般化平均の定義式は使えないが、調和平均同様、0 への極限を取ると一般化平均は 0 となる。幾何平均（0一般化平均）も 0 となるので、p ≤ 0 の場合に一般化平均は 0 と考えることができる。

• 相乗平均
  • 78年の経済成長率20%、79年の経済成長率80%の場合、この2年間の平均成長率は${\displaystyle {\sqrt {1.2\times 1.8}}=1.469693846\cdots }$より、約47%
• 調和平均
  • 往は時速60 km、復は時速90 kmの場合の往復の平均速度は ${\displaystyle {\frac {2}{1/(60~\mathrm {km~h^{-1}} )+1/(90~\mathrm {km~h^{-1}} )}}=72~\mathrm {km~h^{-1}} }$ である。
  • 並列接続された電気抵抗の抵抗値などを考える場合に用いる（直列回路と並列回路）。

n個の実数が全て正の時、次の大小関係が成り立つ。

相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 調和平均

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

等号成立条件は

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$

である。

左側の不等式は、両辺に対数をとりlogの凸性（イェンセンの不等式）を適用すれば証明できる（数学的帰納法を使った別証明も知られている）。右側の不等式は、調和平均が逆数の相加平均の逆数という事実を左側の不等式に適用すれば証明できる。

さらに拡張した p一般化平均 ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}}$（p は実数）について、一般には p の広義増加関数となる。p = 1 のとき相加平均、p = −1 のとき調和平均、p → 0 のとき極限として幾何平均になる（#一般化平均を参照）。

データの大きさ n が 2 のときの相加平均、相乗平均、調和平均をそれぞれ A, G, H とすると、

${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\quad G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},\quad H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}$

なので、

${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

が成立する。すなわち、データの相乗平均は相加平均と調和平均の相乗平均に等しくなる。

「重み」はこの項目へ転送されています。重さについては「重さ」をご覧ください。

データの値それぞれに不均等な重みがある場合は、単に相加平均をとるのでなく重みを考慮した平均をとるべきである。各値 x_i に、重み w_i がついているときの加重平均（重み付き平均）は

${\displaystyle {\cfrac {w_{1}x_{1}+\dots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}}$

と定義される。特に全ての重みが等しければ、これは通常の相加平均である。

例えば、重み付き最小二乗法では、誤差の小さなデータに大きな重みを与えた残差の加重平均を最小化^{[注 1]}することで、尤度の最大化を図る。重点サンプリング（英語版）によって期待値をモンテカルロ推定するときは、求めたい期待値に関する確率密度とサンプルの確率密度の比を重みとした加重平均を推定量とする。

相乗平均についての重み付き平均は

${\displaystyle \left({x_{1}}^{w_{1}}\dotsb {x_{n}}^{w_{n}}\right)^{1/p}}$

と定義される。ただし ${\displaystyle p=\sum _{i=1}^{n}w_{i}}$ とする。

データ x(t) が区間 [a, b] で連続的に分布しているとき、その相加平均は積分

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}x(t)\,dt}$

と定義される。これは離散分布の相加平均に対して、無限個の平均を算出する操作を極限により表したものである。

特に x(t) が指数関数である場合、その相加平均は端点での関数の値 x(a), x(b) のみで計算でき、

${\displaystyle {\frac {x(b)-x(a)}{\ln \left(x(b)\right)-\ln \left(x(a)\right)}}}$

となる。これは対数平均と呼ばれ、対数平均温度差などの応用例がある。

相加平均や加重平均はベクトルの場合に定義を拡張することができる。ベクトルの平均は物理学における質点の重心と関係がある。相乗平均や調和平均は定義できない。

ベクトル x₁, …, x_n に対し、それらの（相加）平均を

${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +{\boldsymbol {x}}_{n}}{n}}}$

で定義する。

n = 3 の場合、x₁, x₂, x₃ の平均は各点が作る三角形の重心である。これはベクトルの数が n の場合にも一般化でき、x₁, …, x_n の平均は各点が作る n単体の重心である。

加重平均も同様にベクトルに拡張でき、

${\displaystyle {\frac {w_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +w_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}}$

と定義される。

m乗平均・一般化平均はスカラー

${\displaystyle {\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}},\quad {\sqrt[{m}]{\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}}}}$

として定義される。ただしここで ‖ ・ ‖ は、ベクトルのノルムである。m = 2 の場合、‖ x ‖² は内積 ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle }$ に一致するので、m = 2 の場合の m乗平均や一般化平均が特に重要である。たとえば物理学では速さの平均値（根二乗平均速度）として、m = 2 の場合の一般化平均を使うことがある。

ベクトルの加重平均の概念には、物理的な解釈を与えることができる。質点 P₁, …, P_n がそれぞれ位置 x₁, …, x_n にあり、それぞれの質量が m₁, …, m_n であるとき、加重平均

${\displaystyle {\cfrac {m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +m_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{m_{1}+\dots +m_{n}}}}$

は系の重心である。

a₀, b₀ を、a₀ > b₀ を満たす2つの非負実数とする。a₁, a₂, …; b₁, b₂, … を

${\displaystyle a_{i+1}={\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}}$

${\displaystyle b_{i+1}={\sqrt {a_{i}b_{i}}}}$

により定義する。このとき、

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=\lim _{i\to \infty }b_{i}}$

を a₀ と b₀ の算術幾何平均という。

系列データ を平滑化する手法である。画像や音声等、デジタル信号処理に留まらず、テクニカル分析などの金融分野、気象、水象を含む計測分野等、広い技術分野で使われている。

• 岡田泰栄『平均値の統計』共立出版<数学ワンポイント双書>、1981年。
• 鷲尾泰俊『推定と検定』共立出版<数学ワンポイント双書>、1978年。
• 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。 
• 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。 
• JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語, 日本規格協会, (1999), http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html 
• 伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。 

• 統計学
  • 要約統計量
    • 算術平均
    • 中央値 (median)
    • 最頻値 (mode)
  • 期待値
• en:Inequality of arithmetic and geometric means

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
カテゴリ